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文檔簡介
1、1,概率論與數理統(tǒng)計基礎(一)概率和概率分布,2,一、隨機事件和概率 1、隨機實驗 在相同條件下可以重復進行,有兩種以上可能結果,但事先不能確定哪一種結果會發(fā)生的試驗。 如:拋一枚硬幣、擲一顆骰子、從一副撲克牌里抽取一張。 2、樣本空間(又稱“總體”) 隨機試驗所有可能結果的集合叫樣本空間。樣本空間的每種可能結果稱為樣本點。如:拋兩枚硬幣,考察向上的一面,所有結果為“正正”、“正反”、“反反”、“反正”,樣本空間有個元素。,3,、隨機事件 隨機試驗的某些結果組成的一個集合,也即 樣本空間的一個子集。單個樣本點構成的子集 稱為基本事件。 事件可用A、B、C等字母來表示。 例子:先后拋兩枚硬幣,觀
2、察朝上的一面。 一、實驗結果有哪些? 正正、正反、反正、反反 二、若令=“一枚正面朝上,一枚正面朝下”,那些結果對應于事件A? “正反”、“反正” 三、若令=“第一枚正面朝上,第二枚正面朝下”,那些結果對應事件? “正反”,4,事件的關系及運算 事件的包含,樣本空間,A B,5,樣本空間,A=B,6,(3)事件的和 “事件A與事件B至少有一個發(fā)生”、“事件A發(fā)生或者事件B發(fā)生”;記作 或A+B,7,(4)事件的積“事件A與事件B同時發(fā)生”;“事件A發(fā)生并且(而且)事件B也發(fā)生”;記作,8,互斥事件,樣本空間,A B,9,事件的差(事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生),A B,樣本空間,10,樣本空間,逆
3、事件,11,必然事件、完備事件組,樣本空間,不可能事件,12,4、隨機變量(Random Variables),定義:把取值由實驗結果決定的變量稱為隨機變量。如拋兩枚硬幣,“正面朝上的個數”為一隨機變量。 通俗地說,隨機變量就是使每一個可能的試驗結果對應一個數,就是說為每一個試驗的結果賦予一個實數值。例如在拋硬幣的試驗中,出現正面時取值1,出現反面取值0。 我們還要求知道隨機變量取某個或某些值的的概率是多少,即要求隨機變量是一個可測函數。 引入隨機變量旨在把實驗結果數量化,便于描述和研究。,13,離散型隨機變量 可取有限個數值,或無限可列個數值。 比如:投擲兩顆骰子,各有點數至,若令隨機變量表
4、示“兩顆骰子出現的點數之和”,則的取值為2、3、4、510、11或12。 連續(xù)型隨機變量 可取某一區(qū)間的任何值。 比如:身高、體重、溫度等。,14,、概率的定義 度量隨機事件發(fā)生的可能性。若表示 一個隨機事件,則P(A)表示事件發(fā)生的概率。 ()古典概率(先驗概率:概率純粹源自推理) 等可能性、互斥性 表示隨機實驗的結果總個數 表示屬于事件的結果個數 條件一:實驗結果互斥 條件二:實驗結果等可能發(fā)生 (),應用缺陷,15,古典概率的計數法則 乘法原理: 如果一個事件的完成要經過K個步驟,每一步驟分別有n1,n2,nk種方法,則完成該事件共有n1n2n(k-1)nk種方法。 加法原理: 如果一個
5、事件的完成有K種方式,每種方式分別有n1,n2,nk種方法,則完成該事件共有n1+n2+nk種方法。,16,例子1:,擲一顆骰子,有六種可能的結果:1,2,3,4,5,6.這些結果互斥,因為不可能出現兩個或更多個數字同時朝上的情形。而且,這六種可能結果等可能發(fā)生。因此,根據古典概率的定義,任何一個數字朝上的概率為1/6因為共有六種可能結果,每種結果等可能發(fā)生。這里,n=6,m=1.,17,例子2: 考慮一個游戲,先后投擲兩顆骰子,求投擲 結果為“先單后雙”的概率。 解:令事件表示“先單后雙”這一投擲結果,即需求P(A)。 該隨機實驗的所有結果個數為6*6=36,則n=36。 完成事件需要兩個步
6、驟,第一個步驟為“投擲結果為單”,第二個步驟為“投擲結果為雙”。 每個步驟均可由3種結果(1、3、5和2、4、6)實現。 那么完成事件共有3*3=9種結果可以實現,從而m=9。 P(A)=m/n=9/36=1/4=0.25,18,()統(tǒng)計概率 概率的統(tǒng)計定義(或頻率定義、經驗定義) 無等可能性、無互斥性 表示隨機實驗的總次數或是觀測樣本的總個數。 表示實驗結果屬于事件的次數或是觀測樣本屬于事件的個數,通常稱為事件發(fā)生的頻數。 (),19,統(tǒng)計概率的例子,拋一枚質地不均勻的硬幣,求正面朝上的概率。 射擊手中靶的概率 壽命超過一百歲的概率 200個學生微觀經濟學考試分數的分布(見教材P21),20
7、,、概率的性質 (1)0P(A) (2)必然事件發(fā)生的概率為1,不可能事件發(fā)生的概率為零。 (3)若A、B、C為互斥的完備事件組 則P(A+B+C+)=1 (4)若A、B、C為互斥事件 則P(A+B+C+)=P(A)+P(B)+P(C)+ (5) P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 注:如果A,B互斥,則P(AB)=0,21,7、條件概率 8、獨立事件,22,條件概率例子 例子1: 隨機拋一個骰子,如果朝上一面的點數為偶數,求點數為2的概率。 A=“點數為2” B=“點數為偶數”,23,條件概率例子 例子2: (1)一個盒子里裝10個球,有1個寫“生”,并且其它9個寫“死”,要某人去
8、抓球。此人抓到“生”球的概率是1/10。 (2)將那個生球上具體標明為“生1號”,如果某人抓到的是“生”球,問他抓到的是“生1”號球的概率是多大。 A=“抓到生1號球” B=“抓到生球”,24,例子3:,從一副撲克中抽取一張,是紅桃或者是皇后的概率是多少?(注:四張皇后中有一張是紅桃,抽紅桃與抽皇后不是互斥事件) P(紅桃或者是皇后)=P(紅桃)+P(皇后)-P(紅桃皇后) =13/52+4/52-1/52=4/13,25,二、隨機變量的概率分布 、離散型隨機變量的概率分布 概率分布表 設離散型隨機變量X取值為x1,x2,xn,而取得這些值的概率分別為p(x1),p(x2),p(xn),則可用
9、“概率分布表”詳細列出其概率分布。,26,概率分布表舉例 設隨機變量代表拋兩次硬幣正面朝上的次數,求的概率分布。(HH,HT,TH,TT)(H:正面;T:反面) 打靶規(guī)定打中域得3分,打中域得2分,打中域得1分,域外得0分。一射手每100次射擊,平均有30次中域,55次中域,10次中域。該射手射擊得分的概率分布為:,27,概率密度函數,28,2、連續(xù)型隨機變量的概率分布 可取某一區(qū)間的任何值。(無窮取值) 比如:身高、體重、溫度等。 連續(xù)型隨機變量的概率分布度量的是隨機變量在某一個特定范圍或區(qū)間內的概率。,29,連續(xù)型隨機變量概率表達常用形式 P(x1Xx2)、P(x1Xx2)、P(x1Xx2
10、) 概率分布函數(累積分布函數,概率值),30,連續(xù)型隨機變量及其密度函數,設隨機變量X的分布函數為F(x),若存在非負函數f(x),使得對于任意實數x,有 則,稱X為連續(xù)型隨機變量, f(x)稱為X的密度函數(或概率密度),31,概率密度函數f(x)的性質:,32,概率密度函數的幾何意義,連續(xù)型隨機變量落入某一區(qū)間的概率等于該區(qū)間內概率密度曲線下方的面積!,x1,x2,X,f(X),33,3、多元概率分布 兩個以上隨機變量描述隨機實驗結果。 在一個矩形平面上隨機定位一點,其坐標(X,Y)是一個二元隨機變量。 電腦公司每天售出的個人電腦數量和打印機數量。 (1)離散型:聯合概率密度函數,34,
11、一個計算機店出售個人電腦和打印機。每天出售的電腦和打印機數量不同。店主記錄了過去200天每天的銷售狀況,如下表。,35,把上表中的每個數值都除以200,就得到了頻率,如下表。由于本例中的樣本足夠大,所以可以把這些(聯合)頻率作為聯合概率的度量。,聯合概率有如下性質:所有的概率不能為負;所有聯合結果的概率和為1.注:X取1,而不論Y取值如何時的概率為0.12(邊緣概率).在已知售出4臺電腦的條件下,售出4臺打印機的概率為P(Y=4/X=4)=P(Y=4,X=4)/P(X=4)=0.15/0.32=0.47(條件概率),36,(2)連續(xù)型:聯合概率密度函數,37,、邊緣概率分布及其邊緣概率函數 對
12、于二元隨機變量(X,Y),對其任意一個變量 進行單獨研究,而不考慮另外一個變量的取值。 如此得到的X或Y的概率分布即為二元隨機變量 (X,Y)的邊緣概率分布。 離散型隨機變量 邊緣概率質量函數 連續(xù)型隨機變量 邊緣概率密度函數,38,、條件概率分布及其條件概率函數 對于二元隨機變量(X,Y),對其任意一個變量進行 研究,同時考慮另外一個變量的特定取值。如此得到 的X或Y的概率分布即為二元隨機變量(X,Y)的條件概率 分布。 離散型隨機變量 條件概率質量函數 連續(xù)型隨機變量 條件概率密度函數,39,、隨機變量的統(tǒng)計獨立性 事件獨立P(AB)=P(A)P(B) 隨機變量(X,Y) 離散型隨機變量 對于任意的和,事件“”和事件“”獨立,則稱隨機變量和獨立。 連續(xù)型隨機變量 對于任意的和,事件“”和事件 “”獨立,則稱隨機變量和獨立
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