自動控制原理(第七章)1.ppt

1、共276頁第1頁,第七章 線性離散系統(tǒng)的分析與校正,共276頁第2頁,本章主要內(nèi)容： 一、離散系統(tǒng)的基本概念 二、信號的采樣與保持 三、Z變換理論 四、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 五、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差 六、離散系統(tǒng)的動態(tài)性能分析 七、離散系統(tǒng)的數(shù)字校正,第七章 線性離散系統(tǒng)的分析與校正,共276頁第3頁,本章要求 :,七、了解離散系統(tǒng)的動態(tài)性能分析,六、了解離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差,五、重點掌握采樣系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)的求法,四、了解離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,三、重點掌握Z變換與Z反變換的方法,二、掌握采樣系統(tǒng)信號采樣與保持的基本概念,一、了解離散系統(tǒng)的基本概念,第七章 線性離散系統(tǒng)的分析與校正,共

2、276頁第4頁,離散系統(tǒng)與連續(xù)系統(tǒng)相比，既有本質(zhì)上的相同，又有分析研究方面的相似性。利用Z變換法研究離散系統(tǒng)，可以把連續(xù)系統(tǒng)中的許多概念和方法，推應(yīng)用于線性離散系統(tǒng)。,第七章 線性離散系統(tǒng)的分析與校正,共276頁第5頁,一、離散系統(tǒng)的基本概念,本節(jié)主要內(nèi)容： 1、采樣控制系統(tǒng) 2、數(shù)字控制系統(tǒng) 3、離散控制系統(tǒng)的特點 4、離散系統(tǒng)的研究方法,共276頁第6頁,如果控制系統(tǒng)中有一處或幾處信號是一串脈沖或數(shù)碼， 換句話說，這些信號僅定義在離散時間上，則這樣的系統(tǒng)稱 為離散時間系統(tǒng)，簡稱離散系統(tǒng)。通常，把系統(tǒng)中的離散信 號是脈沖序列形式的離散系統(tǒng)，稱為采樣控制系統(tǒng)或脈沖控 制系統(tǒng)；而把數(shù)字序列形式的

3、離散系統(tǒng)，稱為數(shù)字控制系統(tǒng) 或計算機控制系統(tǒng)。 1、采樣控制系統(tǒng) （1）采樣控制系統(tǒng)舉例 一般說來，采樣系統(tǒng)是對來自傳感器的連續(xù)信息在某些 規(guī)定的時間瞬時上取值。如果在有規(guī)律的間隔上，系統(tǒng)取到 了離散信息，則這種采樣稱為周期采樣；反之，則稱為非周 期采樣。本章僅討論等周期采樣。下面舉例說明。,一、離散系統(tǒng)的基本概念,共276頁第7頁,一、離散系統(tǒng)的基本概念,爐溫采樣控制系統(tǒng),共276頁第8頁,工業(yè)爐爐溫自動連續(xù)控制系統(tǒng),工業(yè)爐爐溫自動采樣控制系統(tǒng),一、離散系統(tǒng)的基本概念,共276頁第9頁,工業(yè)爐爐溫自動控制系統(tǒng)，爐子具有時延特性，且時延時間長達(dá)數(shù)秒或數(shù)十秒，而且慣性時間常數(shù)可達(dá)千秒以上。當(dāng)爐溫

4、與給定值有偏差時，偏差經(jīng)放大驅(qū)動執(zhí)行電機，由電動機去開大或關(guān)小燃料供應(yīng)閥的閥門，達(dá)到控制爐溫的目的。由于電機的時間常數(shù)相對于爐子的時間常數(shù)顯得很小，可忽略不計，故執(zhí)行電機與放大環(huán)節(jié)合并成比例環(huán)節(jié)，燃料供應(yīng)閥是一個積分環(huán)節(jié)。在這樣一個控制系統(tǒng)中，的設(shè)計顯得極其困難。因為當(dāng)選取較大時，電機對很小的溫度偏差也很明感，即當(dāng)有一個小的溫度偏差時（爐溫低于給定值），電機很快轉(zhuǎn)動，開大燃料供應(yīng)閥，但由于爐子的延時作用和大慣性特性，爐溫的上升很緩慢，在爐溫到達(dá)給定值之前，電動機一直往一個方向轉(zhuǎn)動，閥門開度持續(xù)增大，等爐溫達(dá)到給定值時，閥門早已開過了頭。這時電動機即使停轉(zhuǎn)甚至反轉(zhuǎn)，爐溫仍繼續(xù)升高。此后減小閥門開

5、度，同樣也會造成調(diào)節(jié)過度。如此循環(huán)往復(fù)，爐溫必然大幅度振蕩。若選取很小的，系統(tǒng)的靈敏度很低，反應(yīng)遲鈍，而且因為電動機“死區(qū)”的存在，調(diào)節(jié)誤差會很大，調(diào)節(jié)時間也會變得很長。,共276頁第10頁,I、信號的采樣 在采樣控制系統(tǒng)中，把連續(xù)信號轉(zhuǎn)變?yōu)槊}沖序列的過程 稱為采樣過程，簡稱采樣。實現(xiàn)采樣的裝置稱為采樣器，或 稱采樣開關(guān)。為了簡化系統(tǒng)的分析，可認(rèn)為 趨于零，即把 采樣器的輸出近似看成一串強度等于矩形脈沖面積的理想脈 沖 ， 如圖 （b） 所示。,一、離散系統(tǒng)的基本概念,（2）信號的采樣與復(fù)現(xiàn),共276頁第11頁,II、信號的復(fù)現(xiàn) 在采樣控制系統(tǒng)中，把脈沖序列轉(zhuǎn)變?yōu)檫B續(xù)信號的過程稱為信號復(fù)現(xiàn)過程

6、。實現(xiàn)復(fù)現(xiàn)過程的裝置稱為保持器。,一、離散系統(tǒng)的基本概念,共276頁第12頁,III、采樣系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)圖 根據(jù)采樣器在系統(tǒng)中所外的位置不同，可以構(gòu)成各種系統(tǒng)，如果采樣器位于系統(tǒng)閉合回路之外，或者系統(tǒng)本身不存在閉合回路，則稱為開環(huán)采樣系統(tǒng)；如果采樣器位于系統(tǒng)閉合回路之內(nèi)，則稱為閉環(huán)采樣系統(tǒng)。在各種采樣控制系統(tǒng)中，用得最多的是誤差采樣控制的閉環(huán)采樣系統(tǒng)，其典型結(jié)構(gòu)圖如下圖所示。,一、離散系統(tǒng)的基本概念,共276頁第13頁,采樣系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)圖,一、離散系統(tǒng)的基本概念,保持器,被控對象,共276頁第14頁,2、數(shù)字控制系統(tǒng) （1）數(shù)字控制系統(tǒng)舉例 數(shù)字控制系統(tǒng)是一種以數(shù)字計算機為控制器去控制具有連

7、續(xù)工作狀態(tài)的被控對象的閉環(huán)控制系統(tǒng)。因此，數(shù)字控制系統(tǒng)包括工作于離散狀態(tài)下的數(shù)字計算機和工作于連續(xù)狀態(tài)下的被控對象兩大部分。,一、離散系統(tǒng)的基本概念,共276頁第15頁,復(fù)習(xí)21,1.控制系統(tǒng)中有一處或幾處信號是一串脈沖或數(shù)碼，僅定義在離散時間上，稱為離散系統(tǒng)。把系統(tǒng)中的離散信號是脈沖序列形式的離散系統(tǒng)，稱為采樣控制系統(tǒng)或脈沖控制系統(tǒng)；而把數(shù)字序列形式的離散系統(tǒng)，稱為數(shù)字控制系統(tǒng)或計算機控制系統(tǒng)。 2.信號的采樣：把連續(xù)信號轉(zhuǎn)變?yōu)槊}沖序列的過程稱為采樣過程，簡稱采樣。 3.信號的復(fù)現(xiàn)：在采樣控制系統(tǒng)中，把脈沖序列轉(zhuǎn)變?yōu)檫B續(xù)信號的過程稱為信號復(fù)現(xiàn)過程。,共276頁第16頁,一、離散系統(tǒng)的基本概念

8、,圖 小口徑高炮精度數(shù)字伺服系統(tǒng),共276頁第17頁,一、離散系統(tǒng)的基本概念,共276頁第18頁,計算機控制系統(tǒng)原理圖 （2）A/D轉(zhuǎn)換器、D/A轉(zhuǎn)換器 1） A/D轉(zhuǎn)換 A/D轉(zhuǎn)換包括兩個過程：一是采樣過程，二是量化過程。 2）D/A轉(zhuǎn)換 D/A轉(zhuǎn)換也經(jīng)歷兩個過程：一是解碼過程，二是復(fù)現(xiàn)過程。,一、離散系統(tǒng)的基本概念,共276頁第19頁,一、離散系統(tǒng)的基本概念,A/D轉(zhuǎn)換,D/A轉(zhuǎn)換,共276頁第20頁,(3)數(shù)字控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)圖,一、離散系統(tǒng)的基本概念,被控對象,保持器,數(shù)字控制器,測量裝置,共276頁第21頁,3、離散控制系統(tǒng)的特點 1）由數(shù)字計算機構(gòu)成的數(shù)字校正裝置，效果比連續(xù)式校

9、正裝置好，且由軟件實現(xiàn)的控制規(guī)律易于改變，控制靈活。 2）采樣信號，特別是數(shù)字信號的傳遞可以有效地抑制噪聲，從而提高了系統(tǒng)的抗擾能力。 3）允許采用高靈敏的控制元件，以提高系統(tǒng)的控制精度。 4）可用一臺計算機分時控制若干個系統(tǒng)，提高了設(shè)備的利用率，經(jīng)濟(jì)性好。 5）對于具有傳輸延遲，特別是大延遲的控制系統(tǒng)，可以引入采樣的方式穩(wěn)定。,一、離散系統(tǒng)的基本概念,共276頁第22頁,4、離散系統(tǒng)的研究方法 為了克服運算過程中出現(xiàn)復(fù)變量的超越函數(shù)這個障礙，需要采用Z變換法建立離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。即采用Z變換法分析離散系統(tǒng)。,一、離散系統(tǒng)的基本概念,共276頁第23頁,二、信號的采樣與保持,本節(jié)主要內(nèi)容：

10、1、采樣過程 2、采樣過程的數(shù)學(xué)描述 3、香農(nóng)采樣定理 4、采樣周期的選取 5、信號保持,共276頁第24頁,1、采樣過程 把連續(xù)信號變換為脈沖序列的裝置稱為采樣器，又叫采 樣開關(guān)。采樣器的采樣過程，可以用一個周期性閉合的采樣 開關(guān)來表示，如圖所示。,二、信號的采樣與保持,共276頁第25頁,二、信號的采樣與保持,共276頁第26頁,二、信號的采樣與保持,共276頁第27頁,采樣過程可以看成是一個幅值調(diào)制過程。,二、信號的采樣與保持,共276頁第28頁,2、采樣過程的數(shù)學(xué)描述 采樣信號的拉氏變換 對采樣信號 進(jìn)行拉氏變換，可得 從上可知 只描述了在采樣瞬時的數(shù)值，所以 不能給出連續(xù)函數(shù)在采樣間

11、隔之間的信息。,二、信號的采樣與保持,共276頁第29頁,例 試求指數(shù)函數(shù) 的 變換。 解：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的 變換為 當(dāng) 成立，則上式可寫成如下閉 式形式,二、信號的采樣與保持,共276頁第30頁,二、信號的采樣與保持,采樣信號的頻譜,共276頁第31頁,頻譜圖,二、信號的采樣與保持,連續(xù)信號頻譜,采樣信號頻譜,共276頁第32頁,3、香農(nóng)采樣定理,二、信號的采樣與保持,共276頁第33頁,4、采樣周期的選取 從頻域性能指標(biāo)來看，工程實踐表明，隨動系統(tǒng)的采樣角頻率可近似取為 從時域性能指標(biāo)來看，采樣周期按下列經(jīng)驗公式選?。?或,二、信號的采樣與保持,共276頁第34頁,5、信號保持 從數(shù)學(xué)上說，

12、保持器的任務(wù)是解決各采樣點之間的插值問題。 保持器的數(shù)學(xué)描述 保持器的外推公式 這樣保持器稱為m階保持器。若取m0，則稱零階保持器；m1，稱一階保持器。,二、信號的采樣與保持,共276頁第35頁,零階保持器的外推公式為 時，上式也成立。所以零階保持器的 數(shù)學(xué)表達(dá)式為,二、信號的采樣與保持,零階保持器,共276頁第36頁,零階保持器的輸出特性,二、信號的采樣與保持,共276頁第37頁,零階保持器的頻率特性為,相頻特性為,其幅頻特性為,二、信號的采樣與保持,共276頁第38頁,其中,零階保持器的頻率特性曲線如圖所示，對比上圖可知零階保持器是一個低通濾波器，但不是理想的低通濾波器，它除了允許信號的主

13、頻譜分量通過外，還允許部分高頻分量通過。,二、信號的采樣與保持,共276頁第39頁,圖 零階保持器的頻率特性曲線,二、信號的采樣與保持,共276頁第40頁,零階保持器具有如下特性,低通特性：由于幅頻特性的幅值隨頻率值的增大而迅速衰減，說明零階保持器基本上是一個低通濾波器，但與理想濾波器特性相比，在 =s/2,其幅值只有初值的63.7%，且截止頻率不止一個，所以零階保持器允許主要頻譜分量通過外，還允許部分高頻分量通過,從而造成數(shù)字控制系統(tǒng)的輸出中存在紋波。,二、信號的采樣與保持,共276頁第41頁,相角特性：由相頻特性可見，零階保持器要產(chǎn)生相角遲后，且隨的增大而加大，在 =s/2 時，相角遲后可

14、達(dá)180o，從而使閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差。,二、信號的采樣與保持,時間遲后：零階保持器的輸出為階梯信號eh(t) 其平均響應(yīng)為et(T/2),表明輸出比輸入在時間上要遲后T/2，相當(dāng)于給系統(tǒng)增加一個延遲時間為T/2的延遲環(huán)節(jié)，對系統(tǒng)穩(wěn)定不利。,共276頁第42頁, 一階保持器 一階保持器外推公式 將 和 代入上式，有 得 于是，一階保持器的數(shù)學(xué)表達(dá)式為,二、信號的采樣與保持,共276頁第43頁,一階保持器的輸出特性,二、信號的采樣與保持,共276頁第44頁,三、Z變換理論,本節(jié)主要內(nèi)容：,1、Z變換定義 2、Z變換方法,共276頁第45頁,1、Z變化定義 連續(xù)函數(shù) 的拉氏變換的表達(dá)為 對于采樣信

15、號 ，,三、Z變換理論,故采樣信號 拉氏變換,共276頁第46頁,由廣義脈沖數(shù)的篩選性質(zhì)可得 令變量 則采樣信號 的Z變換定義為 記作,三、Z變換理論,共276頁第47頁,2、Z變換方法 級數(shù)求和法 級數(shù)求和法是直接根據(jù)Z變換的定義 例76 試求單位階躍函數(shù) 的Z變換 解 由于 在所有采樣時刻上的采樣值均為1，即,三、Z變換理論,故由上式有,共276頁第48頁,例77 設(shè) 試求理想脈沖序列 的Z變換。 解 因為為T采樣周期，故,三、Z變換理論,故,又,共276頁第49頁,例 求單位脈沖信號的z變換。,解：,設(shè) ，則 由于 在時刻 的脈沖強度為1，其余時刻的脈沖強度均為零，所以有,三、Z變換理論

16、,共276頁第50頁,例 求單位階躍信號的z變換。,解： 設(shè) ，則 該級數(shù)的收斂域為 ，在該收斂域內(nèi)上式可以寫成如下閉合形式,三、Z變換理論,共276頁第51頁,例 求單位斜坡信號的z變換。,設(shè) ，則 上式兩邊對z求導(dǎo)數(shù)，并將和式與導(dǎo)數(shù)交換，得 上式兩邊同乘 ，便得單位斜坡信號的z變換,解：,三、Z變換理論,共276頁第52頁,例 求指數(shù)函數(shù)的z變換。,解：設(shè) ，則,三、Z變換理論,共276頁第53頁,注意：,不能直接將 代入 來求 ，因為是針對采樣信號 進(jìn)行z變換。,三、Z變換理論,共276頁第54頁,部分分式法 舉例說明 例78 已知連續(xù)函數(shù)的拉氏變換為 試求相應(yīng)的Z變換 。 解:根據(jù)部分

17、分式法，先寫出 的拉普拉斯變換的部分分式展開式，即令將 展成如下部分分式：,三、Z變換理論,共276頁第55頁,三、Z變換理論,共276頁第56頁,三、Z變換理論,又,所以,共276頁第57頁,例,設(shè) ，求 的z變換。,解：,上式兩邊求Laplace反變換，得,三、Z變換理論,共276頁第58頁,例：求e(t)=sint的Z變換。,解：,的原函數(shù)為 ，其Z變換為,三、Z變換理論,共276頁第59頁,(3) 留數(shù)計算法,已知連續(xù)信號e (t)的拉氏變換E(s)及它的全部極點,可用下列的留數(shù)計算公式求E(z)。,函數(shù) 在極點處的留數(shù)計算方法如下：,若 Si為單極點，則,三、Z變換理論,共276頁第

18、60頁,若 有n重極點Si，則,例 已知系統(tǒng)傳遞函數(shù) ，應(yīng)用留數(shù)計算法求E(z）。,三、Z變換理論,共276頁第61頁,解：E(s)的極點為單極點,三、Z變換理論,共276頁第62頁,例：求 (t0) 的Z變換.,解：,E(s)有兩個s=0的極點，即,三、Z變換理論,共276頁第63頁,3、Z變換性質(zhì) 線性定理 實數(shù)位移定理 復(fù)數(shù)位移定理 終值定理 卷積定理,三、Z變換理論,共276頁第64頁,z變換的基本定理,其中 為任意實數(shù)。,1線性定理：,若 和 z變換為 和 ，,則,三、Z變換理論,共276頁第65頁,證明：,三、Z變換理論,共276頁第66頁,2實數(shù)位移定理,若 的z變換為 ，則,滯

19、后定理,超前定理,三、Z變換理論,共276頁第67頁,證明：,證明滯后定理,三、Z變換理論,共276頁第68頁,證明超前定理,三、Z變換理論,共276頁第69頁,3復(fù)位移定理,已知 的z變換函數(shù)為 ，則,三、Z變換理論,共276頁第70頁,4Z域尺度定理,若已知 的z變換函數(shù)為 ，則,其中， 為任意常數(shù)。,三、Z變換理論,共276頁第71頁,5. 卷積定理,卷積的定義：,則卷積定理，諾：,必有：,證：由Z變換,再由平移定理及Z變換定義，有,所以：,共276頁第72頁,故,交換求和次序，可寫為：,證得：,共276頁第73頁,6.初值定理和終值定理,(1)、初值定理： 設(shè) 的z變換為 ， 并且有極

20、限 存在， 則,三、Z變換理論,共276頁第74頁,2、終值定理：,設(shè) 的z變換為 ，且 的極點均在z平面的單位圓內(nèi)， 則,三、Z變換理論,共276頁第75頁,復(fù)習(xí)22,1.香農(nóng)（Shannon）采樣定理 ： 2.理想脈沖序列： 3. 保持器：信號的恢復(fù)是指將采樣信號恢復(fù)為連續(xù)信號的過程，能夠?qū)崿F(xiàn)這一過程的裝置稱為保持器。零階保持器： 4. z變換： 5. z變換的基本定理：線性定理、實數(shù)位移定理、復(fù)位移定理、終值定理。,共276頁第76頁,線性定理,復(fù)位移定理,終值定理,復(fù)習(xí)22,共276頁第77頁,4、z反變換,實質(zhì)：求E(z)冪級數(shù)展開式 z反變換的求解方法： 部分分式法 長除法 反演積

21、分法（留數(shù)法）,z反變換: 從E(z)中還原出離散序列e(nT),三、Z變換理論,共276頁第78頁,三、Z變換理論,然后逐項查Z變換表，得到 最后寫出已知 的采樣函數(shù),(1)部分分式法,共276頁第79頁,例713 設(shè)Z變換函數(shù)為 試求其Z反變換。 解 因為 所以,三、Z變換理論,共276頁第80頁,三、Z變換理論,部分分式法還可以用下列方法解：,共276頁第81頁,三、Z變換理論,共276頁第82頁,三、Z變換理論,查表72公式7得：,共276頁第83頁,對比式可知:,若z變換函數(shù) 是復(fù)變量z的有理函數(shù)，則可將 展成 的無窮級數(shù)，即,由此可看出 是關(guān)于復(fù)變量 的冪級數(shù) 。,(2)、冪級數(shù)展

22、開法（長除法）,共276頁第84頁,把E(z)展開成冪級數(shù),級數(shù)的系數(shù)就是序列e(nt)。,三、Z變換理論,方法是將z變換函數(shù)E（z）表示成按z1升冪排 列的兩個多項式之比：,直接作綜合除法得z1升冪排列的冪級數(shù)展開式：,共276頁第85頁,解：用長除法展成z的負(fù)冪級數(shù),三、Z變換理論,共276頁第86頁,已知z變換函數(shù)為 求其z反變換。,三、Z變換理論,共276頁第87頁,解：,由,運用長除法得,由此得,于是脈沖序列可以寫成,三、Z變換理論,共276頁第88頁,例714 設(shè)z變換函數(shù)為 試用冪級數(shù)法求其z反變換。,三、Z變換理論,共276頁第89頁,解：,由,運用長除法得,由此得,于是脈沖序

23、列可以寫成,三、Z變換理論,共276頁第90頁,3、反演積分法（留數(shù)法）,根據(jù)復(fù)變函數(shù)理論，若函數(shù)E(z)在環(huán)狀區(qū)域 內(nèi)是解析的，則在此區(qū)域內(nèi)E(z)可展開成勞倫級數(shù)，即 而 其中圍線c是在E(z)的環(huán)狀 收斂域內(nèi)環(huán)繞原點的一條 反時針方向的閉合單圍線。,三、Z變換理論,共276頁第91頁,由z變換的定義可知,三、Z變換理論,共276頁第92頁,利用留數(shù)定理求圍線積分，令,若E(z)在圍線c上連續(xù)，在c內(nèi)有i個極點zi，則：,三、Z變換理論,共276頁第93頁,三、Z變換理論,單階極點的留數(shù)：,共276頁第94頁,若 有n重極點Zi，則,三、Z變換理論,共276頁第95頁,例：以知z變換函數(shù)為

24、 試用反演積分法求z反變換。,三、Z變換理論,共276頁第96頁,解：,所以,三、Z變換理論,共276頁第97頁,例715：設(shè)z變換函數(shù)為 試用留數(shù)方法求其z反變換。,三、Z變換理論,共276頁第98頁,解：,所以,三、Z變換理論,共276頁第99頁,例：求 (t0) 的Z變換.,解：,E(s)有兩個s=0的極點，即,三、Z變換理論,共276頁第100頁,5、關(guān)于Z變換的說明,三、Z變換理論, Z變換的非惟一性,共276頁第101頁, Z變換的收斂區(qū)間,雙邊z變換可寫成,工程中大多數(shù)是單邊z變換,收斂條件,共276頁第102頁,本節(jié)主要內(nèi)容： 1、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)定義 2、線性常系數(shù)差分方程及其

25、解法 3、脈沖傳遞函數(shù) 4、開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù) 5、閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù) 6、Z變換法的局限性及修正Z變換,四、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,共276頁第103頁,差分方程,初始條件,代數(shù)方程,解,解,t域,z域,z變換,Z反變換,對象,保持器,執(zhí)行器,測量環(huán)節(jié),給定值,被控量,數(shù)字 調(diào)節(jié)器,數(shù)模 轉(zhuǎn)換器,模數(shù) 轉(zhuǎn)換器,采樣 保持器,多路 開關(guān),+,-,輸出反饋計算機控制系統(tǒng),四、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,共276頁第104頁,1、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)定義 將輸入序列 ， 變換為輸出序列的一種變換關(guān)系，稱為離散系統(tǒng)。記作 如果上式所示的變換關(guān)系是線性的，則稱為線性離散系統(tǒng)；如果這種變換關(guān)系是非線性的，則稱為非線性

26、離散系統(tǒng)。,四、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,共276頁第105頁,線性離散系統(tǒng) 如果離散系統(tǒng)滿足疊加原理，則稱為線性離散系統(tǒng)，即有如下關(guān)系式,四、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,線性定常離散系統(tǒng) 輸入與輸出關(guān)系不隨時間而改變的線性離散系統(tǒng)，稱為線性定常離散系統(tǒng)。,共276頁第106頁,2、線性常系數(shù)差分方程及其解法,四、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,即,線性定常離散系統(tǒng)可通過n階后向差分方程描述,共276頁第107頁,線性定常離散系統(tǒng)也可以用如下n階前向差分 方程來描述：,四、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,或表示為,常系數(shù)線性差分方程的求解方法有經(jīng)典法、迭代法和Z變換法,這里僅介紹工程上常用的迭代法和Z變換法這兩種解法。,共276頁

27、第108頁,若已知差分方程，并且給定輸出序列的初值，則可以利用遞推關(guān)系，在計算機上一步一步地算出輸出序列。,四、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型, 迭代法,共276頁第109頁,四、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,共276頁第110頁,四、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型, Z變換法,解 對差分方程的每一項進(jìn)行Z變換，根據(jù)實數(shù)位移定理：,共276頁第111頁,四、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,得Z代數(shù)方程,共276頁第112頁,復(fù)習(xí)23,1.部分分式法：,2.冪級數(shù)展開法:,若z變換函數(shù) 是復(fù)變量z的有理函數(shù)，則可將 展成 的無窮級數(shù)，即,3.反演積分法:,共276頁第113頁,復(fù)習(xí)23,4.線性常系數(shù)差分方程,共276頁第114頁,兩邊進(jìn)行

28、Z變換：,所以系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：,脈沖傳遞函數(shù)與差分方程,一般線性離散系統(tǒng)的解為：,四、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,共276頁第115頁,3、脈沖傳遞函數(shù) 脈沖傳遞函數(shù)定義 設(shè)開環(huán)離散系統(tǒng)如下圖所示，線性定常離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)定義為系統(tǒng)的初始條件為零時系統(tǒng)輸出采樣信號的Z變換與輸入采樣信號的Z變換之比，記作,四、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,共276頁第116頁,在零初始條件下，線性定常散系統(tǒng)的輸出采樣信號為 然而，對大多數(shù)實際系統(tǒng)來說，其輸出往往是連續(xù)信 號 ，而不是采樣信號 ，則在系統(tǒng)輸出端虛設(shè)一 個理想采樣開關(guān)，它與輸入采樣開關(guān)同步工作，虛設(shè)的采 樣開關(guān)是不存在的，它只表明了脈沖傳遞函數(shù)所能描述的，

29、只是輸出函數(shù) 在采樣時刻上的離散值 。,四、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,共276頁第117頁, 脈沖傳遞函數(shù)意義,四、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,輸入單位序列：,單位脈沖響應(yīng)序列:,如果輸入采樣信號是,輸出響應(yīng)序列:,因而序列：,則由Z變換的卷積定理：,或者：,令加權(quán)序列的Z變換：,共276頁第118頁,脈沖傳遞函數(shù)的含義是：系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù) ，就 等于系統(tǒng)加權(quán)序列 的Z變換。,可知：,四、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,共276頁第119頁,線性定常離散系統(tǒng)的差分方程為：,在零初始條件下，進(jìn)行Z變換可得：,整理得：,四、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,共276頁第120頁, 脈沖傳遞函數(shù)求法,四、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,記作 習(xí)慣表示

30、為,連續(xù)系統(tǒng)或元件的脈沖傳遞函數(shù) ，可以通 過其傳遞函數(shù) 來求取。,為加權(quán)序列,共276頁第121頁,例718 設(shè)某環(huán)節(jié)的差分方程為 試求其脈沖傳遞函數(shù) 。 解: 對差分方程取Z變換，并由實數(shù)位移定理得 當(dāng) 時， ，在離散系統(tǒng)中其 物理意義是代表一個延遲環(huán)節(jié)。它把其輸 入序列右移一個采樣周期后再輸出。,四、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,共276頁第122頁,例719 設(shè)圖723所示開環(huán)系統(tǒng)中的 試求相應(yīng)的脈沖傳遞函數(shù) 。 解 將 展成部分分式 查Z變換表得,四、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,共276頁第123頁,4、開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù),四、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,2）若采樣函數(shù)的拉氏變換 與連續(xù)函數(shù)的拉氏變換 相乘

31、后再離散化，則 可以從離散符號中提出來，即,1）采樣函數(shù)的拉氏變換具有周期性，即 其中， 為采樣角頻率。,采樣拉氏變換的兩個重要性質(zhì),共276頁第124頁,證明1）：,在上式中，令 ，可得,其中，T為采樣周期。因此令 ，必有,四、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,共276頁第125頁,證明2）：,于是：,證得：,四、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,共276頁第126頁,有串聯(lián)環(huán)節(jié)時的開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù),四、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,1）串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān),設(shè)開環(huán)離散系統(tǒng)如圖(a)所示，由圖可得,于是有,共276頁第127頁,2）串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無采樣開關(guān) 設(shè)開環(huán)離散系統(tǒng)如圖 (b)所示，顯然 這里 為 的拉氏變換,四、離散

32、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,共276頁第128頁,上式中,四、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,通常,對輸出取Z變換，得,于是開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù),共276頁第129頁,顯然， 在串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有無同路不采樣開關(guān)隔離時，其總 的脈沖傳遞函數(shù)和輸出Z變換是不相同的。但是， 不同之處僅表現(xiàn)在其零點不同，極點仍然一樣。這 也是離散系統(tǒng)特有的現(xiàn)象。,四、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,共276頁第130頁,例：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示，其中 求開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。,四、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,共276頁第131頁,解：,四、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,共276頁第132頁,3) 有零階保持器時的開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù),四、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,設(shè)有零階保持器的開環(huán)離

33、散系統(tǒng)如下圖 (a)所示。,共276頁第133頁,由圖(b)可得,四、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,根據(jù)實數(shù)位移定理及采樣拉氏變換性質(zhì)，可得,共276頁第134頁,例：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如上圖所示，其中 采樣周期 秒 求其開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。,四、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,共276頁第135頁,解：,由于,所以,四、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,共276頁第136頁,例721 設(shè)離散系統(tǒng)如前圖所示，已知 試求系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù) 。 解 因為 因此，有零階保持器的開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù),四、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,共276頁第137頁,5、閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù) 下圖是一種比較常見的誤差采樣閉環(huán)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。,四、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,共2

34、76頁第138頁,由上圖可見，連續(xù)輸出信號和誤差信號的拉氏變換為,四、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,因此有,所以,共276頁第139頁,定義,四、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,為閉環(huán)離系統(tǒng)對于輸入量的誤差脈沖傳遞函數(shù)。,定義,為閉環(huán)離散系統(tǒng)對于輸入量的脈沖傳遞函數(shù)。,閉環(huán)離散系統(tǒng)的特征方程：,共276頁第140頁,需要指出，閉環(huán)離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)不能從 和 求變換得來，即 這是由于采樣器在閉環(huán)系統(tǒng)中有多種配置之故。,四、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,共276頁第141頁,例722 設(shè)閉環(huán)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖所示，試 證其閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為,四、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,共276頁第142頁,證明：由結(jié)構(gòu)圖所示：,對E1(s)離散化：

35、,離散化后，有：,所以，輸出信號的采樣拉氏變換,對上式進(jìn)行z變換，證得：,四、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,共276頁第143頁,例723 設(shè)閉環(huán)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖所示，試證其輸出采樣信號的Z變換函數(shù)為,證明： 由圖可得,所以,對上式離散化，有,四、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,共276頁第144頁,解得：,上式取z變換，證得,四、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,共276頁第145頁,例,四、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,共276頁第146頁,解：,對于階躍輸入函數(shù)有,四、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,共276頁第147頁,則輸出信號的z變換為,于是,四、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,共276頁第148頁,注意,有些閉環(huán)采樣系統(tǒng)不可能求出 形式的閉環(huán)脈沖傳遞

36、函數(shù)，而只能求出輸出信號 的表達(dá)式。如圖所示的閉環(huán)采樣系統(tǒng),四、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,共276頁第149頁,閉環(huán)傳遞函數(shù),G(s),R(s),C(s),H(s),-,+,閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù),G(s),R(s),C(s),H(s),-,+,閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù),G1(s),R(s),C(s),H(s),-,+,G2(s),四、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,共276頁第150頁,擾動作用下線性離散系統(tǒng)輸出：,G1(s),G2(s),R(s),+,-,C(s),N(s),+,+,R(s)=0時等效系統(tǒng)框圖為,N(s),四、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,共276頁第151頁,Z變換法的局限性 修正Z變換法,四、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

37、,6、Z變換法的局限性及修正Z變換,共276頁第152頁,1、s域到z域的映射 2、離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件 3、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù) 4、采樣周期與開環(huán)增益對穩(wěn)定性的影響 5、離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 6、離散系統(tǒng)的型別與靜態(tài)誤差系數(shù),五、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差,本節(jié)主要內(nèi)容：,共276頁第153頁,1、s域到z域的映射 s域到z域的基本映射關(guān)系式為,五、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差,共276頁第154頁,等 線映射,五、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差,共276頁第155頁,等 線映射,五、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差,共276頁第156頁,五、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差, 等 線映射,共276頁第

38、157頁,共276頁第158頁,2、離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件,五、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差,差分方程的特征方程如下,齊次線性差分方程, 時域中離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件 設(shè)線性定常差分方程,定義 若離散系統(tǒng)在有界輸入序列作用下，其輸出序 列也是有界的，則稱該離散系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,共276頁第159頁,設(shè)特征方程有各不相同的特征根 當(dāng)特征方程的根 時，必 有 ，故系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件 是：,五、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差,共276頁第160頁, z域中離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件 設(shè)典型離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，其特征方程為,五、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差,共276頁第161頁,s域到z域的映射

39、復(fù)變量s和z的相互關(guān)系為 z=esT ，式中T為采樣周期。,于是，s域到z域的基本映射關(guān)系式為,五、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差,共276頁第162頁,若設(shè)復(fù)變量s在S平面上沿虛軸移動，這時sj，對應(yīng)的復(fù)變量 。后者是Z平面上的一個向量，其模等于1，與頻率無關(guān)；其相角為T，隨頻率而改變。,可見，S平面上的虛軸映射到Z平面上，為以原點為圓心的單位圓。,當(dāng)s位于S平面虛軸的左邊時，為負(fù)數(shù)， 小于1。反之，當(dāng)s位于s平面虛軸的右半平面時，為正數(shù)， 大于1。s平面的左、右半平面在z平面上的映像為單位圓的內(nèi)、外部區(qū)域。,五、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差,共276頁第163頁,其特征方程為,顯然，閉環(huán)系統(tǒng)特征

40、方程的根1、2、n即是閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點。,五、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差,共276頁第164頁,在z域中，線性定常離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是： 當(dāng)且僅當(dāng)離散特征方程的全部特征根均分布在z平面上的單位圓內(nèi)，或者所有特征的模均小于1，即 ，相應(yīng)的線性定常離散系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,五、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差,共276頁第165頁,復(fù)習(xí)24,1.脈沖傳遞函數(shù)定義:系統(tǒng)的初始條件為零時系統(tǒng)輸出采樣信號的Z變換與輸入采樣信號的Z變換之比。 2.開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù) 1）串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān) 2）串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無采樣開關(guān) 3) 有零階保持器時的開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù) 3.閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)：與采樣開關(guān)位置

41、有關(guān)。,共276頁第166頁,例727 設(shè)離散系統(tǒng)如圖所示，其中 試分析該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,五、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差,解,所以該離散系統(tǒng)不穩(wěn)定。,共276頁第167頁,3、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù) w變換與勞思穩(wěn)定判據(jù),五、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差,顯然,雙線性變換,共276頁第168頁,當(dāng)動點z在Z平面的單位圓上和單位圓之內(nèi)時，應(yīng)滿足：,左半W平面對應(yīng)Z平面單位圓內(nèi)的部分，W平面的虛軸對應(yīng)Z平面的單位圓上，可見圖。因此經(jīng)過雙線性變換后，可以使用勞斯判據(jù)了。,五、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差,共276頁第169頁,五、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差,離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件，由特征方程 1+GH（z

42、）=0的所有根嚴(yán)格位于z平面上的單位 圓內(nèi)，轉(zhuǎn)換為特征方程1+GH（w）=0的所有根嚴(yán) 格位于左半W平面。,共276頁第170頁,例728 設(shè)閉環(huán)離散系統(tǒng)如圖所示，其中采樣周期 ，試求系統(tǒng)穩(wěn)定時K的臨界值。,五、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差,解：,共276頁第171頁,五、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差,得W域特征方程,令 ，得,閉環(huán)特征方程,共276頁第172頁,五、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差,列出勞思表,共276頁第173頁, 朱利穩(wěn)定判據(jù) 朱利判據(jù)是根據(jù)離散系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程 的系數(shù)，判別其根是否位于Z平面上的單位圓內(nèi)，從而判斷該離散系統(tǒng)是否穩(wěn)定。 設(shè)離散系統(tǒng)n階閉環(huán)特征方程可以寫為 利用特征

43、方程的系數(shù)，按照下述方法構(gòu)造,五、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差,行、 列朱利陣列，見下表。,共276頁第174頁,朱 利 陣 列,五、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差,共276頁第175頁,五、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差,這里,共276頁第176頁,五、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差,朱利穩(wěn)定判據(jù),特征方程 的根，全部位于Z平面上單位圓內(nèi) 的充分必要條件是:,共276頁第177頁,例729,解：,五、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差,已知離散系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為：,試用朱利穩(wěn)定判據(jù)判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,根據(jù)給定的D(z)知：,計算朱利陣列的元素：,共276頁第178頁,五、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差,這里,共2

44、76頁第179頁,朱利陣列,五、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差,共276頁第180頁,因為,系統(tǒng)是穩(wěn)定的,五、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差,共276頁第181頁,例,已知采樣系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為 試判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,解：,五、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差,共276頁第182頁,朱利陣列,系統(tǒng)是穩(wěn)定的,五、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差,共276頁第183頁,4、采樣周期與開環(huán)增益對穩(wěn)定性的影響 例730 設(shè)有零階保持器的離散系統(tǒng)如下圖所示，試 求： 1)當(dāng)采樣周期 分別為1s和0.5s時，系統(tǒng)的臨界開環(huán)增 益 2)當(dāng) ， ， 分別為 時，系統(tǒng)的輸出響應(yīng) 。,五、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差,共276頁第

45、184頁,解: 開環(huán)脈沖傳遞函數(shù) 閉環(huán)特征方程為 當(dāng) 時，有,五、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差,共276頁第185頁,W域特征方程 根據(jù)勞思判據(jù)易得 。 當(dāng) 時，W域特征方程為 根據(jù)勞思判據(jù)得 。 令 ， 分別為 可由 的反變換求出 ， 分別畫于下張圖之中。,五、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差,共276頁第186頁,圖：階躍響應(yīng),五、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差,共276頁第187頁,由例可見，K與T對離散系統(tǒng)穩(wěn)定性有如下影響： 1)采樣周期一定時，加大開環(huán)增益會使離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差，甚至使系統(tǒng)變得不穩(wěn)定； 2)當(dāng)開環(huán)增益一定是，采樣周期越長，丟失的信息越多，對離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性及動態(tài)性能均不利，甚至

46、可使系統(tǒng)失去穩(wěn)定性。,五、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差,共276頁第188頁,5、離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 介紹利用Z變換的終值定理方法，求取誤差采樣的離散系統(tǒng)在采樣瞬時的穩(wěn)態(tài)誤差。 設(shè)單位單饋誤差采樣系統(tǒng)如下圖所示，,五、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差,共276頁第189頁,系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為G(z) 采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差除可從輸出信號在各采樣時刻上的數(shù)值C(nT) (n=0，1，2)，以及從過渡過程曲線C*(t)求取外，還可以應(yīng)用Z變換的終值定理來計算。,五、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差,共276頁第190頁,為系統(tǒng)誤差脈沖傳遞函數(shù)。 若離散系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則可用Z變換的終值定理求出采樣瞬時的穩(wěn)態(tài)誤差

47、,五、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差,與線性連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差分析類似引出離散系統(tǒng)型別的概念，由于 的關(guān)系，原線性連續(xù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)在s=0處極點的個數(shù)v作為劃分系統(tǒng)型別的標(biāo)準(zhǔn)，可推廣為將離散系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)G(z)在z=1處極點的數(shù)目v作為離散系統(tǒng)的型別,稱v=0,1,2,.的系統(tǒng)為0型、I型、II型離散系統(tǒng)。,共276頁第191頁,例7-31 設(shè)離散系統(tǒng)如下圖所示，其中 ，輸入連續(xù)信號 分別為 和 ，試求離散 系統(tǒng)相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差。,五、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差,共276頁第192頁,五、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差,解:,系統(tǒng)的誤差脈沖傳遞函數(shù),因為,所以系統(tǒng)穩(wěn)定，應(yīng)用終值定理方法

48、求穩(wěn)態(tài)誤差。,當(dāng),求得,共276頁第193頁,五、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差,求得,當(dāng) ，相應(yīng)時 ，,，,共276頁第194頁,6、離散系統(tǒng)的型別與靜態(tài)誤差系數(shù) 單位階躍輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差 當(dāng)系統(tǒng)輸入為單位階躍函數(shù) 時，其Z變 換函數(shù) 穩(wěn)態(tài)誤差為 定義靜態(tài)位置誤差系數(shù)：,五、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差,共276頁第195頁, 單位斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差 當(dāng)系統(tǒng)輸入為單位斜坡函數(shù) 時，其Z變換函數(shù) 穩(wěn)態(tài)誤差為 定義靜態(tài)速度誤差系數(shù),五、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差,共276頁第196頁, 單位加速度輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差 當(dāng)系統(tǒng)輸入為單位加速度函數(shù) 時，其Z 變換函數(shù) 穩(wěn)態(tài)誤差為 定義靜態(tài)加速度誤差系數(shù),五

49、、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差,共276頁第197頁,表：單位反饋離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差,五、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差,共276頁第198頁,已知采樣系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖所示，其中， ，采樣周期 秒，求在輸入信號 的作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。,例,五、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差,共276頁第199頁,采樣系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為,采樣系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為,解：,五、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差,共276頁第200頁,該采樣系統(tǒng)穩(wěn)定,在階躍和斜坡函數(shù)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為零靜態(tài)加速度誤差系數(shù)為,因此，在輸入 作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為,五、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差,共276頁第201頁,1、離散系統(tǒng)的時間響應(yīng) 2、采樣

50、器和保持器對動態(tài)性能的影響 3、閉環(huán)極點與動態(tài)響應(yīng)的關(guān)系,六、離散系統(tǒng)的動態(tài)性能分析,本節(jié)主要內(nèi)容：,共276頁第202頁,1、離散系統(tǒng)的時間響應(yīng),六、離散系統(tǒng)的動態(tài)性能分析,共276頁第203頁,閉環(huán)極點與瞬態(tài)響應(yīng)之間的關(guān)系,設(shè)采樣系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為,若輸入信號為單位階躍，則,六、離散系統(tǒng)的動態(tài)性能分析,共276頁第204頁,上式中第一項為穩(wěn)態(tài)分量，第二項為瞬態(tài)分量，顯然瞬態(tài)分量的變化規(guī)律取決于極點在z平面中的位置。,將 按部分分式展開，得,六、離散系統(tǒng)的動態(tài)性能分析,共276頁第205頁,不同極點所對應(yīng)的瞬態(tài)響應(yīng),六、離散系統(tǒng)的動態(tài)性能分析,共276頁第206頁,例732 設(shè)有零階保持器

51、的離散系統(tǒng)如下圖所示，其中 。試分析該系統(tǒng)的動態(tài)性能。,六、離散系統(tǒng)的動態(tài)性能分析,解：,共276頁第207頁,六、離散系統(tǒng)的動態(tài)性能分析,閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù),單位階躍序列響應(yīng)的Z變換：,共276頁第208頁,六、離散系統(tǒng)的動態(tài)性能分析,輸出序列 為,根據(jù)上述數(shù)值，可以繪出離散系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，如下張圖所示。,共276頁第209頁,圖：離散系統(tǒng)輸出脈沖序列,六、離散系統(tǒng)的動態(tài)性能分析,1.4,共276頁第210頁,2、采樣器和保持器對動態(tài)性能的影響 舉例說明 在例732中，如果沒有采樣器和零階器，則成為連 續(xù)系統(tǒng)，其閉環(huán)傳遞函數(shù) 該系統(tǒng)的阻尼比 ，自然頻率 ，其單位階躍響應(yīng)為,六、離散系統(tǒng)的動

52、態(tài)性能分析,共276頁第211頁,如果在例732中，只有采樣器而沒有零階保持 器，則系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為 相應(yīng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù) 代入 ，得系統(tǒng)輸出Z變換,六、離散系統(tǒng)的動態(tài)性能分析,共276頁第212頁,六、離散系統(tǒng)的動態(tài)性能分析,求得輸出序列 為,根據(jù)上述各值，可以繪出離散系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，如下張圖曲線2所示。,共276頁第213頁,在例732中，既有采樣器又有零階保持器的單位階躍響應(yīng)曲線，見曲線3。,六、離散系統(tǒng)的動態(tài)性能分析,共276頁第214頁,根據(jù)上張圖，可以求得各類系統(tǒng)的性能指標(biāo)如下表所示。,六、離散系統(tǒng)的動態(tài)性能分析,共276頁第215頁,采樣器和保持器對離散系統(tǒng)的動態(tài)性

53、能有如下影響： 1）采樣器可使系統(tǒng)的峰值時間和調(diào)節(jié)時間略有減小，但使 超調(diào)量增大，故采樣造成的信息損失會降低系統(tǒng)的穩(wěn)定程 度。然而，在某些情況下，例如在具有大延遲的系統(tǒng)中，誤 差采樣反而會提高系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。 2）零階保持器使系統(tǒng)的峰值時間和調(diào)節(jié)時間都加長，超調(diào) 量和振蕩次數(shù)也增加。這是因為除了采樣造成的不穩(wěn)定因素 外，零階保持器的相角滯后降低了系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。,六、離散系統(tǒng)的動態(tài)性能分析,共276頁第216頁,復(fù)習(xí)25,1.朱利穩(wěn)定判據(jù) 2.單位階躍輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差 3.單位斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差 4.單位加速度輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差,共276頁第217頁,例 若系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示，試求其單位階躍響應(yīng)

54、的離散值，并分析系統(tǒng)的動態(tài)性能。采樣周期T=0.2秒。,圖 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖,六、離散系統(tǒng)的動態(tài)性能分析,共276頁第218頁,解：系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為,當(dāng)輸入量r(t)=1(t)時，R(z)=z/(z1)，輸出量的z變換為：,六、離散系統(tǒng)的動態(tài)性能分析,共276頁第219頁,利用長除法得,基于z變換定義，由上式求得系統(tǒng)在單位階躍外作用下的輸出序列C(kT)為,六、離散系統(tǒng)的動態(tài)性能分析,共276頁第220頁,根據(jù)上面各離散點數(shù)據(jù)繪出系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線如圖示。 由圖求得給定離散系統(tǒng)的近似性能指標(biāo)為：,六、離散系統(tǒng)的動態(tài)性能分析,共276頁第221頁,圖 單位階躍響應(yīng)曲線,1.48,六、離散系統(tǒng)

55、的動態(tài)性能分析,共276頁第222頁,在線性連續(xù)系統(tǒng)中，閉環(huán)傳遞函數(shù)零、極點在S平面的分布對系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)有非常大的影響。與此類似，采樣系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)與閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)零、極點在z平面的分布也有密切的關(guān)系。,零、極點分布的關(guān)系,3、閉環(huán)極點與動態(tài)響應(yīng)的關(guān)系,六、離散系統(tǒng)的動態(tài)性能分析,共276頁第223頁,設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為,式中mn。為分析簡便設(shè)其無重極點（分別為p1 、 p2 、 pn ）。,六、離散系統(tǒng)的動態(tài)性能分析,共276頁第224頁,采樣系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng),（Ci為留數(shù)）,通過Z反變換導(dǎo)出輸出信號的脈沖序列C*(t)并無技術(shù)上的困難。,上式中第一項為系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量，第二

56、項為輸出的暫態(tài)分量。顯然，隨著極點在z平面位置的變化，它所對應(yīng)的暫態(tài)分量也就不同。,六、離散系統(tǒng)的動態(tài)性能分析,共276頁第225頁,1）實軸上的閉環(huán)單極點時,設(shè)pk為正實數(shù)。 pk對應(yīng)的暫態(tài)項為,六、離散系統(tǒng)的動態(tài)性能分析,共276頁第226頁,六、離散系統(tǒng)的動態(tài)性能分析,共276頁第227頁,2） 閉環(huán)共軛復(fù)數(shù)極點時,設(shè)pk 、 為一對共軛復(fù)數(shù)極點，pk 、pk+1對應(yīng)的暫態(tài)項為,其中,六、離散系統(tǒng)的動態(tài)性能分析,共276頁第228頁,若| pk |1，閉環(huán)復(fù)數(shù)極點位于z平面上的單位圓外，動態(tài)響應(yīng)為振蕩脈沖序列；,六、離散系統(tǒng)的動態(tài)性能分析,若| pk |1，閉環(huán)復(fù)數(shù)極點位于z平面上的單位

57、圓內(nèi)，動態(tài)響應(yīng)為振蕩收斂脈沖序列,且| pk |越小,即復(fù)極點越靠近原點,振蕩收斂越快；,若| pk |=1，閉環(huán)復(fù)數(shù)極點位于z平面上的單位圓上，動態(tài)響應(yīng)為等幅振蕩脈沖序列；,共276頁第229頁,Z平面上的閉環(huán)共軛復(fù)數(shù)極點,六、離散系統(tǒng)的動態(tài)性能分析,共276頁第230頁,本節(jié)主要內(nèi)容： 1、數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù) 2、最少拍系統(tǒng)設(shè)計 3、無波紋最少拍系統(tǒng)設(shè)計,七、離散系統(tǒng)的數(shù)字校正,共276頁第231頁,1、數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù) 設(shè)離散系統(tǒng)如下圖所示。設(shè) ，由圖可以求出系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)以及誤差脈沖傳遞函數(shù),七、離散系統(tǒng)的數(shù)字校正,共276頁第232頁,則可以分別求出數(shù)字控制器的

58、脈沖傳遞函數(shù)為,七、離散系統(tǒng)的數(shù)字校正,或,顯然,共276頁第233頁,2、最少拍系統(tǒng)設(shè)計,七、離散系統(tǒng)的數(shù)字校正,在采樣過程中，通常稱一個采樣周期為一拍。所謂最少拍系統(tǒng)，是指在典型輸入作用下，能以有限拍結(jié)束響應(yīng)過程，且在采樣時刻上無穩(wěn)態(tài)誤差的離散系統(tǒng)。 最少拍系統(tǒng)的設(shè)計，是針對典型輸入作用進(jìn)行的。常見的典型輸入，有單位階躍函數(shù)、單位速度函數(shù)和單位加速函數(shù)。,共276頁第234頁,設(shè)典型輸入信號分別為單位階躍信號、單位速度信號和單位加速度信號時，其 z 變換分別為：,典型輸入可表示為如下一般形式：,七、離散系統(tǒng)的數(shù)字校正,共276頁第235頁,最少拍系統(tǒng)的設(shè)計原則：,七、離散系統(tǒng)的數(shù)字校正,共276頁第236頁,誤差信號的Z變換為,七、離散系統(tǒng)的數(shù)字校正,使上式為零的條件是 中包含有 的因子，即,共276頁第237頁,式中F(z)為不包含(1 z1)的z1的多項式,可見，當(dāng) F(z)=1時， 中包含的z1的項數(shù)最少。采樣系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)過