天文學基礎04-行星系統(tǒng)和行星運動規(guī)律

1、天文學基礎（公共選修課教程）,上海工程技術(shù)大學 施 韡,4 行星系統(tǒng)和行星運動規(guī)律,1.知道行星系統(tǒng)的物理定義，了解行星運動空間規(guī)律和視運動規(guī)律； 2.能用行星運動規(guī)律指導實踐觀測。,重點：學習和了解行星運動規(guī)律，以指導實踐觀測。 難點：行星系統(tǒng)二體問題（知道）、開普勒行星運動定律（了解）、行星視運動規(guī)律（熟悉）。,4.1 行星系統(tǒng),一、萬有引力,萬有引力定律是牛頓于1687年發(fā)表的。這一定律的最大貢獻是把天體運行規(guī)律和地面物體的運動規(guī)律統(tǒng)一起來了。,1、意義,2、數(shù)學表達,表示任何兩個相距為r并具有質(zhì)量m1及m2的質(zhì)點之間必然存在的相互吸引的力F。,G為萬有引力常數(shù)，G=6.6725910-

2、11 m3/kgs2,天文學中取天文單位、太陽質(zhì)量和日（86400秒）為長度、質(zhì)量、時間的單位，則G=k2，k=0.01720209895，名為“高斯常數(shù)”，是天文常數(shù)系統(tǒng)中視作不變的“定義常數(shù)”。,庫侖定律：,注意 具有密度分層均勻的同心球?qū)咏Y(jié)構(gòu)的正球體各向同性的正球體與質(zhì)量集中于球心的一個具有嚴格意義的質(zhì)點等價。,二、二體問題,二體問題是假設只有兩個天體，不考慮其他天體的干擾，在萬有引力作用下如何運動的問題。,1、什么是二體問題？,2、二體問題的空間示意圖,O,P,Q,x,y,z,建立任一空間坐標系O-xyz，P和Q分別是兩個天體 是天體P的位置矢量 是天體Q的位置矢量 是天體Q相對于天體

3、P的位置矢量。,為便于理解可以把天體P看作太陽，把天體Q看作行星。,天體P受天體Q的引力：,天體Q受天體P的引力：,根據(jù)牛頓第二定律：,這是一組聯(lián)立的二階非線性常微分方程，通解是包含6個相互獨立的積分常數(shù)的6個積分。 解的結(jié)果表明，行星運動是沿著圓錐曲線的平面運動，太陽位于一個焦點上。,6個積分常數(shù)決定了軌道的空間位置和某一時刻行星在軌道上的位置，在天文學中成為6個軌道根數(shù)。 二體問題的微分方程及其積分，完滿地解釋了開普勒行星運動定律的動力學原因，徹底地解決了只有兩個天體時全部的運動學問題。,*三、多體問題與攝動方法簡介,兩個天體在萬有引力作用下如何運動的二體問題已經(jīng)獲得十分精確而完滿的解答，

4、但是實際天體不止兩個，只要再多出一個天體，即“三體”問題，求解就相當困難。,對于空間直角坐標系，n個天體在相互之間存在的萬有引力的作用下，可以列出3n個二階微分方程組，其通解由6n個積分組成，共包含6n個積分常數(shù)，其中有10個積分總是可以得出的：,n個天體的質(zhì)量中心運動定律3個積分 n個天體的總動量守恒定律3個積分 n個天體的總動量矩守恒定律3個積分 n個天體的總能量守恒定律1個積分,*三、多體問題與攝動方法簡介,如果再找出余下的6n-10個積分，n體問題就能徹底解決。,1843年，雅克比證明：如果包括10個初積分在內(nèi)的6n-2個積分都已找到，則最后兩個積分就一定能找到。,讓我們來看一下三體問

5、題的微分方程：,設有1，2，3三個天體，質(zhì)量分別為沒m1, m2, m3；r12 , r23 , r 13分別表示它們相互之間的距離。在空間直角坐標系中，用q1i , q2i , q3i , i=1,2,3表示三個天體對應于x軸（i=1），y軸（i=2），z軸（i=3）的三組坐標。,三組共9個聯(lián)立的二階非線性常微分方程，通解是包含18個相互獨立的積分常數(shù)的18個積分。,*三、多體問題與攝動方法簡介,除10個初積分外，還剩8個積分，按雅克比定理，只要找出其中6個積分，三體問題就徹底解決，但不幸的是，直到現(xiàn)在一個也沒有找到。,1900年國際數(shù)學家大會上，希爾伯提出了23個數(shù)學難題，另外還舉了兩個大

6、難題，即費馬大定理和三體問題,（1994年費馬大定理被美國的懷爾斯徹底解決）,19世紀末，龐加萊等證明，找到三體問題的全部代數(shù)函數(shù)形式的解是不可能的，于是數(shù)學家和力學家轉(zhuǎn)而尋找級數(shù)形式的解。,1912年，芬蘭數(shù)學家松德曼找到了附加限制條件的冪級數(shù)解，但是這些級數(shù)收斂得非常慢，以至于沒有使用價值。,如要獲得三體問題的一個位置數(shù)據(jù)，級數(shù)至少要取108000項！,為了計算行星軌道和預知天體的位置，人們探求有效的近似求解的方法，提出了攝動理論。,攝動是指在二體問題中天體沿軌道運動時，因受到其他天體的影響而偏離原來的軌道。,四、攝動力、潮汐現(xiàn)象和洛希極限,如圖，M是中心天體，m是作軌道運動的天體，m是攝

7、動天體，M、m、m分別是他們的質(zhì)量。r、r、p表示兩兩之間的距離。,1、攝動力,M,m,m,r,r,p,-g1,g2,-g2,g1,g3,g0,g,g2,g,-g2,根據(jù)萬有引力，M對m的力產(chǎn)生m的運動加速度,m的存在使M產(chǎn)生加速度,m也使M產(chǎn)生運動加速度,這兩個加速度相反。,使m產(chǎn)生加速度,g2的作用相當于使m產(chǎn)生了相對于M的加速度-g2 ，于是m的存在形成和了g3和-g2的合成加速度g,g相應的作用力就是攝動力,g3,在日、地、月三體問題中，地球是中心天體，月球是繞地球作軌道運動的天體，而太陽是攝動天體。 設r和R分別為月球和太陽到地球的距離。在朔時，太陽使月球產(chǎn)生的引力加速度g3=k2M

8、/(R-r)2（M為太陽質(zhì)量），太陽使地球產(chǎn)生的引力加速度g2=k2M/R2，則g= g3 -g3 =k2M(2Rr-r2)/R2(R-r)2，若忽略r，可得到近似結(jié)果： g=2 k2rM/R3 。同理，在望時， g3=k2M/(R+r)2 ， g2=k2M/R2， g=-2 k2rM/R3 。這兩個結(jié)果都表明太陽的攝動影響使月球偏向地球的反方向，即遠離地球。 單純從萬有引力公式計算，太陽對月球的引力比地球?qū)υ虑虻囊Υ笠槐抖啵捎谠虑蚶@地公轉(zhuǎn)，太陽的引力只起攝動作用，而攝動力的大小與距離的立方成反比，所以決定月球運動的主力不是來自太陽而是地球。 太陽對月球的攝動力比地球?qū)υ虑虻囊π?0倍

9、，但這一攝動力在太陽系內(nèi)仍是相對較大的。因此月球繞地公轉(zhuǎn)比單純的橢圓運動要復雜得多，精確確定月球的位置通常要考慮好幾百項因素。,日、地、月三體問題中需要注意的地方,2、潮汐現(xiàn)象,由于地球自轉(zhuǎn)、公轉(zhuǎn)和月球的運動，海洋各處輪流處于A或B的位置，造成海水有漲有落的潮汐現(xiàn)象。,A相對于O而言的加速度為：,B相對于O而言的加速度為：,起源于月亮、太陽或其它天體的引力而造成潮汐現(xiàn)象的力稱為引潮力或起潮力。其數(shù)值與引力來源天體的質(zhì)量成正比，與兩天體間的距離的立方成反比。,2、洛希極限,式中，R為行星半徑，為衛(wèi)星密度， 為行星密度。系數(shù)2.45539是假定衛(wèi)星質(zhì)量同行星質(zhì)量之比可以忽略時洛希給出的值。 如果這

10、一比值不能忽略，系數(shù)應有變化，達爾文給出的對應關系如下：,19世紀法國天文學家洛希在研究衛(wèi)星形狀理論中提出一個使衛(wèi)星解體的極限數(shù)據(jù)，稱為洛希極限。,當衛(wèi)星（流體團）與行星的距離小于洛希極限，說明引潮力超過極限，那么衛(wèi)星將會解體分散。,4.2 行星運動規(guī)律,一、軌道,二體問題的行星運動軌道是圓錐曲線，包括橢圓、拋物線、雙曲線三種類型。決定軌道在空間的位置和行星在軌道上的位置依賴于6個常數(shù)，稱為軌道根數(shù)。（以下以橢圓軌道為例）,i 是行星軌道面對黃道面的傾角，是軌道面與黃道面交線與x軸方向的夾角。這兩個根數(shù)決定了軌道平面的空間位置。, 是軌道長軸上近日點方向與軌道交線的夾角，它決定了橢圓長軸的方向

11、。,半長徑a和偏心率e決定了橢圓的大小和扁平的程度。,以上根數(shù)決定了行星在空間的實際軌道，最后一個根數(shù)決定行星在軌道上何時處于何處。,二、開普勒行星運動定律,開普勒(1571.12.271630.11.15)是德國人，嘔心瀝血地畢生從事行星運動的研究，于1609年發(fā)表第一、第二定律，1619年發(fā)表第三定律。開普勒糾正了哥白尼認為行星在以太陽為中心的圓軌道上勻速運動的錯誤，精確地描述了行星運動的軌道及行星在軌道上運動的規(guī)律。,1、開普勒,開普勒行星運動定律是萬有引力的必然結(jié)果，但其發(fā)表卻領先萬有引力定律80年，對天文學作出了卓越的貢獻。,2、開普勒行星運動三大定律,第一定律 行星運動的軌道是橢圓

12、，太陽位于橢圓的一個焦點上。,第二定律 以太陽為坐標原點的行星向徑在相等的時間內(nèi)掃過相等的面積。,2、開普勒行星運動三大定律,第三定律 不同行星在其軌道上公轉(zhuǎn)周期T的平方與軌道半長徑a的立方成正比。即：,或者,2、開普勒行星運動三大定律,開普勒第一、第二定律是嚴格正確的，第三定律忽略了不同行星之間的質(zhì)量差別，所以是有偏差的。嚴格的第三定律應為：,或者，對于太陽系所有行星,3、開普勒行星運動定律的推論,第二定律行星在軌道上運動的速度是不均勻的，且在近日點附近要比遠日點附近運動得快。,第三定律行星離太陽越遠，公轉(zhuǎn)周期越長，且軌道半長徑與周期之間有確切的數(shù)量關系。,第三定律離太陽越遠的行星，公轉(zhuǎn)角速

13、度越小，公轉(zhuǎn)線速度也越小。,第三定律可以計算太陽質(zhì)量和有衛(wèi)星繞轉(zhuǎn)的大行星的質(zhì)量,三、太陽系行星運動基本特征,1、行星軌道三大基本特征,近圓性,軌道的偏心率都比較小，使得軌道接近于圓形，偏心率最大的是冥王星（0.2482）和水星（0.2056）,同向性,公轉(zhuǎn)方向都是自西向東，無一例外。,共面性,行星的軌道基本都在一個平面上，即黃道面。軌道傾角最大：冥王星（17）、水星（7 ）,2、提丟斯波得定則,1766年，德國的一位中學教師提丟斯在自然的探索德文版中首次提出了后來被稱為“提丟斯波得”定則的見解，不過并未做出任何解釋。,1772年，德國天文學家波得在星空研究指南一書中研究并引用了提丟斯的見解，也

14、未做說明。,提丟斯波得定則給出的數(shù)值,各行星與太陽平均距離的數(shù)值（AU）,0.4,0.7,1.0,1.6,2.8,5.2,10.0,0.387（水星）,0.723（金星）,1.000（地球）,1.524（火星）,？,5.203（木星）,9.555（土星）,19.6,38.8,77.2,19.191（天王星）,30.061（海王星）,39.530（冥王星）,四、行星視運動規(guī)律,1、（地）內(nèi)行星,上合時肯定無法觀測內(nèi)行星 ；下合的位置上只有當凌日時才能觀測，通?？床坏?；觀測內(nèi)行星的最佳時機就是大距。,東大距時的內(nèi)行星在黃昏日落后不久在西方低空。西大距時的內(nèi)行星在黎明日出前不久在東方低空。,2、（地）外行星,合（）時肯定無法觀測內(nèi)行星； 東方照位置上的外行星，將在日落時出現(xiàn)在頭頂；西方照時的