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1、1.3.1二項式定理,香河一中秦淑霞,(二)、創(chuàng)設(shè)情境引出問題,問題:今天是星期五,7天后的這一天是星期幾呢?,15天后的這一天呢?,算法:用各個數(shù)除以7,看余數(shù)是多少, 再用五加余數(shù)來推算,若今天是星期五,再過8100天后的那一天是星期幾?,再問,推陳出新,= ?,= ?,(三)、存疑設(shè)問突破難點(diǎn),?,對 展開式的分析,(a+b)2是2個(a+b)相乘,即(a+b)2= (a+b)* (a+b) = (a + b)* (a + b)=aa+ab+ba+bb 每個(a+b)在相乘時有兩種選擇,選a或選b,而且每個(a+b)中的a或b都選定后,才能得到展開式的一項。由分步乘法計數(shù)原理,在合并同類
2、項之前, (a+b)2的展開式共有2*2=22項,而且每一項a,b次數(shù)和都是2且每一項都是都是 的形式。,a2-kbk(k=0,1,2),(a+b)2 (a+b) (a+b),展開后其項的形式為:a2 , ab , b2,這三項的系數(shù)為各項在展開式中出現(xiàn)的次數(shù)??紤]b,恰有1個取b的情況有C21種,則ab前的系數(shù)為C21,恰有2個取b的情況有C22 種,則b2前的系數(shù)為C22,每個都不取b的情況有1種,即C20 ,則a2前的系數(shù)為C20,對(a+b)2展開式的分析,(a+b)4 (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)?,問題: 1)(a+b)4展開后各項形式分別是什么?,2)各項前的系
3、數(shù)代表著什么?,3)你能分析說明各項前的系數(shù)嗎?,a4 a3b a2b2 ab3 b4,各項前的系數(shù) 代表著這些項在展開式中出現(xiàn)的次數(shù),a4 a3b a2b2 ab3 b4,項:,系數(shù):,(a+b)4= (a+b) (a+b) (a+b) (a+b),(a+b)4=C40a4 +C41a3b +C42a2b2 +C43ab3 +C44b4,結(jié)果:,3)你能分析說明各項前的系數(shù)嗎?,知識,只有以我們自主探索的方式獲得才顯得更為珍貴。,嘗試猜想,= ?,= ?,猜想:(a+b)n展開式又是怎樣的呢?,初步歸納,(a+b)n是n個(a+b)相乘,每個(a+b)在相乘時有兩種選擇選a或選b,而且每個(
4、a+b)中的a或b都選定才能得到展開的一項。在合并同類項之前,由分步乘法計數(shù)原理,(a+b)n的展開式共有2n項,而且每一項都是,的形式.,證明:,an-kbk(k=0,1,2,n),二項式,二項展開式,記作:,二項式定理(binomial theorem),1.系數(shù)規(guī)律:,2.指數(shù)規(guī)律:,(1)各項的次數(shù)均為n; (2)a的次數(shù)按降冪排列,由n降到0, b的次數(shù)按升冪排列,由0升到n.,3.項數(shù)規(guī)律:,展開式共有n+1個項,二項式,二項展開式,第 項的二項式系數(shù),通項,在二項式定理中,令a=1,b=x,則有:,在上式中,令 x = 1,則有:,例1:求 的展開式,求 展開式第三項以及其二項式系數(shù),求x3項的系數(shù),解:,被7除的余數(shù)是1,因此 天后的這一天是星期六.,(四)歸納小結(jié),二項式定理,類比思想,,3.思維收獲,(五)作業(yè)布置,布置作業(yè): 習(xí)題1.3的第2、4(1)(2),課本P31練習(xí):,的展開式的第四項的二項式系數(shù)是 _ , 第四項的系數(shù)是 .,5、選擇題: 的展開式的第 6 項的系數(shù)是 .,D,1.寫出 的展開式.,2.求 的展開式的
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