高中數(shù)學(xué)《3.1.2 用二分法求方程的近似解》課件 新人教A版必修1

1、3.1.2用二分法求方程的近似解,30枚硬幣中含有一枚質(zhì)量稍輕的假幣，用天平最少需幾次稱量才能將假幣區(qū)分出來(lái)？ (1)在天平的左右兩個(gè)盤(pán)里各放15枚，假幣在較輕的一邊 (2)將含有假幣的15枚取出一枚，余下的14枚左右各7枚，此時(shí)若天平平衡，則取出的一枚就是假幣；若天平不平衡，則假幣在較輕的一端的7枚中,(3)從這7枚中取出一枚，余下的6枚左右各放3枚，此時(shí)若天平平衡，那么取出的一枚就是假幣，否則假幣在較輕的3枚中 (4)從這3枚中取出一枚，另兩枚左右各放一枚，若天平平衡，則所取的一枚就是假幣，否則天平兩端較輕的就是假幣 上述稱量尋找假幣的方法用了什么思想？為什么不稱量30次呢？若考慮偶然性的

2、話，兩次稱量出哪一枚是假幣的可能性也有，但不是必然稱量出來(lái)的方法上面的四次稱量是一定找出假幣的最少稱量方法你還有什么其他的稱法嗎？,3給定精確度，用二分法求函數(shù)f(x)零點(diǎn)近似值的步驟如下： (1)確定 ，驗(yàn)證 ，給定 ； (2)求區(qū)間 ； (3)計(jì)算 ； 若 ，則c就是函數(shù)的零點(diǎn)； 若 ，則令 (此時(shí)零點(diǎn)x0(a，c)； 若 ，則令 (此時(shí)零點(diǎn)x0(c，b) (4)判斷是否達(dá)到精確度：即若 ，則得到零點(diǎn)近似值a(或b)；否則重復(fù)(2)(4),區(qū)間a，b,f(a)f(b)0,精確度,(a，b)的中點(diǎn)c,f(c),f(c)0,f(a)f(c)0,bc,f(c)f(b)0,ac,|ab|,4求函數(shù)

3、零點(diǎn)的近似值時(shí)，所要求的 不同，得到的結(jié)果也不相同，精確度是指在計(jì)算過(guò)程中得到某個(gè)區(qū)間(a，b)后，若 ，即認(rèn)為已達(dá)到所要求的精確度，否則應(yīng)繼續(xù)計(jì)算，直到 為止 5用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值時(shí)，最好是將計(jì)算過(guò)程中所得到的各個(gè) 、 、 等列在一個(gè)表格中，這樣可以更清楚地發(fā)現(xiàn)零點(diǎn)所在區(qū)間,精確度,|ab|,達(dá)到精確度,中點(diǎn)坐標(biāo),計(jì)算中點(diǎn)的函數(shù)值,所取區(qū)間,1下面關(guān)于二分法的敘述，正確的是() A用二分法可求所有函數(shù)零點(diǎn)的近似值 B用二分法求方程的近似解時(shí)，可以精確到小數(shù)點(diǎn)后的任一位 C二分法無(wú)規(guī)律可循，無(wú)法在計(jì)算機(jī)上完成 D只有求函數(shù)零點(diǎn)時(shí)才用二分法 答案：B,2設(shè)f(x)3x2x8，用二分法求方

4、程3x2x80在x(1,2)內(nèi)近似解的過(guò)程中得f(1)0，f(1.25)0，f(1.25)0，方程根在區(qū)間 (1.25,1.5)內(nèi) 答案：A,3求方程x32x50在區(qū)間(2,3)內(nèi)的實(shí)根，取區(qū)間中點(diǎn)x02.5，那么下一個(gè)有根區(qū)間是_ 解析：設(shè)f(x)x32x5，f(2)0，f(2.5)0即f(2)f(2.5)0，所以下一個(gè)區(qū)間是(2,2.5) 答案：(2,2.5),4已知函數(shù)g(x)的圖象是連續(xù)不斷的，x，g(x)的對(duì)應(yīng)值表如下： 函數(shù)g(x)在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)？為什么？ 解析：g(1)20，g(1)g(2)0，g(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)有零點(diǎn),類型一二分法的概念 【例1】下列函數(shù)圖象與x軸均

5、有交點(diǎn)，其中不能用二分法求圖中函數(shù)零點(diǎn)的是(),思路分析：由題目可獲取以下主要信息： 題中給出了函數(shù)的圖象； 二分法的概念 解答本題可結(jié)合二分法的概念，判斷是否具備使用二分法的條件,解析：利用二分法求函數(shù)零點(diǎn)必須滿足零點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值異號(hào)在B中，不滿足f(a)f(b)0，不能用二分法求零點(diǎn)，由于A、C、D中零點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值異號(hào)，故可采用二分法求零點(diǎn) 答案：B,溫馨提示：(1)準(zhǔn)確理解“二分法”的含義二分就是平均分成兩部分二分法就是通過(guò)不斷地將所選區(qū)間一分為二，逐步逼近零點(diǎn)的方法，找到零點(diǎn)附近足夠小的區(qū)間，根據(jù)所要求的精確度，用此區(qū)間的某個(gè)數(shù)值近似地表示真正的零點(diǎn) (2)“二分法”與判定函數(shù)零點(diǎn)的定義

6、密切相關(guān)，只有滿足函數(shù)圖象在零點(diǎn)附近連續(xù)且在該零點(diǎn)左右函數(shù)值異號(hào)才能應(yīng)用“二分法”求函數(shù)零點(diǎn),類型二用二分法求方程的近似解 【例2】利用計(jì)算器求方程lgx3x的近似解(精確度0.1) 思路分析：首先確定lgx3x的根的大致區(qū)間，由于ylgx，y3x的圖象可以作出，由圖象確定根的大致區(qū)間再用二分法求解,解：作出ylgx，y3x的圖象(下圖)可以發(fā)現(xiàn)，方程lgx3x有唯一解，記為x0，并且解在區(qū)間(2,3)內(nèi),設(shè)f(x)lgxx3，用計(jì)算器計(jì)算，得 f(2)0，x0(2,3)； f(2.5)0 x0(2.5,3)； f(2.5)0 x0(2.5,2.75)； f(2.5)0 x0(2.5,2.62

7、5)； f(2.5625)0 x0(2.5625,2.625) 2.6252.56250.06250.1 原方程的近似解為2.5625.,溫馨提示：(1)若方程的根可以轉(zhuǎn)化為常用函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，也可以通過(guò)常用函數(shù)圖象的交點(diǎn)，確定原方程所在的大致區(qū)間，再用二分法求解 (2)求方程的近似解即求函數(shù)的零點(diǎn)的近似值用二分法求解時(shí)要注意給定函數(shù)的符號(hào)、二分法求解的條件及要求的精確度,類型三用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似解 【例3】求函數(shù)f(x)x32x23x6的一個(gè)為正數(shù)的零點(diǎn)(精確度0.1) 思路分析：由于要求的是函數(shù)的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)，因此可以考慮首先確定一個(gè)包含正數(shù)的閉區(qū)間，而f(0)60，所以可取區(qū)

8、間1,2作為計(jì)算的初始區(qū)間(當(dāng)然選取0,2也是可以的),解：由于f(1)60，可取區(qū)間1,2作為計(jì)算的初始區(qū)間 用二分法逐步計(jì)算，列表如下：,由上表的計(jì)算可知，區(qū)間1.6875,1.75的長(zhǎng)度1.751.68750.06250.1，所以x41.6875就是函數(shù)的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)的近似值 溫馨提示：用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值，首先要選好計(jì)算的初始區(qū)間，這個(gè)區(qū)間既要符合條件，又要使其長(zhǎng)度盡量小，其次要依據(jù)條件給定的精確度及時(shí)檢驗(yàn)計(jì)算所得到的區(qū)間是否滿足這一精確度，以決定是停止計(jì)算還是繼續(xù)計(jì)算,類型四二分法的實(shí)際應(yīng)用 【例4】中央電視臺(tái)有一檔娛樂(lè)節(jié)目“幸運(yùn)52”，主持人李詠會(huì)給選手在限定時(shí)間內(nèi)猜某一物品

9、的售價(jià)的機(jī)會(huì)，如果猜中，就把物品獎(jiǎng)勵(lì)給選手，同時(shí)獲得一枚商標(biāo)某次猜一種品牌的手機(jī)，手機(jī)價(jià)格在5001000元之間選手開(kāi)始報(bào)價(jià)：1000元，主持人回答：高了；緊接著報(bào)價(jià)900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，你猜中了表面上看猜價(jià)格具有很大的碰運(yùn)氣的成分，實(shí)際中，游戲報(bào)價(jià)過(guò)程體現(xiàn)了“逼近”的數(shù)學(xué)思想，你能設(shè)計(jì)出可行的猜價(jià)方案來(lái)幫助選手猜價(jià)嗎？,思路分析：從游戲中可以發(fā)現(xiàn)選手的報(bào)價(jià)往往是從高于真實(shí)價(jià)或者低于真實(shí)價(jià)，從兩邊向真實(shí)價(jià)靠攏的，而手機(jī)的價(jià)格范圍是確定的，且報(bào)數(shù)是整數(shù)，所以可用數(shù)學(xué)中的“逼近思想”的特例二分法來(lái)設(shè)計(jì)猜價(jià)方案,解：取價(jià)格區(qū)

10、間500,1000的中點(diǎn)750，如果主持人說(shuō)低了，就再取750,1000的中點(diǎn)875；否則取另一個(gè)區(qū)間(500,750)的中點(diǎn)；若遇到小數(shù)取整數(shù)照這樣的方案，游戲過(guò)程猜測(cè)價(jià)如下：750,875,812,843,859,851，經(jīng)過(guò)6次可猜中價(jià)格,溫馨提示：此方案應(yīng)該說(shuō)方便、迅速、準(zhǔn)確，而且很科學(xué)在實(shí)際生活中處處有數(shù)學(xué)，碰到問(wèn)題多用數(shù)學(xué)思維去思考，會(huì)使我們變得更聰明，更具有數(shù)學(xué)素養(yǎng),下列函數(shù)中能用二分法求零點(diǎn)的是(),解析：在A中，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)在B和D中，函數(shù)有零點(diǎn)，但它們均是不變號(hào)零點(diǎn)，因此它們都不能用二分法求零點(diǎn)而在C中，函數(shù)圖象是連續(xù)不斷的，且圖象與x軸有交點(diǎn)，并且其零點(diǎn)為變號(hào)零點(diǎn)，C中的函

11、數(shù)能用二分法求其零點(diǎn)，故選C. 答案：C,求方程2x33x30的一個(gè)近似解(精確度0.1) 解：設(shè)f(x)2x33x3，經(jīng)計(jì)算f(0)f(1)0， f(x)在(0,1)內(nèi)存在零點(diǎn) 即方程2x33x30在(0,1)內(nèi)有解，列表如下：,0.06250.1，方程的近似解為0.6875.,用二分法求函數(shù)f(x)x33的一個(gè)正實(shí)數(shù)零點(diǎn)(精確度0.1) 解：由于f(1)20，因此可取區(qū)間(1,2)為初始區(qū)間，用二分法逐次計(jì)算 列表如下：,|1.51.4375|0.06250.1， 函數(shù)的正實(shí)數(shù)零點(diǎn)近似值可以取1.4375.,在一個(gè)風(fēng)雨交加的夜里，從某水庫(kù)閘房到防洪指揮部的電話線路發(fā)生了故障這是一條10 k

12、m長(zhǎng)的線路，如何迅速查出故障所在？ 如果沿線路一小段一小段查找，困難很多每查一個(gè)點(diǎn)要爬一次電線桿子，10 km，大約有200多根電線桿子呢想一想，維修線路的工人師傅怎樣工作最合理？,解：如下圖所示，他首先從中點(diǎn)C查用隨身帶的話機(jī)向兩端測(cè)試時(shí)，發(fā)現(xiàn)AC段正常，判定故障在BC段，再到BC段中點(diǎn)D查，這次發(fā)現(xiàn)BD段正常，可見(jiàn)故障在CD段，再到CD中點(diǎn)E來(lái)查 每查一次，可以把待查的線路長(zhǎng)度縮減一半，算一算，要把故障可能發(fā)生的范圍縮小到50100 m左右，即一兩根電線桿附近，要查多少次？ 據(jù)初中所學(xué)知識(shí)可知只要7次就夠了,1二分法的基本思想是將含零點(diǎn)的區(qū)間一分為二，然后逐步逼近零點(diǎn)，由于使用二分法的依據(jù)是勘根定理，因此并不是所有的零點(diǎn)都能用二分法求解那么怎樣的零點(diǎn)才能用二分法求出其近似解呢？ 判定一個(gè)函數(shù)能否用二分法求其零點(diǎn)的依據(jù)是：其圖象在零點(diǎn)附近是連續(xù)不斷的，且該零點(diǎn)為變號(hào)零點(diǎn)因此，用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)近似值