線性代數(shù)課件3-3矩陣的秩和解的存在性定理.ppt

1、3 矩陣的秩和解的存在性定理,目的要求,（3）掌握非齊次線性方程組解的存在性,（1）理解矩陣秩的定義,（2）掌握求矩陣秩和最高階非零子式的方法,（4）掌握齊次線性方程組解的存在性,（5）掌握矩陣秩的性質,一、秩的定義,定義1：在矩陣A中任取k行k列，位于這些行與列相交處的元素按照原來相應位置構成的k階行列式叫做矩陣的 k 階子式. 共,個.,為一階子式；,為二階子式；,為三階子式.,定義2：如果矩陣 A 中,則稱 D 為 A 的一個最高階非零子式.,(2) 所有的 r+1階子式(若有的話)都等于 0,稱數(shù) r 為矩陣 A 的秩.,矩陣 A 的秩記成 R(A).,零矩陣的秩規(guī)定為 0 .,(1)

2、 有一個r階子式 D 0，,例1：求矩陣的秩,4個三階子式全為零,解：,又,例2：求矩陣的秩,三階子式共有4個，全為零,二階子式共有18個，全為零,解：,注：,例3 ：求矩陣的秩,所有4階子式均為0，而,解：,定理1：行階梯形矩陣秩等于非零行行數(shù),定理2: 若,證,經(jīng)一次初等行變換矩陣的秩不變，即可知經(jīng)有限次初等行變換矩陣的秩仍不變,，則,證畢,求秩方法,求秩方法：,解釋：,矩陣經(jīng)過有限次行（列）初等變換后其秩不變.,用初等變換把矩陣 A 化成行階梯形矩陣，,矩陣A 的秩 = 此行階梯形矩陣的秩.,例4 求秩和一個最高階非零子式.,解：,二、線性方程組解的存在性定理,解：,分析：若改成求解,則

3、出現(xiàn)0=1矛盾方程，無解.,無解,出現(xiàn)0=1矛盾方程,n元非齊次線性方程組Ax = b解的存在性,方程組無解,方程組有唯一解,方程組有無窮多組解,方程組有解,例6,方程組有唯一解,方程組無解,方程組有無窮多解,解一：,討論當t 為何值時，,（1）有唯一解； （2）無解； （3）有無窮多解，求通解.,例6,方程組有唯一解,解二：,討論當t 為何值時，,（1）有唯一解； （2）無解； （3）有無窮多解，求通解.,方程組無解,方程組有無窮多解,通解為,n元齊次線性方程組Ax = 0解的存在性,有非零解,只有零解,是否有非零解？,解：,有非零解,例 7 三元齊次線性方程組,例 8,問,何時有非零解？,解一：,有非零解,解二：,有非零解,三、秩的性質,2)若有s階非零子式，則,3)若所有t階子式為零，則,4)n階方陣,，若,；否則,5),則,6),可逆，則,7),乘可逆矩陣秩不變,可逆方陣,證明：,A的最高階非零子式總是（A，B）的,非零子式，所以,同理有,即為,設,證明：,證明：,設A為,矩陣，B為,矩陣，則,X為,矩陣. 將矩陣X，B按列分塊,后m-r行全為零行.再設,后m-r個元全為零,后m-r行全為零,證明：,知，,由,有解X=B.,乘積的秩 不超過 第一個因子的秩,乘積的秩不超過每個因子的秩,3 矩陣的秩和解的存在性定理,目的要求,（3）掌握非齊次線性方程組解的存在性,（