常微分方程第5章答案

1、練習5.11.給定方程x=x x=(*)a)證明了u (t)=和v (t)=分別是滿足初始條件u (0)=和v (0)=的方程組(*)的解。b)測試證明w (t)=c u (t) c v (t)是滿足初始條件w(0)=的方程組(*)的解，其中它是一個任意常數(shù)。解決方案：a) u(0)=u(t)=u(t)v(0)=v (t)=v(t)因此，u (t)和v (t)是給定初值問題的解。b) w(0)=u(0) u(0)=w (t)=u (t) v (t)=w(t)因此，w(t)是給定方程初值問題的解。2.將下列初值問題轉(zhuǎn)化為一階方程的等價初值問題：a) x 2x 7tx=e，x(1)=7，x(1)=

2、2b) x x=te，x(0)=1，x(0)=1，x (0)=2，x (0)=0c)x(0)=1，x (0)=0，y(0)=0，y (0)=1解決方法：a)讓x=x=x，x=x，然后得到也就是說，x=x(1)=7 x(1)=x(1)=2因此，原初值問題轉(zhuǎn)化為一階方程的等價初值問題：x=x(1)=其中x=0。b)如果=x=，您將得到：和(0)=x(0)=1，=(0)=-1，(0)=(0)=2，(0)=(0)=0因此，原初值問題轉(zhuǎn)化為一階方程的等價初值問題：=x(0)=其中x=。c)讓w=x，w=，w=y，w=y，那么初始值問題可以簡化為：和那是wW(0)=其中w=3.嘗試逐步逼近的方法來找到方程

3、=x x=滿足初始條件x(0)=的第三個近似解。解決方案：0241201楊素玲練習5.202412-02 02412-031.測試證書=是方程組x=x，x=的基本解矩陣，在沒有原點的任何區(qū)間a中。解：假設(shè)第一列是(t)=1，那么(t)=1，所以(t)是一個解。類似地，如果第二列用(t)表示，我們有(t)=(t)，那么(t)也是一個解。所以這是一個解矩陣。因為det=-t，它是一個基本的解矩陣。2.考慮方程組x=A(t)x (5.15)，其中A(t)是區(qū)間A上的連續(xù)n-n矩陣，其元素是A(t)，I，j=1，2，n。a)如果x (t)，x (t)，x (t)是(5.15)的任意n個解，那么它們的v

4、ronsky行列式Wx (t)，x (t)，x (t) W(t)滿足下列一階線性微分方程w=ab)求解上述一階線性微分方程，并證明以下公式：W(t)=W(t )e t，t a，b解決方案：w (t)=.=.完成后，原始形式變?yōu)?a a )=(a a )w(t)=(a (t) a (t)w(t)b)因為w (t)= a (t) a (t) w(t)，也就是= a (t) a (t)dt從t到t的兩邊積分ln -ln=w(t)=w(t )e，t a，b3.設(shè)A(t)是區(qū)間A上的連續(xù)n個實矩陣，它是方程x=A(t)x的基本解矩陣，x=(t)是它的解之一。試著證明：A)對于方程y=-A (t)y的任何

5、解，y=(t) (t)=常數(shù)；b(t)是方程y=-A (t)y的基本解矩陣，當且僅當存在一個非奇異常數(shù)矩陣c，因此(t) (t)=C .溶液a) (t) (t)=(t) (t)=(t) (t)A(t)因為=-(t)(t)，所以=-(t)(t)(t)(t)=-(t)(t)A(t)(t)A(t)(t)=0，因此，對于方程y=-A (t)y的任何解，y=(t) (t)=常數(shù)。b)“假設(shè)”是方程y=-A (t)y的基本解矩陣，那么(t) (t)如果有一個非奇異常數(shù)矩陣C，detc 0，讓(t) (t)=C，然后(t) (t)=(t) (t)=0，所以(t) (t)=-(t) (t)=-(t) a (t

6、)。4.設(shè)它是方程x=Ax的標準基解矩陣(即(0)=E)(A是n個常數(shù)矩陣)，并證明：(t )=(t- t ),其中t是某個值。證明了：(1)、(t- t)是基本解矩陣。(2)因為它是方程x=Ax的解矩陣，所以(t)也是x=Ax的解矩陣，并且當t=t時，(t) (t)=e，(t-t)=(0)=e。因此，(t )=(t- t)可以從解的存在唯一性定理中得到5.設(shè)A (t)和F (t)是在區(qū)間A上連續(xù)的N-N矩陣和N維列向量，并證明方程組x=A(t)x f(t)存在且至多有N 1個線性獨立解。證明了如果x，x，x是x=A(t)x的n個線性無關(guān)解和x=A(t)x f(t)的解，那么x，x，x都是非齊

7、次線性方程的解。讓我們證明它們是線性獨立的，假設(shè)有常數(shù)c，(I=1，2)A上有線性相關(guān)，這與已知的相反，所以x，x，x是線性獨立的，所以方程系統(tǒng)x=A(t)x f(t)存在，并且最多有n 1個線性獨立的解。6、嘗試證明非齊次線性微分方程的疊加原理：解是方程組解決方案。證據(jù)：(1) (2)分別替換(1)和(2)然后然后制造直接證據(jù)7.考慮一個方程組，其中a)測試證明是基本解矩陣；b)嘗試找到滿足初始條件的解決方案。證明：首先，驗證它是一個基本的解矩陣由表示的第一列然后這就是方程的解如果第二列由我們有這也是方程的解這是方程的解矩陣又因此，它是矩陣的基本解；b)根據(jù)常數(shù)變易公式，方程的解滿足初始條件

8、和8.試著問一問，其中滿足初始條件解決方案。解決方案：從問題7得知的基本解決方案矩陣然后如果方程滿足初始條件有如果有9個，試著找出下面方程的通解：a)解答：很容易知道，相應(yīng)的齊次線性方程的基本解組是此時此刻源自公式一般的解決方案是b)解答：很容易知道，相應(yīng)的齊次線性方程的基本解組是是方程的特征根因此，方程有一個根像代替所以這個方程有一個通解c)解：很容易知道，對應(yīng)于對應(yīng)的齊次線性方程的特征方程是方程的基本解組因為它是相應(yīng)的齊次線性方程的解所以這也是原始方程的解方程的一般解是10、給定f(t)是連續(xù)的方程，試著用常數(shù)變易公式來證明：a)如果f(t)在上界，那么上述方程的每個解都在上界；b)如果，

9、當，那么上述方程的每個解(當)。證明：a)上限M0存在，所以這也是齊次線性方程的基本解組非齊次線性方程的解滿足初始條件的非齊次線性方程的解x(t)有一個固定常數(shù)制造因此因此，上述方程的每個解都在上表面上有界b)，當tN，從a)的結(jié)論來看因此，最初的命題成立了11.給定方程(5.15)這里，A(t)是區(qū)間上的連續(xù)矩陣，設(shè)它是(5.15)的基本解矩陣，并且n維向量函數(shù)F(t，x)是連續(xù)的，試證明初值問題：(*)唯一的解決辦法是積分方程(*)的連續(xù)解。相反，(* *)的連續(xù)解也是初值問題(8)的解。證據(jù)：如果它是(*)的唯一解然后從非齊次線性方程組的求解公式出發(fā)也就是說，(*)的解滿足(* *)相反

10、，如果它是(* *)的解，則有兩邊t的導數(shù)：也就是說，(* *)的解就是(*)的解練習5.31、假設(shè)a是nn矩陣，試著證明：a)對于任何常數(shù)，都有exp(A)=exp A exp Ab)對于任何整數(shù)k，有(expA)=expkA(當k為負整數(shù)時，(expa)=(expa)證據(jù)：a)(a)(a)=(a)(a)出口(A)=出口a出口ab)當k0時，(expa)=expa expa.expa=exp(A A A)=expkA在k0，-k0(ExPa)=(ExPa)=exp(-A)=exp(-A)exp(-A)=exp(-A)-(k)=expkA因此，k有(expA)=expkA2.測試：如果解=Ax

11、滿足初始條件=，那么=expA(t-t )證明：根據(jù)定理8= (t) -1 (t0) (t)因為(t)=exp，-1(t0)=(exp 0)-1=exp(-at0)，f (s)=0，因為矩陣(at) (-at0)=(-at0) (at)因此=expa (t-t)3.嘗試計算下列矩陣的特征值和相應(yīng)的特征向量a) b)c) d)解決方案：a) det (e-a)=(-5) (1)=0=5，=-1特征向量u=，()對應(yīng)于=5特征向量v=，()對應(yīng)于=-1(1)(2)(2)=0=-1，=2，=-2對應(yīng)于=-1=(0)的特征向量u1對應(yīng)于=2=，()的特征向量U2對應(yīng)于=-2=，()的特征向量u3(1)

12、2-(3)=0=-1(雙)，=3對應(yīng)于=-1(雙)的特征向量u=(0)特征向量v=，()對應(yīng)于=3d)det(E-A)=(3)(1)(2)=0=-1，=-2，=-3對應(yīng)于=-1=(0)的特征向量u1對應(yīng)于=-2=，()的特征向量U2對應(yīng)于=-3=，()的特征向量u34.嘗試找到方程Ax的基本解矩陣，并計算expAt，其中a為：a) b)c) d)解決方案：a) det (e-a)=0=，=-對應(yīng)的特征向量是u=，(0)相應(yīng)的特征向量是v=，() u=，v=是兩個線性獨立的特征向量，對應(yīng)于 (t)=是基本解矩陣ExpAt=b)從det (e-a)=0，=5，=-1解是u=，v=是兩個線性獨立的特征向量，對應(yīng)于那么基本解矩陣是 (t)=(0)=-1(0)=0Expat= (t) -1 (0)=c)從det (e-a)=0，=2，