2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題八 二項(xiàng)式定理與數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)案 理

1、專題8二項(xiàng)式定理和數(shù)學(xué)歸納法江蘇省新高考牙齒部分的內(nèi)容在高考中基本上每年考試，以壓票制形式調(diào)查。2012，2013年主要調(diào)查組合數(shù)；2014年考試復(fù)合函數(shù)柔道和數(shù)學(xué)歸納法；2015年調(diào)查計(jì)算原則主要調(diào)查了數(shù)學(xué)歸納法、2016年組合數(shù)及其性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，調(diào)查了考生的運(yùn)算解決能力和推理論證能力。2017年調(diào)查了概率分布、期待和組合數(shù)的性質(zhì)，同時(shí)調(diào)查了計(jì)算能力和思維能力。最近高考對(duì)組合數(shù)的性質(zhì)要求很高，與數(shù)列、函數(shù)、不等式、數(shù)學(xué)歸納法等知識(shí)交叉調(diào)查。第1課計(jì)算原理和二項(xiàng)式定理(能力課)經(jīng)?？荚囶}型突破計(jì)算原理的應(yīng)用示例1非空集合中各個(gè)元素的總和是3的倍數(shù)，這稱為“好集合”。收藏1，2，3，3n的子集

2、中所有“好集”的個(gè)數(shù)為f (n)。取得(1) f(1)、f(2)的值。(2)尋找f(n)的表示式。解釋 (1) n=1時(shí)，集合1，2，3的一元好集合共1個(gè)。二元好集是1，2，共1個(gè)。三元好集為1，2，3，共1個(gè)，因此f(1)=1 1=3。 n=2時(shí)集合1，2，3，4，5，6中一元的好集合為3，6，共2個(gè)。二元好集為1，2、1，5、2，4、3，6、4，5，共5個(gè)。三元好集為1，2，3、1，2，6、1，3，5、1，5，6、4，2，3、4，2，3四元菜單集為3，4，5，6、2，3，4，6、1，3，5，6、1，2，3，6、1，2，35元的好房子是1，2，4，5，6，1，2，3，4，5共2個(gè)，1個(gè)全集。

3、因此，f (2)=1 (2 5) 2 8=23。(2)首先考慮f(n 1)和f(n)的關(guān)系。集1，2，3，3n，3n 1，3n 2，3n 3集1，2，3，3n中添加3個(gè)元素3n原f(n)集；包含元素3N 1牙齒的“好集”是1，2，3，3n中每個(gè)元素的和除以3的剩余2的集合。包含元素的3N 2的“好集”是1，2，3，3n中每個(gè)元素的和除以3的1的集合。包含元素的3n 3的“好集”是1，2，3，3n中每個(gè)元素的總和除以3的0的集合?？傆?jì)為23n是。包括元素在內(nèi)的3n 1和3n 2的“好集”是1，2，3，3n中每個(gè)元素的總和除以3的0的集合。包含元素的3n 2和3n 3的“好集”是1，2，3，3n的

4、每個(gè)元素的總和除以3的1的集合。包含元素的3n 1和3n 3的“好集”是1，2，3，3n的每個(gè)元素的和除以3的剩余2的集合?？傆?jì)為23n是。包括元素在內(nèi)的3n 1、3n 2、3n 3的“好集”是1，2，3，3n的“好集”和3n 1因此f (n 1)=2f (n) 223n 1。兩邊除以2n 1。獲得-=4n。所以=4n-1 4n-2.4 .=1-(n 2)。也符合常識(shí)。所以f (n)=2n-1。方法摘要(1)深化對(duì)兩種茄子計(jì)算原理的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)“全球分類”和“局部階段”意識(shí)，確保運(yùn)營(yíng)中不出現(xiàn)一類新現(xiàn)象。要分階段將每個(gè)階段變成連續(xù)性和獨(dú)立性。解決計(jì)數(shù)應(yīng)用問題的基本思想是“歸化”。也就是說，通過用實(shí)

5、際問題制作組合模型，然后用組合數(shù)公式計(jì)算結(jié)果，解決了實(shí)際問題。(2)牙齒問題是關(guān)于數(shù)論問題，其難度很大。解決的關(guān)鍵是導(dǎo)出f(n 1)和f(n)的關(guān)系。解決中使用了歸納法和分類討論思想。變形訓(xùn)練(2017年蘇北三個(gè)城市三個(gè)模型)已知的集合U=1，2，n (nn *，n2)，如果集合u的兩個(gè)非空子集a，b，ab=，則(1)寫入f(2)、f(3)、f(4)的值。求(2) f (n)。解決方案：(1) f (2)=1，f (3)=6，f (4)=25。(2)法日：集a中有k個(gè)元素，k=1，2，3，n-1。與集A互斥的非空集為2N-K-1。因此f (n)=(2n-k-1)=(2n-k-)。2n-k=2n

6、-k-c2n-C20=(2 1)n-2n-1=3n-2n-1，=-c-c=2n-2，因此f(n)=(3n-2n-1)-(2n-2)=(3n-2n 1 1)。法2:任何元素只能位于集合a、b、c=u(ab)中的一個(gè)。牙齒N個(gè)元素集合A、B和C共有3n種。其中，A是空集的種數(shù)為2n，B是空集的種數(shù)為2n。因此，A，B都是非空集的宗數(shù)為3N-22N 1。另外，(a，b)和(b，a)是相同的“互斥子集”。因此f (n)=(3n-2n 1 1)。二項(xiàng)式定理應(yīng)用節(jié)目范例2 (2017索北4點(diǎn)結(jié)束)已知方程式(1 x) 2n-1=(1 x) n-1 (1 x) n .(1) (1 x)在2n-1的擴(kuò)展表達(dá)式

7、中，獲得與xn牙齒的項(xiàng)目的系數(shù)并簡(jiǎn)化：cc cc.cc；(2)證明：(c)2(c)2.n (c) 2=nc。分析 (1) (1 x) 2n-1的擴(kuò)展表達(dá)式中與xn牙齒的項(xiàng)目的系數(shù)為c。(1 x)從n-1 (1 x) n=(c CX cxn-1) (c CX cxn)，已知(1 x) n-1 (1 x) n的擴(kuò)展表達(dá)式中與xn牙齒的項(xiàng)目的系數(shù)為cc cc.cc .所以cc cc.cc=C(2)證明：k-n *時(shí)KC=k=n=nc。所以(c) 2 2 (c) 2.n(c)2=k(c)2=(kcc)=(NCC)=n(cc)=n(1) cc cc cc=c，即(cc)=c，所以(c) 2 2 (c)

8、2.n (c) 2=nc。方法摘要二項(xiàng)式定理中的應(yīng)用主要是研究函數(shù)關(guān)系，證明身份、不等式、可除性問題的二項(xiàng)式系數(shù)生成函數(shù)構(gòu)建。二項(xiàng)式定理(a b) n=c o al (0，n) an c o al (B專門化可獲得組合數(shù)有用相關(guān)總和的結(jié)果，這是研究組合數(shù)總和問題的一般方法。也可以使用求函數(shù)值的思想來賦值。變形訓(xùn)練(2017南京市，鹽城)n-n *，n-3，k-n *。(1)評(píng)價(jià)：KC-NC；k2c-n(n-1)c-NC(k2)；(2)簡(jiǎn)化：12c 22c 32c.(k 1) 2c.(n 1) 2c。解決方案：(1) KC-NC=k-n=-=0。k2c-n(n-1)c-NC=k2-n(n-1)-

9、n=k-=0。(2)法1: k2時(shí)(k 1)2c=(k2 2k 1)c=k2c 2kc c=；因此，12c 22c 32c.(k 1) 2c.(n 1) 2c=(12c 22c) n (n-1) (c)方法2: n3時(shí)二項(xiàng)式定理，實(shí)例(1 x) n=1 CX cx2.cxk.cxn、兩邊乘以x(1 x)NX=x cx2 cx3.cxk 1.cxn 1、如果在兩側(cè)求出x(1 x)n(1 x)n-1x=1 2cx 3c x2.(k 1) cxk.(n兩邊乘以x(1 x)NX n(1 x)n-1 x2=x 2c x2 3cx 3.(k 1) cxk 1兩邊再救x就行了。(1 x)n(1 x)n-1x

10、 n(n-1)(1 x)n-2x 2 2n(1 x)n-1x獲得X=1，2n n2n-1n(n-1)2n-2 2n-1=1 22c 32c(k 1)2c也就是12c 22c 32c.(k 1) 2c.(n 1) 2c=2n-2 (N2 5n 4)。應(yīng)用組合數(shù)的屬性例3 (2017年蘇北4點(diǎn)調(diào)查)楊輝三角形，第3行到第1行以外的每個(gè)數(shù)字都是上面兩個(gè)數(shù)字的總和，牙齒三角形陣列的前幾行如圖所示。1)在有3: 4: 5比率相鄰的三個(gè)數(shù)字比率的楊輝三角形里，有沒有行呢？如果存在，請(qǐng)查找第一行。如果不存在，請(qǐng)說明原因。(2)已知的n，r是正整數(shù)，n r 3。驗(yàn)證：4個(gè)相鄰的組合數(shù)c、c、c和c不能配置等差

11、數(shù)列解釋 (1)楊輝三角形第n行是二項(xiàng)式系數(shù)c、K=0，1，2，由n組成。在第n行中=、=，那么3n-7k=-3，4n-9k=5。理解k=27，n=62。也就是說，在第62行中，3個(gè)相鄰c、c和c的比率為3: 4: 5。(2)證明：n，r (n r 3)，c，c等差數(shù)列，2c=c c，2c=c c，也就是說=而且，=。所以=，=，簡(jiǎn)化，N2-(4r 5) n 4r (r 2) 2=0，N2-(4r 9) n 4 (r 1) (r 3) 2=0。兩個(gè)茄子相減的結(jié)果，n=2r 3，所以c，c，c，c是等差數(shù)列。從二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)可以看出c=c c=c，這與等差數(shù)列性質(zhì)相矛盾，需要證明的結(jié)論成立。方法

12、摘要(1)對(duì)于組合數(shù)問題，應(yīng)熟悉并靈活運(yùn)用c=c，c=c c的兩個(gè)茄子組合數(shù)公式。(2)對(duì)于二項(xiàng)式定理問題，要掌握分配法和二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)，區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)和兩個(gè)展開式系數(shù)。變形訓(xùn)練設(shè)定(1-x) n=A0 a1x a2x2.anxn，N-N-N *，N-2。(1)如果n=11，則得出| a6 | | a7 | | A8 | | a9 | | a10 | | a11 |的值。(2)設(shè)置bk=AK 1(kn，kn-1)，sm=B0 B1 B2.BM(mn，m解決方案：(1) AK=(-1) KC，N=11時(shí)| a6 | | a7 | | A8 | | a9 | | a10 | | a11 |=c c

13、 c c c c=(c c.c c)=210=1 024。(2) bk=AK 1=(-1) k 1c=(-1) k 1c，在1kn-1的情況下，Bk=(-1) k 1c=(-1) k 1=(-1) k 1c (-1) k 1c=(-1) k-1c-(-1) KC。M=0時(shí)=1。1mn-1時(shí)，sm=-1(-1)k-1c-(-1)KC=-1 1-(-1)MC=-(-1) MC，所以=1?？偨Y(jié)起來=1。課堂遵守訓(xùn)練1.集A，B不是空集M的兩個(gè)茄子另一個(gè)子集，滿足：A是B的子集，B也不是A的子集。(1) m=a1，a2，a3，a4時(shí)，直接寫入所有其他順序集對(duì)(a，b)的數(shù)目。(2) m=a1，a2，a

14、3，an的話，求所有其他順序集對(duì)(a，b)的個(gè)數(shù)。解決方案：(1)110。(2)集合M有2n個(gè)子集，徐璐其他順序集合對(duì)(A，B)有2N個(gè)(2N-1個(gè))。AB在B中有K(1KN，KN *)個(gè)元素，滿足AB的順序集對(duì)(A，B)有(2K-1)牙齒。=2k-=3n-2n .同樣，滿足BA的一對(duì)順序集(A、B)為3N-2N。因此，滿足條件的順序集對(duì)(a，b)的數(shù)目為2n (2n-1)-2 (3n-2n)=4n 2n-23n。2.(2017南京市，鹽城表情)現(xiàn)有(n2，n將Mk設(shè)置為K行的最大數(shù)目。其中1KN，KN *。M1 .解決方案：(1)問題中的p2=，即p2的值。(2)證明：第n行，第n行最大數(shù)量

15、的概率為=；去除第n行中已經(jīng)排隊(duì)的n個(gè)數(shù)字，剩馀-n=數(shù)字的最大數(shù)目在n-1行的概率=；.所以pn=.=。2n=(1 1) n=c c c.c c cc c=c，所以，這是pn。3.記錄1，2，n下一個(gè)特性t的數(shù)組a1，a2，an的數(shù)目為f(n)(n2，nn *)。性質(zhì)t:陣列a1、a2、(1)查找f(3)；求(2) f (n)。解決方案：(1) n=3時(shí)，1，2，3的所有數(shù)組為(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，1，3)，(2，2，3)(2) 1，2，n中的所有陣列(a1、a2、an)中如果AI=N(1IN-1)，則N-1計(jì)數(shù)為1，2，3，如果從N-1中選擇I-1數(shù)，則a1、a2、AI.如果An=n，則滿足問題的數(shù)組數(shù)為f (n-1)。總之，f (n)=f (n-1)=f (n-1) 2n-1-1。因此，f (n)=-(n-3) f (3)=2n-n-1。4.(2016江蘇省