分析力學(xué)基礎(chǔ)第一章12節(jié).ppt

1、第一章 分析力學(xué)基礎(chǔ),分析力學(xué)基礎(chǔ),分析力學(xué) 從十八世紀開始，出現(xiàn)與矢量力學(xué)并駕齊驅(qū)的另一力學(xué)體系 特點是對能量與功的分析代替對力與力矩的分析,分析力學(xué)基礎(chǔ),分析力學(xué)的兩個基本原理 達朗貝爾原理 利用達朗貝爾原理處理動力學(xué)的瞬時問題 虛位移原理 利用虛位移原理處理靜力學(xué)的問題 在此基礎(chǔ)上導(dǎo)出拉格朗日第一類方程與拉格朗日第二類方程,分析力學(xué)基礎(chǔ),實際中遇到的問題： 汽車減震問題,結(jié)構(gòu)設(shè)計的CAD,分析力學(xué)基礎(chǔ),航天器飛行的姿態(tài)動力學(xué)問題,分析力學(xué)基礎(chǔ),結(jié)構(gòu)特點 -研究對象由多個物體組成（剛體、柔性體） -結(jié)構(gòu)復(fù)雜 運動特點 -剛體的運動不僅僅是定軸轉(zhuǎn)動和平面運動 實驗手段的特點 -不僅有物理實驗

2、還有計算機仿真實驗 研究方法的特點 -多學(xué)科交叉（數(shù)學(xué)、物理、力學(xué)、計算機）, 1-1 自由度和廣義坐標,廣義坐標：描述質(zhì)點系在空間中位置的獨立參數(shù),自 由 度：廣義坐標的數(shù)目 在雙側(cè)、完整約束的條件下，確定質(zhì)點系位置的獨立參數(shù)的數(shù)目,N自由度數(shù),S完整約束數(shù),坐標：用來表示某個點的空間位置, 1-1 自由度和廣義坐標,確定系統(tǒng)的自由度數(shù),兩個約束方程：, 1-1 自由度和廣義坐標, 1-1 自由度和廣義坐標,確定系統(tǒng)的自由度數(shù), 1-1 自由度和廣義坐標,考慮由n個質(zhì)點組成的系統(tǒng)受s個完整雙側(cè)約束,為系統(tǒng)的一組廣義坐標,各質(zhì)點坐標表示為：,由等時變分運算確定第 i 個質(zhì)點的虛位移：,廣義虛位

3、移： 為廣義坐標 的變分，稱為廣義虛位移,坐標數(shù)：2*2=4個,自由度數(shù)：1個,廣義坐標，可選為,完整約束數(shù)：3個,坐標數(shù)：2*2=4個,自由度數(shù)：1個,廣義坐標，可選為,完整約束數(shù)：3個,思考：OA桿不垂直,自由度數(shù)：1個,廣義坐標，可選為,完整約束數(shù)：3個,則：,思考：最多可以選取多少個普通坐標描述系統(tǒng)位置，坐標的數(shù)量和選取方法不同是否影響廣義坐標的數(shù)量和形式？,自由度數(shù)：1個,廣義坐標，可選為, 1-2 用廣義力表示的質(zhì)點系平衡條件,主動力所作虛功的和為：,變換求和順序,考慮功是力與位移的乘積， 因此稱 Qk為對應(yīng)于廣義坐標qk的廣義力。 Qk的量綱, 1-2 用廣義力表示的質(zhì)點系平衡條

4、件,根據(jù)虛功原理：對于具有理想約束的質(zhì)點系，在給定位置平衡的必要和充分條件是，主動力系在質(zhì)點系的任意虛位移中所作虛功之和等于零。,具有理想約束的質(zhì)點系，在給定位置平衡的必要和充分條件是，對應(yīng)于每個廣義坐標的廣義力都等于零。, 結(jié) 論,系統(tǒng)所受約束越多，廣義坐標數(shù)越少，求解方便。, 1-2 用廣義力表示的質(zhì)點系平衡條件,求廣義力的方法：,法一：解析法,將主動力系的各力Fi的作用點的坐標xi，yi，zi寫成廣義坐標qk（k=1，2，N）的函數(shù)，對qk求偏導(dǎo)數(shù)后代入上式，即可求得廣義力，這種方法即解析法。,求廣義力的方法：,法二：幾何法, 1-2 用廣義力表示的質(zhì)點系平衡條件,可單一求某個廣義力，如

5、Q1，給質(zhì)點系一組特殊的虛位移，其中只令廣義坐標中Q1變更，而其余的廣義坐標保持不變， 即令 這樣就可以求出所有主動力相應(yīng)于廣義虛位移 所作的虛功之和，,用同樣的方法可求出, 1-2 用廣義力表示的質(zhì)點系平衡條件,例：勻質(zhì)桿OA和AB用鉸鏈A連接，鉸鏈O固定。兩桿的長度分別為l1和l2，重量為P1和P2，在桿的AB的B端受一水平力F作用，求平衡時兩桿與鉛垂直線所成的夾角和。 OA=l1 AB=l2,解：本系統(tǒng)有兩個自由度，選角 和 為廣義坐標。, 1-2 用廣義力表示的質(zhì)點系平衡條件,解：本系統(tǒng)有兩個自由度，選角 和 為廣義坐標。,（1）解析法：,OA=l1 AB=l2,對上面三式取變分：,

6、1-2 用廣義力表示的質(zhì)點系平衡條件,將它們代入下式并整理：, 1-2 用廣義力表示的質(zhì)點系平衡條件,由,可見，對應(yīng)于廣義坐標 和 的廣義力為,由用廣義力表示的質(zhì)點系的平衡條件可知：, 1-2 用廣義力表示的質(zhì)點系平衡條件,解析法的另一解法：,求出上式各項，并令Q Q等于零，得：, 1-2 用廣義力表示的質(zhì)點系平衡條件,用幾何法求解：,求廣義力QB：, 1-2 用廣義力表示的質(zhì)點系平衡條件,求廣義力Q：,得：,作業(yè)：習(xí)題1-1，1-3,廣義坐標：描述質(zhì)點系在空間中位置的獨立參數(shù),自 由 度：廣義坐標的數(shù)目,各質(zhì)點坐標表示為：,由等時變分運算確定第 i 個質(zhì)點的虛位移：,廣義虛位移： 為廣義坐標

7、 的變分，稱為廣義虛位移,作業(yè)：習(xí)題1-1，1-3,考慮功是力與位移的乘積，因此稱Qk為對應(yīng)于廣義坐標qk的廣義力。,求廣義力的方法：,法一：解析法,法二：幾何法,作業(yè)：習(xí)題1-1，1-3, 1-2 用廣義力表示的質(zhì)點系平衡條件,例：勻質(zhì)桿AB長為l，重為P，被約束在一固定光滑的圓柱容器中，在鉛直面內(nèi)平衡，設(shè)圓柱的半徑為R，求平衡位置。,解一：系統(tǒng)只有一個自由度。 取桿質(zhì)心縱坐標yC為廣義坐標，平衡時由虛功方程，有：,但 ，故必須, 1-2 用廣義力表示的質(zhì)點系平衡條件,因為 ，故必須 ，得：,即桿在水平位置保持平衡。 當 ，即桿在下水平位置時， 穩(wěn)定平衡 當 ，即桿在上水平位置時， 不穩(wěn)定平

8、衡,思考: 是廣義虛位移嗎？P 是廣義力嗎？, 1-2 用廣義力表示的質(zhì)點系平衡條件,解二：系統(tǒng)只有一個自由度。 取 為廣義坐標，平衡時由虛功方程，有：,即,因為 ，故必須 ，得：,必須,得, 1-2 用廣義力表示的質(zhì)點系平衡條件,保守系的平衡條件,質(zhì)點在有勢力作用下，當由一位置 M 經(jīng)任意軌跡運動到某一選定位置（M0）時，該有勢力所作的功稱為質(zhì)點在 M 處的勢能，即,在微小的實位移dr中，勢能的微小增量為,因為是保守系統(tǒng)，實位移是虛位移中的一個，將實位移換成虛位移，得, 1-2 用廣義力表示的質(zhì)點系平衡條件,對于由n個質(zhì)點所組成的保守系統(tǒng)，,而,結(jié)論：在勢力場中，具有理想約束的質(zhì)點系的平衡條

9、件為質(zhì)點系的勢能在平衡位置處一階變分為零。,系統(tǒng)平衡, 1-2 用廣義力表示的質(zhì)點系平衡條件,保守系統(tǒng),而,因系統(tǒng)的勢能V僅與質(zhì)點系的各質(zhì)點的位置有關(guān)，是位置的函數(shù)，若用廣義坐標 描述, 1-2 用廣義力表示的質(zhì)點系平衡條件,其變分有, 1-2 用廣義力表示的質(zhì)點系平衡條件,對于保守系統(tǒng)，其廣義力等于質(zhì)點系的勢能對應(yīng)于廣義坐標的一次偏導(dǎo)數(shù)冠以負號。,在保守系統(tǒng)情形下，質(zhì)點系平衡的充分必要條件Qj=0等價于, 1-2 用廣義力表示的質(zhì)點系平衡條件,穩(wěn)定平衡 隨遇平衡 不穩(wěn)定平衡 勢能極小 勢能不變 勢能極大,一個自由度系統(tǒng),平衡時,可求出平衡位置,為極小值，平衡是穩(wěn)定的,為極大值，平衡是不穩(wěn)定的, 1-2 用廣義力表示的質(zhì)點系平衡條件,例：一個倒置的擺，擺錘重為P，擺桿長度為l，在擺桿的點A連有一剛度系數(shù)為k的水平彈簧，擺在鉛直位置時彈簧未變形。設(shè)OA=a，擺桿重量