概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二章.ppt

1、第二章 隨機變量及其分布(第六講),退 出,前一頁,后一頁,目 錄,1 離散型隨機變量的概率分布 2 隨機變量的分布函數(shù) 3 連續(xù)型隨機變量的概率密度 4 隨機變量的函數(shù)的分布,1 隨機變量,第二章 隨機變量及其分布,例 1 袋中有3只黑球，2只白球，從中任意取出3 只球我們將3只黑球分別記作1，2，3號，2只白球分別記作4，5號，則該試驗的樣本空間為,1 隨機變量,考察取出的3只球中的黑球的個數(shù)。,退 出,前一頁,后一頁,目 錄,我們記取出的黑球數(shù)為X，則 X 的可能取值為1，2， 3因此， X 是一個變量但是， X 取什么值依賴于 試驗結果，即 X 的取值帶有隨機性，所以，我們稱 X 為隨

2、機變量X 的取值情況可由下表給出：,第二章 隨機變量及其分布,1 隨機變量,退 出,前一頁,后一頁,目 錄,由上表可以看出，該隨機試驗的每一個結果都對應 著變量 X 的一個確定的取值，因此變量 X 是樣本空 間S上的函數(shù)：,我們定義了隨機變量后，就可以用隨機變量的取值 情況來刻劃隨機事件例如,表示至少取出2個黑球這一事件，等等,第二章 隨機變量及其分布,表示取出2個黑球這一事件；,退 出,前一頁,后一頁,目 錄,第二章 隨機變量及其分布,1 隨機變量,例2 擲一顆骰子，令 X：出現(xiàn)的點數(shù) 則 X 就是一個隨機變量,表示擲出的點數(shù)不超過 4 這一隨機事件；,表示擲出的點數(shù)為偶數(shù)這一隨機事件,它的

3、取值為1，2，3，4，5，6,退 出,前一頁,后一頁,目 錄,例3 上午 8:009:00 在某路口觀察，令： Y：該時間間隔內通過的汽車數(shù) 則 Y 就是一個隨機變量,表示通過的汽車數(shù)小于100輛這一隨機事件；,表示通過的汽車數(shù)大于 50 輛但不超過 100 輛這一隨機事件,第二章 隨機變量及其分布,1 隨機變量,它的取值為 0，1，,注意 Y 的取值是可列無窮個！,退 出,前一頁,后一頁,目 錄,例 4 觀察某電子元件的壽命（單位：小時），令 Z：該電子元件的壽命 則Z 就是一個隨機變量它的取值為所有非負實數(shù),表示該電子元件的壽命大于 1000小時這一隨機事件,表示該電子元件的壽命不超過50

4、0小時這一隨機事件,第二章 隨機變量及其分布,1 隨機變量,注意 Z 的取值是不可列無窮個！,退 出,前一頁,后一頁,目 錄,例 5 擲一枚硬幣，令：,則X是一個隨機變量,第二章 隨機變量及其分布,1 隨機變量,說 明：,在同一個樣本空間上可以定義不同的隨機變量,退 出,前一頁,后一頁,目 錄,例 6 擲一枚骰子，在例2中，我們定義了隨機變量X表示出現(xiàn)的點數(shù)我們還可以定義其它的隨機變量，例如我們可以定義：,等等,第二章 隨機變量及其分布,1 隨機變量,退 出,前一頁,后一頁,目 錄,第二章 隨機變量及其分布,2離散型隨機變量,離散型隨機變量的分布率與性質,一些常用的離散型隨機變量,退 出,前一

5、頁,后一頁,目 錄,一、離散型隨機變量的分布律(率)與性質,第二章 隨機變量及其分布,2離散型隨機變量,1)離散型隨機變量的定義,如果隨機變量 X 的取值是有限個或可列無窮個，則稱 X 為離散型隨機變量,退 出,前一頁,后一頁,目 錄,第二章 隨機變量及其分布,2離散型隨機變量,2)離散型隨機變量的分布律,設離散型隨機變量 X 的所有可能取值為,并設,則稱上式或,為離散型隨機變量 X 的分布律,退 出,前一頁,后一頁,目 錄,第二章 隨機變量及其分布,2離散型隨機變量,3)離散型隨機變量分布律的性質:,退 出,前一頁,后一頁,目 錄,例 1,從110這10個數(shù)字中隨機取出5個數(shù)字，令 X：取出

6、的5個數(shù)字中的最大值試求X的分布律,第二章 隨機變量及其分布,具體寫出，即可得 X 的分布律：,解： X 的可能取值為,5，6，7，8，9，10 并且,=,求分布率一定要說明 k 的取值范圍！,退 出,前一頁,后一頁,目 錄,例 2,將 1 枚硬幣擲 3 次，令,第二章 隨機變量及其分布,2離散型隨機變量,X：出現(xiàn)的正面次數(shù)與反面次數(shù)之差 試求： （1）X 的分布律；,解：,X 的可能取值為,-3， - 1，1，3,并且分布律為,退 出,前一頁,后一頁,目 錄,例 3,設隨機變量 X 的分布律為,解：由分布律的性質，得,第二章 隨機變量及其分布,2離散型隨機變量,該級數(shù)為等比級數(shù)，故有,所以,

7、退 出,前一頁,后一頁,目 錄,第二章 隨機變量及其分布,2離散型隨機變量,設一汽車在開往目的地的道路上需經過四盞信號燈，每盞信號燈以概率p禁止汽車通過. 以 X 表示汽車首次停下時，它已通過的信號燈的盞數(shù)，求 X 的分布律. (信號燈的工作是相互獨立的).,PX=3,可愛的家園,例 4,=(1-p)3p,退 出,前一頁,后一頁,目 錄,第二章 隨機變量及其分布,2離散型隨機變量,解： 以 p 表示每盞信號燈禁止汽車通過的概率，則 X 的分布律為：,X pk,0 1 2 3 4,p,或寫成 PX= k = (1- p)kp，k = 0,1,2,3 PX= 4 = (1-p)4,例 4(續(xù)),(

8、1-p) p,(1-p)2p,(1-p)3p,(1-p)4,退 出,前一頁,后一頁,目 錄,第二章 隨機變量及其分布,2離散型隨機變量,以 p = 1/2 代入得：,例 4(續(xù)),退 出,前一頁,后一頁,目 錄,二、一些常用的離散型隨機變量,第二章 隨機變量及其分布,2離散型隨機變量,1) Bernoulli分布,如果隨機變量 X 的分布律為,或,則稱隨機變量 X 服從參數(shù)為 p 的 Bernoulli分布,退 出,前一頁,后一頁,目 錄,Bernoulli分布也稱作 0-1 分布或二點分布,第二章 隨機變量及其分布,2離散型隨機變量,Bernoulli分布的概率背景,進行一次Bernoull

9、i試驗， A是隨機事件。設：,設X 表示這次Bernoulli試驗中事件A發(fā)生的次數(shù) 或者設,退 出,前一頁,后一頁,目 錄,2）二 項 分 布,如果隨機變量 X 的分布律為,第二章 隨機變量及其分布,2離散型隨機變量,退 出,前一頁,后一頁,目 錄,分布律的驗證, 由于,以及 n 為自然數(shù)，可知, 又由二項式定理，可知,所以,是分布律,第二章 隨機變量及其分布,2離散型隨機變量,退 出,前一頁,后一頁,目 錄,說 明,顯然，當 n=1 時,第二章 隨機變量及其分布,2離散型隨機變量,退 出,前一頁,后一頁,目 錄,二項分布的概率背景,進行n重 Bernoulli 試驗，A是隨機事件。設在每次

10、試驗中,令 X 表示這 n 次 Bernoulli 試驗中事件A發(fā)生的次數(shù),第二章 隨機變量及其分布,2離散型隨機變量,退 出,前一頁,后一頁,目 錄,第二章 隨機變量及其分布,2離散型隨機變量,說明：,所以,退 出,前一頁,后一頁,目 錄,第二章 隨機變量及其分布,2離散型隨機變量,例5 一大批產品的次品率為0.1，現(xiàn)從中取 出15件試求下列事件的概率： B= 取出的15件產品中恰有2件次品 C= 取出的15件產品中至少有2件次品 ,由于從一大批產品中取15件產品，故可近似看作是一15重Bernoulli試驗,解：,所以，,退 出,前一頁,后一頁,目 錄,例 6 一張考卷上有5道選擇題，每道

11、題列出4個可能 答案，其中只有一個答案是正確的某學生靠猜測 能答對4道題以上的概率是多少？,則答5道題相當于做5重Bernoulli試驗,第二章 隨機變量及其分布,2離散型隨機變量,解：每答一道題相當于做一次Bernoulli試驗，,退 出,前一頁,后一頁,目 錄,所以,第二章 隨機變量及其分布,2離散型隨機變量,退 出,前一頁,后一頁,目 錄,二項分布的分布形態(tài),由此可知，二項分布的分布率,先是隨著 k 的增大而增大，達到其最大值后再隨著 k 的增大而減少這個使得,第二章 隨機變量及其分布,2離散型隨機變量,退 出,前一頁,后一頁,目 錄,可以證明：,第二章 隨機變量及其分布,2離散型隨機變量,退 出,前一頁,后一頁,目 錄,例 7 對同一目標進行300次獨立射擊，設每次射擊時的 命中率均為0.44，試求300次射擊最可能命中幾次？ 其相應的概率是多少？,則由題意,第二章 隨