利用一個(gè)一次函數(shù)的圖象解決問題

1、一次函數(shù)的應(yīng)用,1甲、乙兩人在一次百米賽跑中，路程s(m)與賽跑時(shí)間t(s)的關(guān)系如圖151所示，則下列說法正確的是 ( ) A甲、乙兩人的速度相同 B甲先到達(dá)終點(diǎn) C乙用的時(shí)間短 D乙比甲跑的路程多,小題熱身,圖151,B,【解析】 結(jié)合圖象可知，兩人同時(shí)出發(fā)，甲比乙先到達(dá)終點(diǎn)，故甲的速度比乙的速度快，選B.,2如圖152，甲、乙兩人以相同路線前往離學(xué)校12 km的地方參加植樹活動(dòng)，l甲，l乙分別表示甲、乙兩人前往目的地所行駛的路程s(km)隨時(shí)間t(min)變化的函數(shù)圖象，則每分鐘乙比甲多行駛 _km.,圖152,一、必知2 知識(shí)點(diǎn) 1用一次函數(shù)的性質(zhì)解決實(shí)際問題 一次函數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中有著

2、廣泛的應(yīng)用，在解答一次函數(shù)的應(yīng)用題時(shí)，應(yīng)從給定的信息中抽象出一次函數(shù)關(guān)系，理清哪個(gè)是自變量，哪個(gè)是自變量的函數(shù)，再利用一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解，同時(shí)要注意自變量的取值范圍 常見類型有：(1)求一次函數(shù)的表達(dá)式； (2)利用一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決某些問題，如求最值等,考點(diǎn)管理,【智慧錦囊】 一次函數(shù)ykxb(k0)的自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，圖象是直線，因此沒有最大值與最小值但由實(shí)際問題得到的一次函數(shù)表達(dá)式自變量的取值范圍一般受到限制，圖象可能為線段和射線，根據(jù)函數(shù)圖象的性質(zhì)，就存在最大值和最小值了,2用一次函數(shù)的圖象解決實(shí)際問題 一次函數(shù)圖象的應(yīng)用是指用一次函數(shù)的圖象來表示題中數(shù)量關(guān)系的

3、應(yīng)用題解這類題的關(guān)鍵在于弄清橫軸、縱軸各表示什么量，圖象上的每一點(diǎn)表示什么實(shí)際意義，以及圖象的變化趨勢(shì)，傾斜度大小各表示什么含義等,二、必會(huì)2 方法 1一次函數(shù)的性質(zhì)運(yùn)用 利用一次函數(shù)解決實(shí)際問題時(shí)，首先可以利用圖示法或表格法表示各個(gè)變量，從而確定所求的一次函數(shù)表達(dá)式，再運(yùn)用一次函數(shù)的性質(zhì)分析問題得出結(jié)論 2數(shù)形結(jié)合思想 數(shù)形結(jié)合是重要的數(shù)學(xué)思想，利用它可以直觀得解決問題利用函數(shù)圖象解決實(shí)際問題時(shí)，要注意仔細(xì)分析圖象中各點(diǎn)的含義，尤其是圖象與圖象或與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，要善于運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想從圖象中獲取有用的信息，此類題目是中考的熱點(diǎn)考題,“一條直線類”應(yīng)用問題 某商店以40元/kg的單價(jià)新進(jìn)一 批

4、茶葉，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在一段時(shí)間 內(nèi)，銷售量y(kg)與銷售單價(jià)x(元/kg) 之間的函數(shù)關(guān)系如圖153所示 (1)根據(jù)圖象求y與x的函數(shù)關(guān)系式； (2)商店想在銷售成本不超過3 000元 的情況下，使銷售利潤達(dá)到2 400元，則銷售單價(jià)應(yīng)定為多少？,圖153,【解析】 (1)根據(jù)圖象可設(shè)ykxb，將(40，160)，(120，0)代入，得到關(guān)于k，b的二元一次方程組； (2)根據(jù)每千克的利潤銷售量2 400元列出方程，解方程求出銷售單價(jià)，從而計(jì)算銷售量，進(jìn)而求出銷售成本，與3 000元比較即可得出結(jié)論,(2)由題意，得(x40)(2x240)2 400， 整理，得x2160 x6 0000， 解

5、得x160，x2100.當(dāng)x60時(shí)，銷售單價(jià)為60元，銷售量為120 kg，則銷售成本為401204 800(元)，超過了3 000元，不合題意，舍去； 當(dāng)x100時(shí)，銷售單價(jià)為100元，銷售量為40 kg，則銷售成本為40401 600(元)，低于3 000元，符合題意 答：銷售單價(jià)應(yīng)定為100元,1在一次蠟燭燃燒實(shí)驗(yàn)中，蠟燭燃燒時(shí)剩余部分的高度y(cm)與燃燒時(shí)間x(h)之間為一次函數(shù)關(guān)系根據(jù)圖154提供的信息，解答下列問題： (1)求出蠟燭燃燒時(shí)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式； (2)求蠟燭從點(diǎn)燃到燃盡所用的時(shí)間,圖154,2某工廠投入生產(chǎn)一種機(jī)器的總成本為2 000萬元當(dāng)該機(jī)器生產(chǎn)數(shù)量至少10

6、臺(tái)，但不超過70臺(tái)時(shí)，每臺(tái)成本y(萬元/臺(tái))與生產(chǎn)數(shù)量x(臺(tái))之間是一次函數(shù)關(guān)系，函數(shù)y與自變量x的部分對(duì)應(yīng)值如下表： (1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍； (2)求該機(jī)器的生產(chǎn)數(shù)量；,(3)經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種機(jī)器每月銷售量z臺(tái)與售價(jià)a萬元臺(tái)之間滿足如圖155所示的函數(shù)關(guān)系，該廠生產(chǎn)這種機(jī)器后的第一個(gè)月按同一售價(jià)共賣出這種機(jī)器25臺(tái)，請(qǐng)你求出該廠第一個(gè),圖155,月銷售這種機(jī)器的利潤(注：利潤售價(jià)成本),【點(diǎn)悟】結(jié)合函數(shù)圖象及性質(zhì)，弄清圖象上的一些特殊點(diǎn)的實(shí)際意義及作用，尋找解決問題的突破口，這是解決一次函數(shù)應(yīng)用題常見的思路“圖形信息”題是近幾年的中考熱點(diǎn)考題，解此類問

7、題應(yīng)做到三個(gè)方面：(1)看圖找點(diǎn)，(2)見形想式，(3)建模求解,“兩條直線相交”類應(yīng)用問題 2017衢州“五一”期間，小明一家乘坐高鐵前往某市旅游，計(jì)劃第二天租用新能源汽車自駕出游,圖156,根據(jù)圖156的信息，解答下列問題： (1)設(shè)租車時(shí)間為x h，租用甲公司的車所需要費(fèi)用為y1元，租用乙公司的車所需費(fèi)用為y2元，分別求出y1，y2關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式 (2)請(qǐng)你幫助小明計(jì)算并選擇哪個(gè)出游方式合算 【解析】 (1)由圖象可知，y1的函數(shù)表達(dá)式為一次函數(shù)過點(diǎn)(0，80)和(1，95)，y2的函數(shù)表達(dá)式為正比例函數(shù)，過點(diǎn)(1，30)，用待定系數(shù)法可以求出表達(dá)式,12016濱州星期天，李玉剛同學(xué)

8、隨爸爸媽媽回老家探望爺爺奶奶，爸爸8：30騎自行車先走，平均每小時(shí)騎行20 km，李玉剛同學(xué)和媽媽9：30乘公交車后行，公交車平均速度是40 km/h，爸爸的騎行路線與李玉剛同學(xué)和媽媽的乘車路線相同，路程均為40 km，設(shè)爸爸騎行時(shí)間為x(h) (1)請(qǐng)分別寫出爸爸的騎行路程y1(km)、李玉剛同學(xué)和媽媽的乘車路程y2(km)與x(h)之間的函數(shù)表達(dá)式，并注明自變量的取值范圍； (2)請(qǐng)?jiān)谕粋€(gè)平面直角坐標(biāo)系中畫出(1)中兩個(gè)函數(shù)的圖象； (3)請(qǐng)回答誰先到達(dá)老家,解： (1)y120 x(0 x2)； y240(x1)40 x40(1x2)； (2)如答圖所示； 變式跟進(jìn)1答圖 (3)從圖象

9、中得出他們同時(shí)到達(dá),2已知甲、乙兩地相距90 km，A，B兩人沿同一公路從甲地出發(fā)到乙地，A騎摩托車，B騎電動(dòng)車如圖157，DE，OC分別表示A，B離開甲地的路程s(km)與時(shí)間t(h)的函數(shù)關(guān)系的圖象，根據(jù)圖象解答下列問題 (1)A比B晚出發(fā)幾小時(shí)？B的速度是多 少？ (2)在B出發(fā)后幾小時(shí)，兩人相遇？,圖157,3某校實(shí)行學(xué)案式教學(xué)，需印制若干份數(shù)學(xué)學(xué)案印刷廠有甲、乙兩種收費(fèi)方式，除按印數(shù)收取印刷費(fèi)外，甲種方式還需收取制版費(fèi)而乙種方式不需要兩種印刷方式的費(fèi)用y(元)與印刷份數(shù)x(份)之間的函數(shù)關(guān)系如圖158所示 (1)甲種收費(fèi)方式的函數(shù)關(guān)系式是 _， 乙種收費(fèi)方式的函數(shù)關(guān)系式是_； (2)

10、該校某年級(jí)每次需印制100450(含100 和450)份學(xué)案，求選擇哪種印刷方式較合算,圖158,y0.1x6,y0.12x,解： (2)由0.1x60.12x，得x300， 由0.1x60.12x，得x300， 由0.1x60.12x，得x300， 由此可知，當(dāng)100 x300時(shí)，選擇乙種印刷方式較合算； 當(dāng)x300時(shí)，選擇甲、乙兩種印刷方式都可以； 當(dāng)300 x450時(shí)，選擇甲種印刷方式較合算 【點(diǎn)悟】此類問題一般是一次函數(shù)的方案決策題，一般都是利用自變量的取值不同，得到不同的方案，并根據(jù)自變量的取值范圍確定出最佳方案,方案選擇 2016荊門A城有某種農(nóng)機(jī)30臺(tái)，B城有該農(nóng)機(jī)40臺(tái)，現(xiàn)要將

11、這些農(nóng)機(jī)全部運(yùn)往C，D兩鄉(xiāng)，調(diào)運(yùn)任務(wù)承包給某運(yùn)輸公司已知C鄉(xiāng)需要農(nóng)機(jī)34臺(tái)，D鄉(xiāng)需要農(nóng)機(jī)36臺(tái)從A城往C，D兩鄉(xiāng)運(yùn)送農(nóng)機(jī)的費(fèi)用分別為250元/臺(tái)和200元/臺(tái)，從B城往C，D兩鄉(xiāng)運(yùn)送農(nóng)機(jī)的費(fèi)用分別為150元/臺(tái)和240元/臺(tái) (1)設(shè)A城運(yùn)往C鄉(xiāng)該農(nóng)機(jī)x臺(tái)，運(yùn)送全部農(nóng)機(jī)的總費(fèi)用為W元，求W關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；,(2)現(xiàn)該運(yùn)輸公司要求運(yùn)送全部農(nóng)機(jī)的總費(fèi)用不低于16 460元，則有多少種不同的調(diào)運(yùn)方案？將這些方案設(shè)計(jì)出來； (3)現(xiàn)該運(yùn)輸公司對(duì)A城運(yùn)往C鄉(xiāng)的農(nóng)機(jī)，從運(yùn)輸費(fèi)中每臺(tái)減免a元(a200)作為優(yōu)惠，其他費(fèi)用不變?nèi)绾握{(diào)運(yùn)，使總費(fèi)用最少？,【解析】 依題意列表如下：

12、表一：運(yùn)送數(shù)量(臺(tái)),表二：運(yùn)送費(fèi)用(元/臺(tái)) 解：(1)W250 x200(30 x)150(34x)240(6x)140 x12 540. x0，30 x0，34x0，6x0， 自變量x的取值范圍是0 x30；,(2)W16 460， 140 x12 54016 460，解得x28. 28x30.此時(shí)整數(shù)x28，29或30. 共有3種方案，如下表：,(3)W(250a)x200(30 x)150(34x)240(6x)(140a)x12 540. 當(dāng)0a140時(shí)，140a0，W隨x的增大而增大，x0時(shí)，W最小，此時(shí)從A城往C鄉(xiāng)運(yùn)0臺(tái)，從A城往D鄉(xiāng)運(yùn)30臺(tái)，從B城往C鄉(xiāng)運(yùn)34臺(tái)，從B城往D鄉(xiāng)

13、運(yùn)6臺(tái)； 當(dāng)a140時(shí)，W是定值，均是12 540，此時(shí)各種方案費(fèi)用一樣多； 當(dāng)140a200時(shí)，140a0，W隨x的增大而減小，x30時(shí)，W最小，此時(shí)從A城往C鄉(xiāng)運(yùn)30臺(tái)，從A城往D鄉(xiāng)運(yùn)0臺(tái)，從B城往C鄉(xiāng)運(yùn)4臺(tái)，從B城往D鄉(xiāng)運(yùn)36臺(tái),為了貫徹落實(shí)市委市政府提出的“精準(zhǔn)扶貧”精神某校特制定了一系列關(guān)于幫扶A，B兩貧困村的計(jì)劃現(xiàn)決定從某地運(yùn)送152箱魚苗到A，B兩村養(yǎng)殖，若用大小貨車共15輛，則恰好能一次性運(yùn)完這批魚苗，已知這兩種大小貨車的載貨能力分別為12箱/輛和8箱/輛，其運(yùn)往A，B兩村的運(yùn)費(fèi)如下表：,(1)求這15輛車中大小貨車各多少輛； (2)現(xiàn)安排其中10輛貨車前往A村，其余貨車前往B

14、村，設(shè)前往A村的大貨車為x輛，前往A，B兩村總費(fèi)用為y元，試求出y與x的函數(shù)表達(dá)式； (3)在(2)的條件下，若運(yùn)往A村的魚苗不少于100箱，請(qǐng)你寫出使總費(fèi)用最少的貨車調(diào)配方案，并求出最少費(fèi)用,(2)由題意，得y800 x900(8x)400(10 x)6007(10 x)100 x9 400(0 x8，且x為整數(shù))； (3)由題意，得12x8(10 x)100，解得x5， 又0 x8，5x8，且x為整數(shù)， y100 x9 400，k1000， y隨x的增大而增大，當(dāng)x5時(shí)，y最小， 最小值為y10059 4009 900(元) 答：使總運(yùn)費(fèi)最少的調(diào)配方案：5輛大貨車、5輛小貨車前往A村；3輛

15、大貨車、2輛小貨車前往B村最少運(yùn)費(fèi)為9 900元,【點(diǎn)悟】利用一次函數(shù)進(jìn)行方案選擇時(shí)，一般先根據(jù)題意建立一次函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)題目要求及實(shí)際意義列不等式(組)，求出自變量的取值范圍，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)及自變量的最大(或最小)整數(shù)解來求函數(shù)值的最值，從而確定方案,分段函數(shù) 2017紹興某市規(guī)定了每月用水18 m3以內(nèi)(含18 m3)和用水18 m3以上兩種不同的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，該市的用戶每月應(yīng)交水費(fèi)y(元)是用水量x(m3)的函數(shù)，其圖象如圖159所示 (1)若某月用水量為18 m3，則應(yīng)交水費(fèi)多少元？ (2)求當(dāng)x18時(shí)，y關(guān)于x的函數(shù)表 達(dá)式，若小敏家某月交水費(fèi)81元， 則這個(gè)月用水量為多少立

16、方米？,圖159,解： (1)由函數(shù)圖象，該月用水量為18 m3，則應(yīng)交水費(fèi)45元； (2)由81元45元，得用水量超過18 m3， 設(shè)函數(shù)表達(dá)式為ykxb(x18)， 直線經(jīng)過點(diǎn)(18，45)(28，75)，,12016麗水2016年3月27日“麗水半程馬拉松競(jìng)賽”在蓮都舉行，某運(yùn)動(dòng)員從起點(diǎn)萬地廣場(chǎng)西門出發(fā)，途經(jīng)紫金大橋，沿比賽路線跑回終點(diǎn)萬地廣場(chǎng)西門設(shè)該運(yùn)動(dòng)員離開起點(diǎn)的路程s(km)與跑步時(shí)間t(min)之間的函數(shù)關(guān)系如圖1510所示，其中從起點(diǎn)到紫金大橋的平均速度是0.3 km/min，用時(shí)35 min，根據(jù)圖象提供的信息，解答下列問題： (1)求圖中a的值； (2)組委會(huì)在距離起點(diǎn)2.

17、1 km處設(shè)立 一個(gè)拍攝點(diǎn)C，該運(yùn)動(dòng)員從第一次,圖1510,過C點(diǎn)到第二次過C點(diǎn)所用的時(shí)間為68 min. 求AB所在直線的函數(shù)表達(dá)式； 該運(yùn)動(dòng)員跑完賽程用時(shí)多少分鐘？ 解： (1)從起點(diǎn)到紫金大橋的平均速度是0.3 km/min，用時(shí)35 min， a0.33510.5(km)； (2)線段OA經(jīng)過點(diǎn)O(0，0)，A(35，10.5)， 直線OA的函數(shù)表達(dá)式為y0.3t(0t35)， 當(dāng)s2.1時(shí)，0.3t2.1，解得t7， 該運(yùn)動(dòng)員從第一次過C點(diǎn)到第二次過C點(diǎn)所用的時(shí)間為68 min，,該運(yùn)動(dòng)員從起點(diǎn)到第二次過C點(diǎn)共用的時(shí)間是76875(min)， AB經(jīng)過(35，10.5)，(75，2.

18、1)兩點(diǎn)， 設(shè)AB所在直線的函數(shù)表達(dá)式是sktb， AB所在直線的表達(dá)式為s0.21t17.85； 該運(yùn)動(dòng)員跑完賽程所用的時(shí)間即為直線AB與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值， 當(dāng)s0時(shí)，0.21t17.850，解得t85， 該運(yùn)動(dòng)員跑完賽程用時(shí)85 min.,2甲、乙兩人勻速從同一地點(diǎn)到1 500 m處的圖書館看書，甲出發(fā)5 min后，乙以50 m/min的速度沿同一路線行走設(shè)甲、乙兩人相距s(m)，甲行走的時(shí)間為t(min)，s關(guān)于t的函數(shù)圖象的一部分如圖1511所示 (1)求甲行走的速度； (2)在坐標(biāo)系中，補(bǔ)畫s關(guān)于t的 函數(shù)圖象的其余部分； (3)問甲、乙兩人何時(shí)相距 360 m?,圖1511,解： (1)甲行走的速度為150530(m/min)； (2)補(bǔ)畫的圖象如答圖所示(橫軸上對(duì)應(yīng)的時(shí)間為50 min)； (3)由函數(shù)圖象可知，當(dāng)t12.5時(shí)，s0； 當(dāng)12.5t35時(shí)， s20t250； 當(dāng)35t50時(shí)， s30t1 500. 甲、乙兩人相距360 m， 即s360，解得t130.5，t238. 答：當(dāng)甲行走30.5 m