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文檔簡介
1、1、(2013四川綿陽)如圖,四邊形ABCD是菱 形,對角線AC=8cm,BD=6cm,DHAB于 點H,且DH與AC交于G,求GH的長.,解:,四邊形ABCD是菱形,ACBD,AO=4cm,BO=3cm.,GAH=BAO,AHG=AOB=90,GAHBAO,2(2013山東菏澤)如圖所示,在ABC中, BC=6,E、F分別是AB、AC的中點,動點P在射 線EF上,BP交CE于點D,CBP的平分線交CE 于Q,當CQ= CE時,求 EP+BP的長.,解:,延長BQ交EF于點G,G,1,2, E、F分別是AB、AC的中點,EGBC,2=G, CQBEQG,EG=2BC=12,1,2,1=2,2=
2、G,1=G,PB=PG, EP+BP=EP+PG=EG=12,3.(2013四川巴中10分)如圖,在平行四邊形 ABCD中,過點A作AEBC,垂足為E,連接DE, F為線段DE上一點,且AFE=B (1)求證:ADFDEC; (2)若AB=8,AD=6 ,AF= 4 ,求AE的長,證明:(1),四邊形ABCD是平行四邊形,ABCD,ADBC,B+C=180,4=3,1=B, 1+2=180,2=C, ADFDEC,8,8,6,4,ADFDEC,DE=12,解:(2),4(2013泰安)如圖,四邊形ABCD中,AC平分 DAB,ADC=ACB=90,E為AB的中點, (1)求證:AC2=ABAD
3、; (2)求證:CEAD; (3)若AD=4,AB=6,求 的值,證明:(1),1,2,1=2,ADC=ACB= 90,ADCACB, AC2=ABAD,1,2,(2)求證:CEAD,3, ACB=90,E是AB中點,CE=AE=EB,2=3,1=2,1=3,CEAD,解(3),4,6,3,CEAD,CFEAFD,AD=4,CE= AB=3,5、(2009年安徽)如圖,M為線段AB的中 點,AE與BD交于點C,DME=A=B=, 且DM交AC于F,ME交BC于G (1)寫出圖中三對相似三角形,并證明其中的一對; (2)連結FG,如果=45,AB= 4 , AF=3,求FG的長,EMFEAM D
4、MGDBM AFMBMG,解:(1),3,45,1,A=B=1=45,ACB=90,AC=BC,AB= ,AB=BC=4,AF=3,CF=1,M為線段AB的中點,AFMBMG,解:(2),證明:(1),1,2,3,4,ACB=90,CDAB,2+4 =4+A=90 ,2=A, E是AC的中點, 1=3,DE=AE,3=A,1,2,3,4,1=2,F=F,FDBFCD,(2) GDEF,5,6, E是AC的中點,CD AB,GD=GC,5+ 6=90,2=5,1=2,1+6=90, GDEF,7、(2013四川南充8分)如圖,等腰梯形ABCD中, ADBC,AD=3,BC=7,B=60,P為BC
5、邊上 一點(不與B,C重合),過點P作APE=B,PE 交CD于E. (1)求證:APBPEC; (2)若CE=3,求BP的長.,證明:(1),1,2,3,四邊形ABCD是等腰梯形 B=3=C,AB=CD,2+3=1+B,1=2, APBPEC,1,3,2,3,3,x,7-x,?,F,G,解:(2),作AFAC于F,DGBC于G,四邊形AFGD是矩形,AF=DG,FG=AD=3,AB=CD, B=60,ABFDCG(HL),BF=CG=2,APBPEC,BP2-7BP+12=0,BP=3或BP=4,8、(2013湖南株洲) 已知在ABC中,ABC=90, AB=3,BC=4,點Q是線段AC上的
6、一個動點,過 點Q作AC的垂線交線段AB(如圖1)或線段AB的 延長線(如圖2)于點P. 當點P在線段AB上時,求證:AQPABC; 當PQB為等腰三角形時,求AP的長.,圖1,圖2,證明:(1),ABC=90,PQAC,APQ =ABC,A=A,AQPABC,解:(2),圖1,連接CP,如圖1,當PQB為等腰三角形時,QPB90,QPB只能為頂角,PQ=PB,PQAC, ABC=90,CP=CP,PQCPBC,CQ=CB=4,AQ=AC-CQ=1,AQPABC,圖1,圖2,如圖2,當P在AB延長線上時,QPB90,當PQB為等腰三角形時,BP=BQ,1,2,1=P,P+A=1+2=90,2=
7、A,AB=BQ=BP,AP=2AB=6,9、(2013四川宜賓10分)如圖1,在RtABC中, BAC=90,ADBC于點D,點O是AC邊上的 一點,連接BO交AD于F,OEOB交BC邊于點E (1)求證:ABFCOE; (2)當O為AC邊中點, =2 時, 如圖2,求 的值; (3) 當O為AC邊中點, = n 時, 如圖2,請直接寫出 的值,圖1,圖2,圖1,證明:,(1),1,2,3,4,BAC=90, ADBC,BOOE,2+3=3+1=90,C+ABD=ABD+4=90,2=1,4=C,ABFCOE,(2)作OGAC,交AD的延長線于G,G,AC=2AB,O是AC邊的中點,AB=OC
8、=OA,由(1) 知ABFCOE,ABFCOE,BF=OE,G,BAD+DAC=90 BAD+ABD=90,DAC=ABD,又BAC=AOG=90, AB=OA,ABCOAG,OG = AC = 2AB,OGOA,BAC=90,ABOG,ABFGOF,10、(2013年福建莆田8分)定義:如圖1,點C在 線段AB上,若滿足AC2 BCAB,則稱點C為線段 AB的黃金分割點;如圖2,ABC中,ABACl, A36,BD平分ABC交AC于點D (5分)求證:點D是線段AC的黃金分割點; (3分)求出線段AD的長,圖1,圖2,證明:,1,2,A=36,AB=AC=1,ABC=C=,BD平分ABC,3
9、,1=2=A=36,3=1+A=72 =C,AD=BD=BC,C=C,BCDACB,即BC2ACCD,AD2ACCD,點D是線段AC的黃金分割點, AD2ACCD ,AC=1,AD2=AC (AC-AD),AD2=1-AD,11、(2013年廣東珠海9分)如圖,在RtABC中, C=90,點P為AC邊上的一點,將線段AP繞點 A順時針方向旋轉(點P對應點P),當AP旋轉至AP AB時,點B、P、P恰好在同一直線上,此時 作PEAC于點E. (1)求證:CBP=ABP; (2)求證:AE=CP; (3)當 ,BP=5 時, 求線段AB的長.,證明(1):,1,2,3,4,5,BC PE , 4=
10、 5=PPA,1=3, 3+5=2+PPA =90 ,2=3,1=2,1,2,3,4,5,證明(2):,F,作PFAB與F,7,8,6,6=7,AP= AP,AFPPEA,PF=AE,PCBC,PFAB , 1=2,PF=PC,AE=CP,解(3):, BC PE,BCPPPE,設PE=2x,CP=AE=3x,AP=AP =5x,1,2,3,4,5,F,7,8,6,多條線段具有某一關系,用一個字母 表示其中的一條線段,其余的線段就 可用這個字母的代數(shù)式表示出來。,總結與體會:,12、(2013瀘州)如圖,點E是矩形ABCD 的邊CD上一點,把ADE沿AE對折,點D的 對稱點F恰好落在BC上,已
11、知折痕AE=10 cm,且tanEFC= ,求該矩形的周長。,1,2,3,解:,四邊形ABCD是矩形,B=C=D=90, ADE與AFE關于 AE軸對稱,D=AFD,AF=AD=BC,1+2=2+3=90,1=3,1,2,3,BF=3x,AB=4 x,BC=5x,FC=BC-BF=2x,AF2+EF2=AE2,該矩形的周長為:,13、(2013湖北鄂州)如圖,RtABC中, BAC=90,ADBC于點D, 若BDCD=32,求 tanB的值。,ADBC,BAC=90,,解:,B+BAD=90, BAD+ DAC=90, B=DAC, BDA= ADC= 90,BDAADC, BDCD=32,設
12、BD=3x,CD=2x,AD2=6x2,14、如圖,在ABC中,AB=AC=5,BC=8,D是 邊AB上一點,且tanBCD= . (1)試求sinB的值; (2)試求BCD的面積.,解:(1),作AEBC交BC于E,E,AB=AC=5,BC=8,BE=CE=4,F,(2)作DFBC于F,設DF=x,則 CF=2x,BF=8-2x,AEBC, DFBC,DFAE,BFDBEA,設DF=x,則 CF=2x,BF=8-2x,15、(2013四川南充)如圖,正方形ABCD 的邊長為2 ,過點A作AEAC,AE=1, 連接BE,求 tan E的值。,F,M,N,作EFBA交BA的延長線于F,解:,正方
13、形ABCD的邊長為2,AE=1, AEAC,AMEF,BAMBFE,F,M,N,AMNCBN,AC=4,AN+NC=4,16、如圖ABC中,D是BC中點,AD=AC, DEBC,垂足為D,DE與AB相交于點E, EC與AD相交于點F. 求證:ABCFCD。 若SFCD=5,BC=10,求DE的長。,1,2,證明:,DB=DC,EDBC,BE=EC B=2,又AD=AC,ACB=1,ABCFCD,作AGBC于G,G, ABCFCD,S ABC=20,AG=4,DG=CG=2.5,又EDBC,AGBC EDAG,BDEBGA,17、(2011資陽)如圖1,在梯形ABCD中,已知 ADBC,B=90
14、,AB=7,AD=9,BC=12, 在線段BC上任取一點E,連結DE,作EFDE, 交直線AB于點F (1) 若點F與B重合,求CE的長;(3分) (2) 若點F在線段AB上,且AF=CE,求CE的長;(4分) (3) 設CE=x,BF=y,寫出y關于x的函數(shù)關系式 (直接寫出結果即可)(2分),圖1,圖2(備用圖),解:(1),當F與B重合時,四邊形AFEB是矩形,CE=BC-BE=BC-AD=3,(2),作DGBC于G,四邊形ABGD是矩形,B=1=900,1,2,3,4,3+4=90,DEEF,2+3=90,2=4,DGEEBF,設BF=m,則AF=CE=7-m,EG=4-m BE=5+
15、m,AB=DG=7,m1=2, m2=-10(不合題意,舍去),CE=5,DGEEBF,18、(2012安徽)如圖1,在ABC中,D、E、F 分別為三邊的中點,G點在邊AB上,BDG與四 邊形ACDG的周長相等,設BC=a、AC=b、AB=c. (1)求線段BG的長; (2)求證:DG平分EDF; (3)連接CG,如圖2,若BDG與DFG相似, 求證:BGCG.,(圖1),(圖2),解:(1),D、C、F分別是 ABC三邊中點,BDG與四邊形ACDG周長相等, BD+DG+BG=AC+CD+DG+AG,BG=AC+AG,又BG+AG+AC=b+c,(2),D、C、F分別是 ABC三邊中點,DF
16、+BF=BG=BF+FG,DF=FG,DEAB,1,2,3,1=3,DEAB,2=3,1=2,DG平分EDF,(3),BDG與DFG,1=B,1=3,3=B,BD=DC=DG,BGCG,19、如圖,RtABC中,C=90,AB=2 點P為BC上一動點,PDAB,PD 交AC于點D,連結AP (1)求AC、BC的長 (2)設PC的長為x, ADP的面積為y,當x為 何值時,y最大?并求出最大值。,解:C=90,AC=2,PDAB,tanB=tanDPC,20、(2010資陽)如圖,在直角梯形ABCD中,已知ADBC, AB=3,AD=1,BC=6,A=B=90. 設動點P、Q、R在 梯形的邊上,
17、始終構成以P為直角頂點的等腰直角三角形, 且PQR的一邊與梯形ABCD的兩底平行.(9分) 當點P在AB邊上時,在圖中畫出一個符合條件的PQR (不必說明畫法); (2) 當點P在BC邊或CD邊上時,求BP的長.,解:,(1)如圖所示,(2)如圖,當點P在BC上時,作QEBC于E,DFBC于F,E,F,3,x,x,x,x,6-2x,四邊形ABPD、BEQR是矩形 QEDF, PQR是等腰直角三角形,設BF=EF=QE=PB=x 則DF=AB=3,CE=2x,CEQCFD,(2)如圖,當點P在DC上時,H,連結BP,作DHBC于H, PQR是等腰直角三角形,四邊形PQBR是正方形 PRDH,設B
18、R=PQ=PQ=BQ=m 則CR=6-m,DH=AB=3,BH=AD=1,CRPCHD,21、(2012四川巴中12分)如圖,在平面直角坐標系 中,點A、C分別在x軸、y軸上,四邊形ABCO為矩 形,AB=16,點D與點A關于y軸對稱,tanACB= , 點E、F分別是線段AD、AC上的動點(點E不與點A、 D重合),且CEF=ACB. 求AC的長和點D的坐標; 說明AEF與DCE相似; 當EFC為等腰三角 形時,求點E的坐標。,解:,四邊形ABCO是矩形,AB=OC=16,B=90,點D與點A關于y軸對稱,OD=OA=BC=12,D(12,0),OA=OD,OCAD,BCAD,解:,CA=C
19、D,4=3=2=1,又1+6=4+5,5=6,AEFDCE,解:,當EFC為等腰三角形時,有CE=CF、CE=EF、FC=FE三種可能情況,EFC為等腰三角形,當CE=CF時,1=CFE,1=CFE=2=3,這與CFE3矛盾,CE=CF不成立,當CE=EF時, AEFDCE,AE=CD=20,OE=AE-OA =20-12=8,E(8,0),當EF=CF時,ECF=1=3,CE=AE=OE+OA,OE2+162=(12+OE)2,又OE2+OC2=CE2,滿足條件的點E的坐標為:E(8,0)、E( ,0),22、(2012四川宜賓)如圖,在ABC中,已AB=AC=5, BC=6,且ABCDEF
20、,將DEF與ABC重合在一起,ABC不動,DEF運動,并滿足:點E在邊BC上沿 B到C的方向運動,且DE始終經(jīng)過點A,EF與AC交于M點。 (1)求證:ABEECM; (2)探究:在DEF運動過程中,重疊部分能否構成等腰三角形,若能,求出BE的長;若不能,請說明理由; (3)當線段AM最短時,求重疊部分的面積。,ABEECM,(1)證明:AB=AC,B=C,1,2,3,ABCDEF,B=1,1+2=B+3,3=2,(2)解:1=B=C, 且4C,14,1,2,3,4,5,當4=5時,AE=ME, ABEECM,CE=AB=5,BE=1,當1=5時,AM=ME,5=B,C=C,CAECBA,(3
21、)解:設BE=x,ABEECM,AEBC,EMAC,23、(2012自貢12分)如圖,在菱形ABC中, AB=4,BAD=120,AEF為正三角形,點E、 F分別在菱形的邊BC、CD上滑動,且E、F不 與B、C、D重合。 證明:不論E、F在BC、CD上如何滑動, 總有BE=CF; 當點E、F在BC、CD上滑動時,分別探討四邊形 AECF和CEF的面積是否發(fā)生變化?如果不變, 求出這個定值;如果變化, 求出最大(或最小)值。,證明:,連接AC,四邊形ABCD是菱形 BAD=120,AB=BC=CD=AB ADBC,ABCD,B=180-BAD=60,ABC是等邊三角形,AC=AB,又AEF是正三
22、角形,AE=AF,1+2=2+3=60,1=3,ABEACF,BE=CF,作AGBC于G,四邊形AECF的面積不發(fā)生變化,ABEACF,S四邊形AECF=SABC,S四邊形AECF=,CEF的面積有變化,作EHDC的延長線于H,設BE=CF=x 則EC=4-x,BAD=BCD=120,ECH=60,當x=2時, SEFC的面積最大為,24、在RtABC中,A=90,AB=6,AC=8,D、E 分別是邊AB、AC的中點,點P從點D出發(fā)沿DE方 向運動,過點P作PQBC于Q,過點Q作QRBA 交AC于R,當點Q與點C重合時,點P停止運動,設 BQ=x,QR=y. 求點D到BC的距離DH的長; 求y關于x的函數(shù)關系式(不要求寫出自變量的 取值范圍) 是否存在點P,使PQR為 等腰三角形?若存在,請 求出所有滿足要求的x的值; 若不存在,請說明理由。,解:,A=90,DHBC,A=BHD=90,B=B,BHDBAC,AB=6,AC=8,D是AB中點,BD=3,QRAB,CQRCBA,假設存在,仍然分 PQ=PR, PQ=RQ, PR=QR 三種情況解答,當A、P、Q三點在一條直線上時,點D、E分別是AB、AC的中點,AP=PQ,PQAB,A
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