固體物理習(xí)題3課件

1、第三章 晶格振動(dòng),1,學(xué)習(xí)交流PPT,解：,(1),個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程可寫成,（1）在單原子晶格中，若只計(jì)相鄰原子的互作用，第n,2,學(xué)習(xí)交流PPT,依題設(shè)，原子的振動(dòng)位移可表示為,(2),將(2)式代入(1)式，得,因?yàn)?3,學(xué)習(xí)交流PPT,因此,故得格波的色散關(guān)系為,（2）,原子鏈上總能量可寫為,其中求和遍及鏈上的所有原子。,4,學(xué)習(xí)交流PPT,又因?yàn)橐痪S單原子鏈的色散關(guān)系為,或者,所以,得平均總能量,5,學(xué)習(xí)交流PPT,3.2 證明：在由兩種不同質(zhì)量M、m(Mm)的原子所組成的一維 復(fù)式格子中，如果波矢q取邊界值 (a為相鄰原子間 距)，則在聲學(xué)支上，質(zhì)量為m的輕原子全部保持不動(dòng)；在光學(xué)

2、支上，質(zhì)量為M的重原子保持不動(dòng)。,證明：如圖所示，設(shè)質(zhì)量為m的輕原子位于2n-1，2n+2，2n+3，. 各點(diǎn)；設(shè)質(zhì)量為M的輕原子位于2n-2，2n，2n+2，各點(diǎn)。,6,學(xué)習(xí)交流PPT,令 表示原子間的恢復(fù)力系數(shù)，運(yùn)動(dòng)方程寫為,7,學(xué)習(xí)交流PPT,將試探解代入運(yùn)動(dòng)方程有,經(jīng)整理變成,(1),要A、B有不全為零的解，方程(1)的系數(shù)行列式必須等于零， 從中解得,(2),8,學(xué)習(xí)交流PPT,光學(xué)支：,聲學(xué)支：,9,學(xué)習(xí)交流PPT,因?yàn)?由上式得到,由此可見，當(dāng)波矢q取邊界值時(shí)，聲學(xué)支中輕原子保持不動(dòng) (A=0)，光學(xué)支中重原子也保持不動(dòng)(B=0)。,10,學(xué)習(xí)交流PPT,3.3 一維復(fù)式格子，原

3、子質(zhì)量都為m,晶格常數(shù)為a，任一個(gè)原子與最近鄰原子的間距為b,若原子與最近鄰原子和次近鄰原子的恢復(fù)力常數(shù)為 和 ，試列出原子的運(yùn)動(dòng)方程并求出色散關(guān)系。,解：,此題為一維雙原子鏈。,設(shè)第,個(gè)原子的,位移分別為,。,第,與第,個(gè)原子屬,于同一原子，第,與第,個(gè)原子屬于同一原子，,于是,11,學(xué)習(xí)交流PPT,第,和第,原子受的力分別為,其運(yùn)動(dòng)方程分別為,設(shè)格波的解分別為,12,學(xué)習(xí)交流PPT,代入運(yùn)動(dòng)方程，得,整理得,由于A和B不可能同時(shí)為零，因此其系數(shù)行列式必定為零，即,13,學(xué)習(xí)交流PPT,解上式可得,由上式可知，存在兩種獨(dú)立的格波。,14,學(xué)習(xí)交流PPT,聲學(xué)格波的色散關(guān)系為,光學(xué)格波的色散關(guān)

4、系為,15,學(xué)習(xí)交流PPT,解：,（1）只考慮最近鄰原子的相互作用,16,學(xué)習(xí)交流PPT,得,將 的值代回方程得到色散關(guān)系,（2）,（a）當(dāng)上式取+號(hào)時(shí)為光學(xué)波,17,學(xué)習(xí)交流PPT,當(dāng) 時(shí)：,當(dāng) 時(shí)：,（b）當(dāng)取-號(hào)時(shí)為聲學(xué)波,18,學(xué)習(xí)交流PPT,當(dāng) 時(shí)：,當(dāng) 時(shí)：,19,學(xué)習(xí)交流PPT,3.5 證明由N個(gè)質(zhì)量為m的相同原子組成的一維單原子晶格，每單位頻率間隔內(nèi)的振動(dòng)模式數(shù)為,證明：,一維單原子鏈只有一支格波,據(jù)模式密度的一般表示式,（1）,20,學(xué)習(xí)交流PPT,因?yàn)閷?duì)一維單原子鏈波矢空間的波矢密度,，且只有一支,格波。,所以由（1）式得,得,21,學(xué)習(xí)交流PPT,解：設(shè)有一坐標(biāo)為x與x+

5、dx間的介質(zhì)元, t 時(shí)刻x點(diǎn)處的位移為 u=u(x,t), x+dx點(diǎn)處的位移為u+du。于是，應(yīng)變?yōu)?以E表示彈性模量，按定義，,式中f是引起形變的力。作用在介質(zhì)元dx上的凈力為,22,學(xué)習(xí)交流PPT,這就是連續(xù)介質(zhì)的波動(dòng)方程，其解為,將u(x,t)代入(1)式，得到,23,學(xué)習(xí)交流PPT,即,因此，一維介質(zhì)彈性波傳播的相速度為,24,學(xué)習(xí)交流PPT,3.7 證明一維單原子鏈的運(yùn)動(dòng)方程，在長波近似下，可以化成 彈性波方程,解：,如果只計(jì)及近鄰原子間的相互作用，第n個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程,為,因?yàn)?所以第n個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程化為,25,學(xué)習(xí)交流PPT,在長波近似下，,運(yùn)動(dòng)方程又化為,（1）,在長波近

6、似下，當(dāng)l為有限整數(shù)時(shí)，,26,學(xué)習(xí)交流PPT,上式說明，,在長波近似下，鄰近（在半波長范圍內(nèi)）的若干原子,以相同的振幅、相同的位相做集體運(yùn)動(dòng)。,因此（1）式可統(tǒng)一寫成,第二章中固體彈性理論所說的宏觀的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，正是由這些,原子的整體的運(yùn)動(dòng)所構(gòu)成。,這些原子偏離平衡位置的位移,，即是宏觀上的質(zhì)點(diǎn)位移,。,從宏觀上看，原子的位置,可視為準(zhǔn)連續(xù)的，原子的分離,可視為連續(xù)坐標(biāo)x，即,27,學(xué)習(xí)交流PPT,于是,（2）式化為,其中,是用微觀參數(shù)表示的彈性波的波速。,28,學(xué)習(xí)交流PPT,29,學(xué)習(xí)交流PPT,第（l1，m）原子對(duì)它的作用力,30,學(xué)習(xí)交流PPT,并把試探解,31,學(xué)習(xí)交流PPT,同時(shí)代

7、入，消去公因子后得,32,學(xué)習(xí)交流PPT,所以,格波的傳播速度,可見，在長波極限下，格波的傳播速度與波矢q無關(guān)。,(3)式變?yōu)?33,學(xué)習(xí)交流PPT,式中，,常”現(xiàn)象：當(dāng),為常數(shù)，p遍取所有的整數(shù)值，試證明“科恩(Kohn)反,。,34,學(xué)習(xí)交流PPT,和第np個(gè)原子對(duì)第n個(gè)原子的作用力可寫成,鏈上每個(gè)原子與第n個(gè)原子都有相互作用，故第n個(gè)原子的運(yùn)動(dòng) 方程應(yīng)為,設(shè)試探解為,代入運(yùn)動(dòng)方程可得,35,學(xué)習(xí)交流PPT,故格波的色散關(guān)系為,(1),36,學(xué)習(xí)交流PPT,37,學(xué)習(xí)交流PPT,解：,由,所以,38,學(xué)習(xí)交流PPT,解：由N個(gè)原子組成的單原子晶體共有3N個(gè)自由度，獨(dú)立晶格 振動(dòng)方式數(shù)也等于

8、3N，晶體振動(dòng)的總能量便等于晶體振動(dòng)的總 能量便等于這3N個(gè)諧振動(dòng)的能量之和，即,39,學(xué)習(xí)交流PPT,(1),40,學(xué)習(xí)交流PPT,上式中的第二項(xiàng)是3N個(gè)經(jīng)典諧振子的平均能量之和；第一項(xiàng)與 溫度無關(guān)，是愛因斯坦模型下的零點(diǎn)振動(dòng)能。,41,學(xué)習(xí)交流PPT,3.12 試用德拜模型求 解上題。,(1),當(dāng)N很大時(shí)，格波的頻率分布是準(zhǔn)連續(xù)的，故上式可用下列 積分計(jì)算：,42,學(xué)習(xí)交流PPT,(2),43,學(xué)習(xí)交流PPT,所以,上式中的第二項(xiàng)是3N個(gè)經(jīng)典諧振子平均能量之和，第一項(xiàng)是 德拜模型下晶體的零點(diǎn)振動(dòng)能。,44,學(xué)習(xí)交流PPT,此時(shí)(2)式中的積分變?yōu)?因此，從(2)式求得,上式表示，在德拜模型

9、中，低溫時(shí)晶格振動(dòng)能與溫度的4次方 成正比。,45,學(xué)習(xí)交流PPT,解：按照德拜理論，在頻率,間隔內(nèi)的獨(dú)立振動(dòng)方式,數(shù)為,46,學(xué)習(xí)交流PPT,由此求得晶體總振動(dòng)能（略去零點(diǎn)能）,47,學(xué)習(xí)交流PPT,上式中的積分一般的不能用解析方法求得，但在極限的情況下， 它有如下簡(jiǎn)單的結(jié)果：,在高溫極限下：,在低溫極限下：,代入上式，得到晶體在高溫極限下的總振動(dòng)能,低溫極限下的總振動(dòng)能,48,學(xué)習(xí)交流PPT,3.17 對(duì)于NaCl晶體，已知恢復(fù)力常數(shù) ，試分別求出NaCl晶體中光學(xué)支格波和聲學(xué)支格波的最高頻率和最低頻率。（已知Cl和Na的原子量分別為35.5和23.0）,解：因?yàn)橐痪S雙原子晶體的色散關(guān)系為

10、,在本題設(shè)下，式中m、M分別代表Na、CL原子的質(zhì)量。當(dāng)括號(hào) 內(nèi)取“+”號(hào)時(shí)代表光學(xué)支 ，取“”號(hào)時(shí)代表聲學(xué)支 。從 上式得知，光學(xué)支的最大頻率是,49,學(xué)習(xí)交流PPT,而光學(xué)支的最小頻率是,聲學(xué)支的最大頻率是,50,學(xué)習(xí)交流PPT,解：(1)對(duì)于一維雙原子鏈，格波光學(xué)支的最高頻率為,(1),51,學(xué)習(xí)交流PPT,式中， 為原子間的恢復(fù)力常數(shù)；m、M分別代表兩種原子的質(zhì) 量。對(duì)于NaCL，已知Na原子質(zhì)量 ，CL原子質(zhì)量 ，平衡時(shí)， 和 的距離為 ， 。因此，從(1)式可得其恢復(fù)力常數(shù),(2)對(duì)于聲學(xué)波，在長波極限下，其傳播速度為,52,學(xué)習(xí)交流PPT,所以,53,學(xué)習(xí)交流PPT,解：,表示；

11、,如圖所示，離子的坐標(biāo)由na,由于熱,54,學(xué)習(xí)交流PPT,運(yùn)動(dòng)，,。,庫侖定律，兩粒子間的互相斥力為,式中，k為靜電衡量；r為離子間距。,(1),因?yàn)殡x子偏離平衡位置的熱動(dòng)動(dòng)只是一種微振動(dòng)，可將(1)式 括號(hào)中的項(xiàng)在平衡位置附近按泰勒級(jí)數(shù)展開，并只計(jì)及一次項(xiàng),它們離開平衡位置的位移記為,根據(jù),相互作用，運(yùn)動(dòng)方程可表述為,如果只考慮相鄰離子間的,55,學(xué)習(xí)交流PPT,則有,令試探解為,（2）,56,學(xué)習(xí)交流PPT,式中，A、,、q分別為振幅、角頻率和波矢。,式得出,即,式中,為格波的最高角頻率：,（3）,把上式代入(2),57,學(xué)習(xí)交流PPT,把下列數(shù)據(jù)代入：,得到,最大波速對(duì)應(yīng)于長波極限下的

12、波速。,58,學(xué)習(xí)交流PPT,此時(shí)q很小，(3)式給出,于是，得到最大波速為,59,學(xué)習(xí)交流PPT,證明：對(duì)于一維單原子鏈，格波的色散關(guān)系為,(1),因而aq=S/N是一個(gè)與原子間距a無關(guān)的參量，可以把(1)式寫成,60,學(xué)習(xí)交流PPT,(2),對(duì)于一維單原子鏈，格林愛森常數(shù),61,學(xué)習(xí)交流PPT,Na為晶鏈的長度。把(3)式代入即得,(4),因而,62,學(xué)習(xí)交流PPT,故(4)式可寫作,63,學(xué)習(xí)交流PPT,證明：按定義，晶體的體脹系數(shù),使用熟知的循環(huán)關(guān)系式,上式化為,(1),64,學(xué)習(xí)交流PPT,代回(1)式即得,65,學(xué)習(xí)交流PPT,66,學(xué)習(xí)交流PPT,證明：,（1）設(shè)離子鏈沿水平方向。,上式右端加一負(fù)號(hào)，是我們規(guī)定坐標(biāo)的正方向指向右端。,考慮到,可將上式展成,級(jí)數(shù)，,取一級(jí)近似得,67,學(xué)習(xí)交流PPT,第 個(gè)離子左端的第 個(gè)離子與第 個(gè)離子間的庫侖力為,取一級(jí)近似得,第 個(gè)離子和第 個(gè)離子對(duì)第 個(gè)離