高等數(shù)學(xué)定積分及其計(jì)算教學(xué)ppt.ppt

1、,第五章 定積分及其應(yīng)用,第一節(jié) 定積分及其計(jì)算,第二節(jié) 定積分在幾何上的應(yīng)用,第三節(jié) 定積分在物理上的應(yīng)用,第一節(jié) 定積分及其計(jì)算,一.定積分的概念與性質(zhì),二.微積分基本公式,本節(jié)主要內(nèi)容:,三.定積分的積分法,四.反常積分,一.積分的概念與性質(zhì),(一)定積分問(wèn)題舉例,1. 曲邊梯形的面積,設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)曲線,以及兩直線,所圍成 ,求其面積 A .,顯然,小矩形越多,矩形總面積越接近曲邊梯形面積.,觀察下列演示過(guò)程, 注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí), 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系 .,觀察下列演示過(guò)程, 注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí), 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系.,播幻燈片 75放,解決步驟:,1) 分割,

2、2) 取近似,3) 求和,4) 取極限,解決步驟 :,1) 分割,在區(qū)間 a , b 中任意插入 n 1 個(gè)分點(diǎn),用直線,將曲邊梯形分成 n 個(gè)小曲邊梯形;,2) 取近似,在第i 個(gè)窄曲邊梯形上任取,作以,為底 ,為高的小矩形,并以此小,梯形面積近似代替相應(yīng),窄曲邊梯形面積,得,3) 求和,4) 取極限,令,則曲邊梯形面積,2. 變速直線運(yùn)動(dòng)的路程,解決步驟:,1) 分割,2) 取近似,3) 求和,4) 取極限,解決步驟:,1) 分割,將它分成,在每個(gè)小段上物體經(jīng),2) 近似,得,n 個(gè)小段,過(guò)的路程為,2. 變速直線運(yùn)動(dòng)的路程,3) 求和,4) 取極限,上述兩個(gè)問(wèn)題的共性:,(二) 定積分的

3、概念,定義5.1.1 設(shè)函數(shù) f(x)在區(qū)間a,b上有定義, 分割: 任取分點(diǎn) 把區(qū)間 a,b 分割成 n個(gè)小區(qū)間 xi-1, xi , 第i個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為 ，記 近似: 在每個(gè)小區(qū)間xi-1, xi上任取一點(diǎn) i (i=1, 2 n) 求和：作和式,取極限：當(dāng)0時(shí), 若極限 存在(這 個(gè)極限值與區(qū)間 a, b 的分法及點(diǎn) i 的取法無(wú)關(guān) ) ， 則稱函數(shù) f(x) 在a, b 上可積, 并稱這個(gè)極限為函數(shù) f(x) 在區(qū)間a,b上的定積分，記作 , 即,說(shuō)明：,1. 閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)是可積的; 閉區(qū)間上只有有限個(gè)間斷點(diǎn)的有界函數(shù)也是可積的,2. 定積分是一個(gè)確定的常數(shù)，它取決于被積函數(shù)f

4、(x)和積分區(qū)間a,b，而與積分變量使用的字母的選取無(wú)關(guān)，即有,3. 在定積分的定義中, 有ab , 為了今后計(jì)算方便，我們規(guī)定:,(三) 定積分的幾何意義,: 介于曲線f(x) , x軸及兩條直線x=a,x=b之 間的各部分面積的代數(shù)和,設(shè)A為曲邊梯形面積, 則,各部分面積的代數(shù)和,例1 利用定積分的幾何意義, 證明,梯形是單位圓位于x軸上方的半圓.,因?yàn)閱挝粓A的面積，所以半圓的面積為/2 .,思考,(四) 定積分的性質(zhì),性質(zhì)1,性質(zhì)2,性質(zhì)3 (積分區(qū)間的可加性): 對(duì)任意的點(diǎn)c，有,性質(zhì)4 如果被積函數(shù) f(x)=C ( C為常數(shù) )，則,性質(zhì)5 (積分的保序性) : 如果在區(qū)間a,b上

5、, 恒有 f(x)g(x) , 則,例2 比較定積分 與 的大小 .,性質(zhì)6 (積分估值定理) 如果函數(shù) f(x)在區(qū)間 a,b上有最大值 M 和最小值 m , 則,M (ba),y=f (x),f (x) dx,m(ba),則 f(x) 在-1,1上的最小值為m=1/e , 最大值為M=1，由定積分的估值性質(zhì)，,例3 估計(jì)定積分 的值 .,設(shè),比較 x=0 及區(qū)間端點(diǎn) x=1 的函數(shù)值，有,性質(zhì)7(積分中值定理) 如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù)， 則在積分區(qū)間a, b上至少存在一個(gè)點(diǎn)x ，使下式成立:,exit,性質(zhì)8 (對(duì)稱區(qū)間上奇偶函數(shù)的積分性質(zhì)) 設(shè)f(x)在對(duì)稱區(qū)間-a, a

6、上連續(xù)， 如果f(x)為奇函數(shù)，則 ; 如果f(x)為偶函數(shù)，則 .,例如,exit,二. 微積分基本公式,在變速直線運(yùn)動(dòng)中, 已知位置函數(shù) s(t) 與,速度函數(shù),之間有關(guān)系:,考慮時(shí)間間隔,實(shí)際問(wèn)題,變速直線運(yùn)動(dòng)中路程為,另一方面這段路程可表示為,這種積分與原函數(shù)的關(guān)系在一定條件下具有普遍性.,(一)積分上限函數(shù),定理5. 1. 1 如果函數(shù) f(x) 在區(qū)間 a, b上連續(xù), 則變上限積分函數(shù) 在a, b上可導(dǎo)，且它的導(dǎo)數(shù)是 f(x) , 即,例4 計(jì)算,例5 計(jì)算,例6 計(jì)算,說(shuō)明：,1. 解決了原函數(shù)的存在性問(wèn)題: a,b 上的連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù),且(x)是f(x) 的一個(gè)原函數(shù)

7、這一基本結(jié)論.,為尋找定積分的計(jì)算方法提供了理論依據(jù),(二) 微積分基本公式(牛頓萊布尼茲公式),定理5. 1. 2 設(shè) f (x) 在 a, b 上連續(xù), 且 F(x)是 f (x) 原函數(shù), 則,例7 計(jì)算,例8 計(jì)算,例9 計(jì)算,例10 設(shè) 求,例11 計(jì)算,練一練,三.定積分的積分法,(一) 定積分的換元積分法,定理5. 1. 2 設(shè)函數(shù) f (x)在區(qū)間 a,b上連續(xù), 并且 滿足下列條件: (1) x = (t), 其值域含于a, b, 且 a=(), b=() ; (2) (t) 在區(qū)間, 或, 上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù) (t) ; 則有,說(shuō)明：,例12 計(jì)算,法一 設(shè)t=cosx, 則d

8、t = - sinxdx,法二,例13 計(jì)算,例14 計(jì)算,設(shè) , 則x= t2-1, dx=2tdt,例15 計(jì)算,例16 計(jì)算,例17 計(jì)算,原式,例18 設(shè)f(x)在區(qū)間-a, a上連續(xù), 證明: (1)如果f(x)為奇函數(shù), 則 ; (2)如果f(x)為偶函數(shù), 則,例19 設(shè)函數(shù)f(x)在0, 1上連續(xù), 證明:,設(shè),例20 求下列定積分:,(1),例21 求定積分:,奇函數(shù),原式,偶函數(shù),單位圓的面積,練一練,(二) 分部積分法,定理5.1.4 設(shè)函數(shù)u=u(x)和v=v(x)在區(qū)間a,b上有 連續(xù)的導(dǎo)數(shù), 則有:,例22 求,例23 求,例24 求,令 則,例25 求,例26 求

9、,例 27 證明,解得In 的遞推公式, , 繼續(xù)使用遞推公式知道 I1 和 I0 , 得,例28 求,例29 求,定義5. 1. 2 設(shè)函數(shù) f (x) 在區(qū)間 a,+) 上連續(xù), 取ba，若極限 存在, 則稱此極限為函 數(shù) f (x)在a,+)上的廣義積分, 記作 ， 即 此時(shí)也稱廣義積分 收斂; 如果上述極限 不存在, 就稱 發(fā)散.,類似可定義:,只要有一個(gè)極限不存在 , 就稱,發(fā)散 .,引入記號(hào),則有類似 N L 公式的計(jì)算表達(dá)式 :,例30 求,例31 討論 的斂散性.,例32 求,例33 求,(二) 無(wú)界函數(shù)的廣義積分瑕積分,定義5. 1. 3 設(shè)函數(shù) f (x) 在區(qū)間(a, b

10、上連續(xù)且 . 取 Aa, 如果極限 存在, 則稱此極限為函數(shù) f (x) 在 (a, b 上的廣義積分, 記作 即 此時(shí)也稱廣義積分 收斂, 否則就稱廣義積分 發(fā)散. A 稱為瑕點(diǎn) .,類似可定義:,（1）x=b 為 f(x) 的無(wú)窮間斷點(diǎn)時(shí):,（2）無(wú)窮間斷點(diǎn)x=c位于區(qū)間(a, b) 內(nèi):,若瑕點(diǎn),的計(jì)算表達(dá)式 :,則也有類似牛 萊公式的,若 b 為瑕點(diǎn), 則,若 a 為瑕點(diǎn), 則,若 a , b 都為瑕點(diǎn), 則,則,當(dāng)上式右邊兩個(gè)廣義積分都收斂, 稱廣義積分收斂.,例34 求,所以廣義積分發(fā)散 .,例35 討論 的斂散性 .,內(nèi)容小結(jié):,1.定積分的概念與性質(zhì),2.微積分基本公式,8個(gè)性

11、質(zhì),觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,3,觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,13,觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,23,觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,33,觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,43,觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,53,觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,63,觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,73,觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,83,觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,93,觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)