相似三角形的計算與證明.ppt

1、1、(2013四川綿陽)如圖，四邊形ABCD是菱 形，對角線AC=8cm，BD=6cm，DHAB于 點H，且DH與AC交于G，求GH的長.,解：,四邊形ABCD是菱形,ACBD,AO=4cm,BO=3cm.,GAH=BAO,AHG=AOB=90,GAHBAO,2（2013山東菏澤）如圖所示，在ABC中， BC=6，E、F分別是AB、AC的中點，動點P在射 線EF上，BP交CE于點D，CBP的平分線交CE 于Q，當CQ= CE時，求 EP+BP的長.,解：,延長BQ交EF于點G,G,1,2, E、F分別是AB、AC的中點,EGBC,2=G, CQBEQG,EG=2BC=12,1,2,1=2,2=

2、G,1=G,PB=PG, EP+BP=EP+PG=EG=12,3.（2013四川巴中10分）如圖，在平行四邊形 ABCD中，過點A作AEBC，垂足為E，連接DE， F為線段DE上一點，且AFE=B （1）求證：ADFDEC； （2）若AB=8，AD=6 ，AF= 4 ，求AE的長,證明:(1),四邊形ABCD是平行四邊形,ABCD,ADBC,B+C=180,4=3,1=B, 1+2=180,2=C, ADFDEC,8,8,6,4,ADFDEC,DE=12,解：（2）,4(2013泰安)如圖，四邊形ABCD中，AC平分 DAB，ADC=ACB=90，E為AB的中點， （1）求證：AC2=ABAD

3、； （2）求證：CEAD； （3）若AD=4，AB=6，求 的值,證明:(1),1,2,1=2,ADC=ACB= 90,ADCACB, AC2=ABAD,1,2,（2）求證：CEAD,3, ACB=90,E是AB中點,CE=AE=EB,2=3,1=2,1=3,CEAD,解(3),4,6,3,CEAD,CFEAFD,AD=4,CE= AB=3,5、(2009年安徽)如圖，M為線段AB的中 點，AE與BD交于點C，DME=A=B=， 且DM交AC于F，ME交BC于G (1)寫出圖中三對相似三角形，并證明其中的一對； (2)連結FG，如果=45，AB= 4 ， AF=3，求FG的長,EMFEAM D

4、MGDBM AFMBMG,解:(1),3,45,1,A=B=1=45,ACB=90,AC=BC,AB= ,AB=BC=4,AF=3,CF=1,M為線段AB的中點,AFMBMG,解：（2）,證明:(1),1,2,3,4,ACB=90，CDAB,2+4 =4+A=90 ,2=A, E是AC的中點, 1=3,DE=AE,3=A,1,2,3,4,1=2,F=F,FDBFCD,(2) GDEF,5,6, E是AC的中點,CD AB,GD=GC,5+ 6=90,2=5,1=2,1+6=90, GDEF,7、(2013四川南充8分)如圖，等腰梯形ABCD中， ADBC，AD=3，BC=7，B=60，P為BC

5、邊上 一點(不與B，C重合)，過點P作APE=B，PE 交CD于E. （1）求證：APBPEC； （2）若CE=3，求BP的長.,證明：(1),1,2,3,四邊形ABCD是等腰梯形 B=3=C，AB=CD,2+3=1+B,1=2, APBPEC,1,3,2,3,3,x,7-x,？,F,G,解：(2),作AFAC于F，DGBC于G,四邊形AFGD是矩形,AF=DG,FG=AD=3,AB=CD, B=60,ABFDCG(HL),BF=CG=2,APBPEC,BP2-7BP+12=0,BP=3或BP=4,8、(2013湖南株洲) 已知在ABC中,ABC=90, AB=3，BC=4，點Q是線段AC上的

6、一個動點，過 點Q作AC的垂線交線段AB（如圖1）或線段AB的 延長線(如圖2)于點P. 當點P在線段AB上時，求證：AQPABC； 當PQB為等腰三角形時，求AP的長.,圖1,圖2,證明：(1),ABC=90,PQAC,APQ =ABC,A=A,AQPABC,解:(2),圖1,連接CP,如圖1，當PQB為等腰三角形時,QPB90,QPB只能為頂角，PQ=PB,PQAC, ABC=90,CP=CP,PQCPBC,CQ=CB=4,AQ=AC-CQ=1,AQPABC,圖1,圖2,如圖2，當P在AB延長線上時,QPB90,當PQB為等腰三角形時,BP=BQ,1,2,1=P,P+A=1+2=90,2=

7、A,AB=BQ=BP,AP=2AB=6,9、(2013四川宜賓10分)如圖1，在RtABC中， BAC=90，ADBC于點D，點O是AC邊上的 一點，連接BO交AD于F，OEOB交BC邊于點E (1)求證：ABFCOE； (2)當O為AC邊中點， =2 時， 如圖2，求 的值； (3) 當O為AC邊中點， = n 時， 如圖2，請直接寫出 的值,圖1,圖2,圖1,證明：,(1),1,2,3,4,BAC=90， ADBC,BOOE,2+3=3+1=90,C+ABD=ABD+4=90,2=1,4=C,ABFCOE,(2)作OGAC，交AD的延長線于G,G,AC=2AB，O是AC邊的中點,AB=OC

8、=OA,由(1) 知ABFCOE,ABFCOE,BF=OE,G,BAD+DAC=90 BAD+ABD=90,DAC=ABD,又BAC=AOG=90， AB=OA,ABCOAG,OG = AC = 2AB,OGOA,BAC=90,ABOG,ABFGOF,10、(2013年福建莆田8分)定義：如圖1，點C在 線段AB上，若滿足AC2 BCAB，則稱點C為線段 AB的黃金分割點；如圖2，ABC中，ABACl， A36，BD平分ABC交AC于點D （5分）求證：點D是線段AC的黃金分割點； （3分）求出線段AD的長,圖1,圖2,證明：,1,2,A=36,AB=AC=1,ABC=C=,BD平分ABC,3

9、,1=2=A=36,3=1+A=72 =C,AD=BD=BC,C=C,BCDACB,即BC2ACCD,AD2ACCD,點D是線段AC的黃金分割點, AD2ACCD ,AC=1,AD2=AC (AC-AD),AD2=1-AD,11、(2013年廣東珠海9分)如圖，在RtABC中， C=90，點P為AC邊上的一點，將線段AP繞點 A順時針方向旋轉(點P對應點P),當AP旋轉至AP AB時，點B、P、P恰好在同一直線上，此時 作PEAC于點E. (1)求證：CBP=ABP； (2)求證：AE=CP； (3)當 ，BP=5 時， 求線段AB的長.,證明(1):,1,2,3,4,5,BC PE , 4=

10、 5=PPA,1=3, 3+5=2+PPA =90 ,2=3,1=2,1,2,3,4,5,證明(2):,F,作PFAB與F,7,8,6,6=7,AP= AP,AFPPEA,PF=AE,PCBC，PFAB , 1=2,PF=PC,AE=CP,解(3):, BC PE,BCPPPE,設PE=2x,CP=AE=3x,AP=AP =5x,1,2,3,4,5,F,7,8,6,多條線段具有某一關系，用一個字母 表示其中的一條線段，其余的線段就 可用這個字母的代數(shù)式表示出來。,總結與體會：,12、(2013瀘州)如圖，點E是矩形ABCD 的邊CD上一點，把ADE沿AE對折，點D的 對稱點F恰好落在BC上，已

11、知折痕AE=10 cm，且tanEFC= ，求該矩形的周長。,1,2,3,解：,四邊形ABCD是矩形,B=C=D=90, ADE與AFE關于 AE軸對稱,D=AFD,AF=AD=BC,1+2=2+3=90,1=3,1,2,3,BF=3x,AB=4 x,BC=5x,FC=BC-BF=2x,AF2+EF2=AE2,該矩形的周長為：,13、(2013湖北鄂州)如圖，RtABC中， BAC=90，ADBC于點D， 若BDCD=32，求 tanB的值。,ADBC，BAC=90，,解：,B+BAD=90， BAD+ DAC=90， B=DAC, BDA= ADC= 90,BDAADC, BDCD=32,設

12、BD=3x,CD=2x,AD2=6x2,14、如圖，在ABC中，AB=AC=5,BC=8,D是 邊AB上一點，且tanBCD= . （1）試求sinB的值； （2）試求BCD的面積.,解:(1),作AEBC交BC于E,E,AB=AC=5,BC=8,BE=CE=4,F,(2)作DFBC于F,設DF=x,則 CF=2x,BF=8-2x,AEBC, DFBC,DFAE,BFDBEA,設DF=x,則 CF=2x,BF=8-2x,15、(2013四川南充)如圖，正方形ABCD 的邊長為2 ，過點A作AEAC，AE=1， 連接BE，求 tan E的值。,F,M,N,作EFBA交BA的延長線于F,解：,正方

13、形ABCD的邊長為2,AE=1, AEAC,AMEF,BAMBFE,F,M,N,AMNCBN,AC=4,AN+NC=4,16、如圖ABC中，D是BC中點，AD=AC, DEBC,垂足為D，DE與AB相交于點E， EC與AD相交于點F. 求證：ABCFCD。 若SFCD=5,BC=10,求DE的長。,1,2,證明：,DB=DC,EDBC,BE=EC B=2,又AD=AC,ACB=1,ABCFCD,作AGBC于G,G, ABCFCD,S ABC=20,AG=4,DG=CG=2.5,又EDBC,AGBC EDAG,BDEBGA,17、(2011資陽)如圖1，在梯形ABCD中，已知 ADBC，B=90

14、，AB=7，AD=9，BC=12， 在線段BC上任取一點E，連結DE，作EFDE， 交直線AB于點F (1) 若點F與B重合，求CE的長；(3分) (2) 若點F在線段AB上，且AF=CE，求CE的長；(4分) (3) 設CE=x，BF=y，寫出y關于x的函數(shù)關系式 (直接寫出結果即可)(2分),圖1,圖2（備用圖）,解：（1）,當F與B重合時，四邊形AFEB是矩形,CE=BC-BE=BC-AD=3,(2),作DGBC于G,四邊形ABGD是矩形,B=1=900,1,2,3,4,3+4=90,DEEF,2+3=90,2=4,DGEEBF,設BF=m,則AF=CE=7-m,EG=4-m BE=5+

15、m,AB=DG=7,m1=2, m2=-10(不合題意，舍去）,CE=5,DGEEBF,18、（2012安徽）如圖1，在ABC中，D、E、F 分別為三邊的中點，G點在邊AB上，BDG與四 邊形ACDG的周長相等，設BC=a、AC=b、AB=c. （1）求線段BG的長； （2）求證：DG平分EDF; （3）連接CG，如圖2，若BDG與DFG相似， 求證：BGCG.,（圖1）,（圖2）,解：(1),D、C、F分別是 ABC三邊中點,BDG與四邊形ACDG周長相等, BD+DG+BG=AC+CD+DG+AG,BG=AC+AG,又BG+AG+AC=b+c,(2),D、C、F分別是 ABC三邊中點,DF

16、+BF=BG=BF+FG,DF=FG,DEAB,1,2,3,1=3,DEAB,2=3,1=2,DG平分EDF,(3),BDG與DFG,1=B,1=3,3=B,BD=DC=DG,BGCG,19、如圖，RtABC中，C=90，AB=2 點P為BC上一動點，PDAB,PD 交AC于點D,連結AP (1)求AC、BC的長 (2)設PC的長為x, ADP的面積為y,當x為 何值時，y最大？并求出最大值。,解：C=90,AC=2,PDAB,tanB=tanDPC,20、(2010資陽)如圖，在直角梯形ABCD中，已知ADBC， AB=3，AD=1，BC=6，A=B=90. 設動點P、Q、R在 梯形的邊上，

17、始終構成以P為直角頂點的等腰直角三角形， 且PQR的一邊與梯形ABCD的兩底平行.(9分) 當點P在AB邊上時，在圖中畫出一個符合條件的PQR (不必說明畫法)； (2) 當點P在BC邊或CD邊上時，求BP的長.,解：,（1）如圖所示,（2）如圖，當點P在BC上時,作QEBC于E,DFBC于F,E,F,3,x,x,x,x,6-2x,四邊形ABPD、BEQR是矩形 QEDF, PQR是等腰直角三角形,設BF=EF=QE=PB=x 則DF=AB=3,CE=2x,CEQCFD,（2）如圖，當點P在DC上時,H,連結BP，作DHBC于H, PQR是等腰直角三角形,四邊形PQBR是正方形 PRDH,設B

18、R=PQ=PQ=BQ=m 則CR=6-m,DH=AB=3,BH=AD=1,CRPCHD,21、(2012四川巴中12分）如圖，在平面直角坐標系 中，點A、C分別在x軸、y軸上，四邊形ABCO為矩 形，AB=16,點D與點A關于y軸對稱，tanACB= , 點E、F分別是線段AD、AC上的動點（點E不與點A、 D重合），且CEF=ACB. 求AC的長和點D的坐標； 說明AEF與DCE相似； 當EFC為等腰三角 形時，求點E的坐標。,解：,四邊形ABCO是矩形,AB=OC=16,B=90,點D與點A關于y軸對稱,OD=OA=BC=12,D(12,0),OA=OD,OCAD,BCAD,解：,CA=C

19、D,4=3=2=1,又1+6=4+5,5=6,AEFDCE,解：,當EFC為等腰三角形時,有CE=CF、CE=EF、FC=FE三種可能情況,EFC為等腰三角形,當CE=CF時，1=CFE,1=CFE=2=3,這與CFE3矛盾,CE=CF不成立,當CE=EF時， AEFDCE,AE=CD=20,OE=AE-OA =20-12=8,E(8,0),當EF=CF時，ECF=1=3,CE=AE=OE+OA,OE2+162=(12+OE)2,又OE2+OC2=CE2,滿足條件的點E的坐標為：E(8,0)、E( ,0),22、（2012四川宜賓）如圖，在ABC中，已AB=AC=5， BC=6，且ABCDEF

20、，將DEF與ABC重合在一起，ABC不動，DEF運動，并滿足：點E在邊BC上沿 B到C的方向運動，且DE始終經(jīng)過點A,EF與AC交于M點。 （1）求證：ABEECM; （2）探究：在DEF運動過程中，重疊部分能否構成等腰三角形，若能，求出BE的長；若不能，請說明理由； （3）當線段AM最短時，求重疊部分的面積。,ABEECM,（1）證明：AB=AC,B=C,1,2,3,ABCDEF,B=1,1+2=B+3,3=2,（2）解：1=B=C， 且4C，14,1,2,3,4,5,當4=5時，AE=ME, ABEECM,CE=AB=5,BE=1,當1=5時，AM=ME,5=B,C=C,CAECBA,（3

21、）解：設BE=x,ABEECM,AEBC,EMAC,23、(2012自貢12分)如圖，在菱形ABC中， AB=4,BAD=120,AEF為正三角形，點E、 F分別在菱形的邊BC、CD上滑動，且E、F不 與B、C、D重合。 證明：不論E、F在BC、CD上如何滑動， 總有BE=CF; 當點E、F在BC、CD上滑動時，分別探討四邊形 AECF和CEF的面積是否發(fā)生變化？如果不變， 求出這個定值；如果變化， 求出最大（或最小）值。,證明：,連接AC,四邊形ABCD是菱形 BAD=120,AB=BC=CD=AB ADBC,ABCD,B=180-BAD=60,ABC是等邊三角形,AC=AB,又AEF是正三

22、角形,AE=AF,1+2=2+3=60,1=3,ABEACF,BE=CF,作AGBC于G,四邊形AECF的面積不發(fā)生變化,ABEACF,S四邊形AECF=SABC,S四邊形AECF=,CEF的面積有變化,作EHDC的延長線于H,設BE=CF=x 則EC=4-x,BAD=BCD=120,ECH=60,當x=2時， SEFC的面積最大為,24、在RtABC中，A=90,AB=6,AC=8,D、E 分別是邊AB、AC的中點，點P從點D出發(fā)沿DE方 向運動，過點P作PQBC于Q,過點Q作QRBA 交AC于R,當點Q與點C重合時，點P停止運動，設 BQ=x，QR=y. 求點D到BC的距離DH的長； 求y關于x的函數(shù)關系式（不要求寫出自變量的 取值范圍） 是否存在點P，使PQR為 等腰三角形？若存在，請 求出所有滿足要求的x的值； 若不存在，請說明理由。,解：,A=90，DHBC,A=BHD=90,B=B,BHDBAC,AB=6,AC=8,D是AB中點,BD=3,QRAB,CQRCBA,假設存在，仍然分 PQ=PR, PQ=RQ, PR=QR 三種情況解答,當A、P、Q三點在一條直線上時,點D、E分別是AB、AC的中點,AP=PQ,PQAB,A