《金屬的電導(dǎo)理論》PPT課件.ppt

1、第五章 金屬的電導(dǎo)理論,51 分布函數(shù)和玻耳茲曼方程,511分布函數(shù)法的概念 費(fèi)米函數(shù)表述的是在統(tǒng)計(jì)平衡狀態(tài)下，固體中的電子的分布規(guī)律。如果我們以波矢標(biāo)志電子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，那么根據(jù)關(guān)系式（4-11），在波矢空間的體積元 內(nèi)狀態(tài)數(shù)目為： 如果用 表示費(fèi)米函數(shù)（T表示溫度），那么在體積元 內(nèi)的電子數(shù)就等于： (5-1),如果考慮單位體積內(nèi)的電子數(shù)，即設(shè)單位體積內(nèi)的電子數(shù)為： n=N/VC，那么由（5-1）式可以得到： （5-2） 這種分布可以形象地表示為電子在K空間的密度分布，即表示在一定溫度下，K空間某處電子密度的大小。,在平衡狀態(tài)分布時(shí)， 由于 因此分布密度 對于 是對稱的。 而此時(shí)由于 因此電

2、流 大小相等方向相反。 即電流為零,當(dāng)在上述的平衡系統(tǒng)上外加一個(gè)恒定外場 時(shí)，很快會形成一個(gè)穩(wěn)定電流密度，并且服從歐姆定律： （5-3） 式中為電導(dǎo)率。 這個(gè)穩(wěn)定電流實(shí)際上反映了在穩(wěn)定外場作用下，電子達(dá)到了一個(gè)新的定態(tài)統(tǒng)計(jì)分布狀態(tài)。這種定態(tài)分布也可以用一個(gè)與平衡時(shí)相似的分布函數(shù) 來描述，即單位體積內(nèi)在 中的電子數(shù)為： （5-4）,由于電子的速度為 ，因此它們對于電流密度的貢獻(xiàn)可以寫為： （5-5） 積分上式可得到總的電流密度為： （5-6） 上式說明只要確定了分布函數(shù) ，就可以直接計(jì)算電流密度。 通過這種非平衡情況下的分布函數(shù)來研究電子輸運(yùn)過程的方法，就是分布函數(shù)法。,這里應(yīng)注意的是，要準(zhǔn)確地

3、區(qū)別“平衡統(tǒng)計(jì)分布”與“定態(tài)統(tǒng)計(jì)分布”。 平衡統(tǒng)計(jì)分布是指，宏觀上電子處于相對靜止?fàn)顟B(tài)，各處的狀態(tài)密度相同。 定態(tài)統(tǒng)計(jì)分布是指，宏觀上電子做定向運(yùn)動(dòng)，各處狀態(tài)密度不變。,512 玻耳茲曼方程 玻耳茲曼方程是從考查分布函數(shù)如何隨時(shí)間變化而確立的。 分布函數(shù)的變化有兩個(gè)來源： 漂移項(xiàng)。它是指由外界條件所引起的統(tǒng)計(jì)分布在K空間的“漂移”。 碰撞項(xiàng)。它是指由于晶格原子的振動(dòng)，或者是雜質(zhì)的存在等原因，電子不斷地發(fā)生從一個(gè)狀態(tài) 到另一個(gè)狀態(tài) 的躍遷。 我們可以把這種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變想象成與分子運(yùn)動(dòng)論中一個(gè)分子遭受碰撞由速度 變化為另一速度 的情況相似。電子態(tài)的這種變化常稱為散射。,由量子力學(xué)可以知道，電子的

4、運(yùn)動(dòng)速度與波矢是一一對應(yīng)的，所以我們可以以實(shí)際位置坐標(biāo) 和波矢 為變量組成相空間 在相空間中電子是以分布函數(shù) 來描述的，它代表t時(shí)刻在點(diǎn) 附近單位體積中一種自旋的電子數(shù)。 所以t時(shí)刻在相空間體積元 中一種自旋的電子數(shù)是：,隨時(shí)間的總變化率應(yīng)由三部分組成： （5-7） 其中： 代表外場引起的分布函數(shù)的變化； 代表電子因受散射引起的分布函數(shù)的變化； 代表分布函數(shù)是時(shí)間顯函數(shù)時(shí)的偏導(dǎo)數(shù)。,如果電子的分布不隨時(shí)間變化而處于定態(tài)分布狀態(tài)，則 此時(shí)f不顯含時(shí)間，故 也為零，因此有： （5-8）, 首先討論“漂移項(xiàng)”。 在相空間中，t時(shí)刻位置為 處的電子是由t-t時(shí)刻在 處的電子漂移來的；而波矢為 的電子是

5、由波矢為 的電子漂移來的。,當(dāng)t很小時(shí)，可以假定電子在這個(gè)漂移過程中沒有遇到碰撞。根據(jù)全微分的方法可以得到下面的關(guān)系式： (5-9) 所以有： （5-10） 上式表明，外場引起的分布函數(shù)的變化由兩部分組成，一部分是由于電子在坐標(biāo)空間的運(yùn)動(dòng)引起的；第二部分是電子在波矢空間的運(yùn)動(dòng)引起的，其結(jié)果是使晶體電子狀態(tài)代表點(diǎn)在波矢空間的分布成為不均勻的，此時(shí), 下面再討論“碰撞項(xiàng)”。 可以用一個(gè)躍遷幾率函數(shù)： 來描述單位時(shí)間由狀態(tài) 的躍遷幾率，這里只考慮自旋不變的躍遷。這種頻繁的躍遷顯然將引起分布函數(shù)的改變。 定義了躍遷幾率函數(shù)以后，就可以寫出單位時(shí)間內(nèi)因碰撞從其它位置狀態(tài)進(jìn)入到 處相空間單位體積的電子數(shù)為

6、： （5-11）,用同樣的理解方法，可以知道，相空間中由于碰撞單位時(shí)間離開 處單位體積的電子數(shù)為： (5-12) 由于 為單位時(shí)間內(nèi)由于碰撞而引起的 點(diǎn)的分布函數(shù)的變化，因此有： (5-13),結(jié)合（5-8）、（5-10）、（5-13）式，可以得到定態(tài)條件下的玻耳茲曼方程為： (5-14),513 馳豫時(shí)間近似,(5-14)式表示的玻耳茲曼方程方程是一個(gè)微分積分方程，為了求解方便，一般都要作一些簡化，其中最主要的方法就是馳豫時(shí)間近似。 假設(shè)碰撞項(xiàng)可以寫成下面的形式： (5-15) 其中f0指的是平衡時(shí)的分布函數(shù)（即費(fèi)米函數(shù)）。 是引入的一個(gè)參數(shù)，稱為馳豫時(shí)間，它是波矢 的函數(shù)。它表示系統(tǒng)依賴碰

7、撞機(jī)制使分布從非平衡分布f恢復(fù)到平衡分布狀態(tài)f0時(shí)所用的時(shí)間。,引入馳豫時(shí)間后，玻耳茲曼方程就簡化為： (5-16) 根據(jù)能帶理論的基本關(guān)系式： (5-17) 以及： （其中 ） （5-18） 和： （5-19）,將（5-17），（5-18），（5-19）式代入（5-16）式，則玻耳茲曼方程可以寫為： （5-20） 當(dāng)晶體中的溫度梯度為零，而且晶體只受外電場力作用時(shí)，玻耳茲曼方程可以簡化為： （5-21） 此式可以用于討論金屬的電導(dǎo)率的問題 。 在討論金屬的熱導(dǎo)率問題時(shí)（5-20）式等號左邊的第一項(xiàng)就很重要了。,52金屬的電導(dǎo)率,在恒溫以及恒定外電場的條件下，金屬晶體中能夠形成穩(wěn)定的電流密度

8、。這時(shí)玻耳茲曼方程可以寫成（5-21）的形式，經(jīng)簡單的變化可寫為： (5-22) 這個(gè)方程的解就是電場存在時(shí)定態(tài)的分布函數(shù)f，顯然f將是電場 的函數(shù)，因此可以把f按 的冪級數(shù)展開為： (5-23) 式中,f0為 時(shí)的f值，因此就相當(dāng)于平衡情況下的費(fèi)米函數(shù)；f1，f2，分別代表包含 的一次冪、二次冪、項(xiàng)。,將（5-23）式代入（5-22）式得： (5-24) 由于等式兩邊的 同次冪的項(xiàng)應(yīng)該相等，因此得到下面的一系列等式： (5-25),由于f0只是電子的能量 的函數(shù)，因此（5-25）式中 的一次冪方程可以寫成： (5-26),通過物理實(shí)驗(yàn)我們知道，在一般的電導(dǎo)問題中，電流與電場成正比，服從歐姆定

9、律，這種情況相當(dāng)于弱場的情況，也就是說，電流與電場成正比的關(guān)系是一種弱場的近似，此時(shí)分布函數(shù)只需要考慮到 的一次冪，即: 由（5-6）式可知，電流密度可以直接由分布函數(shù)得到，即： (5-27),在（5-27）式中，第一項(xiàng)相當(dāng)于平衡分布時(shí)的電流密度，因此等于零，將（5-26）式代入（5-27）式中得： (5-28) （5-28）式即為歐姆定律的一般公式?？梢娺@是一個(gè)向量關(guān)系式。如果把該關(guān)系式用分量表示則有： （5-29）,如果把（5-29）的向量關(guān)系式展開則可以表示為： (5-30) 其中： （5-31） 是電導(dǎo)率二階張量的分量。,為了使問題簡化，下面討論各向同性的情況。 假設(shè)導(dǎo)帶電子基本上可以

10、用單一有效質(zhì)量m*來描述。則電子的能量為： (5-32) 自由電子的速度分量為： (5-33),把（5-33）式代入（5-31）式中得到： (5-34) 各向同性的情況意味著，馳豫時(shí)間(K)與波矢K的方向無關(guān)，因此在（5-34）的積分中，除了K,K以外,，其余的因子都是球?qū)ΨQ的，只要，積分內(nèi)的函數(shù)就是奇函數(shù)，所以積分后有： (5-35),同樣由于對稱， ,因此電導(dǎo)率二階張量相當(dāng)于一個(gè)標(biāo)量0，而且0可以由下面的關(guān)系式來表示： (5-36),由于(5-36)式中的被積函數(shù)與波矢K的方向無關(guān)，采用球面坐標(biāo)對 積分，則可以得到： (5-37),（5-37）式的積分結(jié)果可以寫成： (5-38) 上式中，K0表示E=