北航解析幾何課件總復(fù)習(xí).ppt

1、解析幾何總復(fù)習(xí),第一章 向量代數(shù),第二章 空間解析幾何,第三章 坐標(biāo)變換與二次曲線分類(lèi),第四章 正交變換與仿射變換,第五章 考試題型, 向量代數(shù),1. 向量的各種運(yùn)算,加法、數(shù)乘、內(nèi)積、外積、混合積,重點(diǎn)掌握:,(1) 各種向量運(yùn)算的法則及其坐標(biāo)運(yùn)算., = (a1, a2, a3), = (b1, b2, b3), = (c1, c2, c3), R,設(shè)在某直角坐標(biāo)系I: O; e1, e2, e3中,解析幾何總復(fù)習(xí), + = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3) 一個(gè)向量, = a1b1 + a2b2 + a3b3 一個(gè)數(shù), = (a1, a2, a3) 一個(gè)向量,一個(gè)向

2、量,解析幾何總復(fù)習(xí),一個(gè)數(shù),(2) 向量的夾角, ( ) = ( ) ( ) 一個(gè)向量,解析幾何總復(fù)習(xí),(3) 外積、混合積的幾何意義.,外積的長(zhǎng)度 | |,-以, 為鄰邊的平行四邊形的面積,混合積的絕對(duì)值 |(, , )|,-以, , 為同一頂點(diǎn)三條棱的平行六面體體積,2. 向量或點(diǎn)的共線、共面問(wèn)題,(1) 與 共線 = 0.,(2) , , 共面 (, , ) = 0.,解析幾何總復(fù)習(xí), 空間解析幾何,1. 求平面方程,(1) 平面的點(diǎn)向式方程,已知一點(diǎn)M0(x0, y0, z0) , 方向向量 v1(X1, Y1, Z1) , v2(X2, Y2, Z2) 不共線, 則過(guò)M0且平行于 v

3、1, v2的平面方程為,其中 M 為平面上任一點(diǎn).,解析幾何總復(fù)習(xí),(2) 平面的一般方程,(3) 直角坐標(biāo)系中平面的點(diǎn)法式方程,Ax + By + Cz + D = 0,其中,注意: 標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程之間的互化.,已知一點(diǎn) M0(x0, y0, z0) , 平面的法向量 n(A, B, C) , 則平面方程為,A (x x0) + B(y y0)+ C(z z0) + D = 0,解析幾何總復(fù)習(xí),2. 求空間直線方程,(1) 直線的標(biāo)準(zhǔn)方程,已知一點(diǎn) M0(x0, y0, z0) , 一個(gè)方向向量v(X, Y, Z) , 則直線方程為,(2) 直線的參數(shù)方程,解析幾何總復(fù)習(xí),(3) 直線的

4、一般方程,注意: 標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程之間的互化.,3. 求夾角,(1) 直線與直線,(2) 直線與平面,(3) 平面與平面,歸結(jié)為兩向量的夾角,解析幾何總復(fù)習(xí),4. 求距離,(1) 點(diǎn)到直線,(2) 點(diǎn)到平面,(3) 兩異面直線,解析幾何總復(fù)習(xí),5. 判斷位置關(guān)系,(1) 兩直線(平行、相交、重合、異面),(2) 兩平面(平行、相交、重合),(3) 直線與平面(屬于、平行、相交),6. 求旋轉(zhuǎn)面、柱面、錐面方程,(1) 旋轉(zhuǎn)面,設(shè)旋轉(zhuǎn)面S 軸線 l 過(guò)點(diǎn)M0 , 平行于向量u0; 母線,則 M(x, y) S ,解析幾何總復(fù)習(xí), 圓柱面,定義: 由直線繞與它平行的軸線旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn) 面稱(chēng)為圓柱

5、面. 母線與軸線的距離稱(chēng)為它的半徑.,方法1: 軸線過(guò)點(diǎn) M0, 平行于向量 u, 半徑為 r,點(diǎn) M 在圓柱面上 ,方程的建立:,方法2: 軸線過(guò)M0, 平行于向量u, M1在圓柱面上,點(diǎn) M 在圓柱面上 ,解析幾何總復(fù)習(xí), 圓錐面,定義: 由直線繞與它相交而不垂直的軸線旋轉(zhuǎn) 所得的旋轉(zhuǎn)面稱(chēng)為圓錐面. 母線與軸線的交點(diǎn) 稱(chēng)為錐頂, 夾角稱(chēng)為半頂角.,方程的建立:,方法1: 錐頂為M0, 半頂角為,點(diǎn) M 在圓錐面上 ,方法2: 錐頂為M0, M1在圓柱面上,點(diǎn) M 在圓錐面上 ,解析幾何總復(fù)習(xí),(2) 柱面,設(shè)柱面S / u(k, m, n), 準(zhǔn)線 :,則點(diǎn) M(x, y, z) S 存在

6、實(shí)數(shù) t, 使得,從其中一式解出 t 代入另一式, 即得 S 一般方程.,定理: 若一個(gè)柱面的母線平行于z 軸 (或 x 軸, 或 y 軸), 則它的方程中不含 z (或x, 或y); 反之, 一個(gè) 三元方程若不含z (或x, 或y), 則它一定表示一個(gè) 母線平行于z 軸 (或 x 軸, 或 y 軸) 的柱面.,解析幾何總復(fù)習(xí),(3) 錐面,定理: x, y, z 的 n 次齊次方程的圖像 (添上原點(diǎn)) 一定是錐頂為原點(diǎn)的錐面. 在以錐面頂點(diǎn)為原點(diǎn) 的直角坐標(biāo)系中, 錐面方程必是關(guān)于 x, y, z 的齊 次方程.,設(shè)錐面S錐頂M0(x0, y0, z0) , 準(zhǔn)線 :,則M(x, y, z)

7、 (不是錐頂)在錐面上存在實(shí)數(shù)t, 使,從其中一式解出 t 代入另一式, 即得 S 的方程.,解析幾何總復(fù)習(xí),(一) 橢球面,1 橢球面:,2 點(diǎn):,(二) 雙曲面,3 單葉雙曲面:,(1) 非空二次曲面的類(lèi)型,4 雙葉雙曲面:,7. 二次曲面,解析幾何總復(fù)習(xí),(三) 拋物面,5 橢圓拋物面:,6 雙曲拋物面:,(四) 二次錐面,7 二次錐面:,(五) 二次柱面,8 橢圓柱面:,解析幾何總復(fù)習(xí),9 一條直線:,10 雙曲柱面:,11 一對(duì)相交平面:,12 拋物柱面:,14 一張平面:,13 一對(duì)平行平面:,解析幾何總復(fù)習(xí),(2) 五類(lèi)二次曲線的圖形特征 (平行截線的變化規(guī)律; 范圍; 對(duì)稱(chēng)性;

8、 圖像),1 橢球面,2 單葉雙曲面,3 雙葉雙曲面,4 橢圓拋物面,5 雙曲拋物面,解析幾何總復(fù)習(xí), 類(lèi)型,所有二次柱面 所有二次錐面 單葉雙曲面 雙曲拋物面, 特點(diǎn),二次柱面: 所有直母線都平行于一個(gè)固定向量.,二次錐面: 所有直母線都過(guò)同一個(gè)點(diǎn).,(3) 直紋二次曲面,解析幾何總復(fù)習(xí),雙曲拋物面: 恰有兩族直母線,c R,同族的直母線都平行于同一張平面;,異族的直母線一定相交.,有如下特征性質(zhì):,方向向量分別為: uc (a, b, c), uc (a, b, c),同族的兩條不同直母線一定異面;,解析幾何總復(fù)習(xí),單葉雙曲面: 恰有兩族直母線,其中 s, t 不全為零.,解析幾何總復(fù)習(xí),

9、同族的任何三條不同的直母線都不平行于 同一張平面;,異族的直母線一定共面.,有如下特征性質(zhì):,方向向量可分別取為:,同族的兩條不同直母線一定異面;,解析幾何總復(fù)習(xí), 坐標(biāo)變換與二次曲線的分類(lèi),1. 坐標(biāo)變換公式,(1) 仿射坐標(biāo)變換公式、過(guò)渡矩陣的性質(zhì),(2) 直角坐標(biāo)變換公式、正交矩陣的特點(diǎn),2. 二次曲線的分類(lèi),(1) 利用移軸和轉(zhuǎn)軸求二次曲線標(biāo)準(zhǔn)方程,(2) 利用不變量判斷二次曲線類(lèi)型,解析幾何總復(fù)習(xí),3. 計(jì)算二次曲線的仿射特征、度量特征,(1) 中心型二次曲線的中心,(2) 漸近線,(3) 直徑與共軛直徑,(4) 圓錐曲線的切線,(5) 圓錐曲線的對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn),(6) 根據(jù)圓錐曲線的仿射、度量特征畫(huà)簡(jiǎn)圖,解析幾何總復(fù)習(xí), 保距變換與仿射變換,1. 仿射變換,(1) 概念與性質(zhì),(2) 仿射變換基本定理,(3) 仿射變換的變換公式、變換矩陣,(4) 仿射變換的不動(dòng)點(diǎn)與特征向量,2. 保距變換,(1) 概念與特點(diǎn),(2) 保距變換基本定理,(3) 保距變換的變換公式、變換矩陣,解析幾何總復(fù)習(xí),3. 圖形的仿射分類(lèi)與度量分類(lèi),(1) 仿射等價(jià)與度量等價(jià),(2) 仿射概念、仿射性質(zhì)和度量概念、度量性質(zhì),(3) 利用圖形的仿射分類(lèi)解決某些幾何問(wèn)題,注意幾個(gè)常見(jiàn)的仿射等價(jià)類(lèi): 全體三角形; 全體平行四邊形; 每一類(lèi)二次曲線.,解析幾何總復(fù)