11 第十一章 差分方程 習題詳解

1、 1 * *第十一章 差分方程 第十一章 差分方程 習 題 習 題 11.1 1計算下列函數(shù)的二階差分 x y 2 ： (1) 23 2xxy=； (2) x ey 2 =； (3) x xy2) 1( 2 += 解解 (1) 32322 (1)2(1) (2)31 x yxxxxxx=+=， 22 ()(31)62 xx yyxxx= = =+. (2) 2(1)2xx x yee + =， 22(1)2 ()() xx xx yyee + = = . 2(1 1)2(1)2(1)2222 ()(1) xxxxx eeeeee + + = (3) 2(1)21 (1 1)2 (1)2 232

2、2 xxxx x yxxx + =+ +=+ +， 21 ()(2322 )22 xxx xx yyx + = = + +=+. 2證明： xxxxxxxxxx yzzyyzzyzy+=+= +11 )( ； 1 11 1+ + + = = xx xxxx xx xxxx x x zz zyyz zz zyyz z y 證證 根據(jù)一階差分的定義，有 111111 ()()() xxxxxxxxxxxxxxxx yzyzy zyzzzyyyzzy + =+=+， 1111 ()() xxxxxxxxxx yzzzyyyzzy + =+=+ 1 11 1 1 + + + + = xx xxxx x

3、 x x x x x zz zyzy z y z y z y 1 11 1 1111 11 11 1 11 )()( )()( + + + + + + + + = = = = + = xx xxxx xx xxxxxx xx xxxx xx xxxxxx xx xxxxxxxx zz zyyz zz zzyyyz zz zyyz zz zzyyyz zz zyzyzyzy 3指出下列差分方程的階數(shù)： 2 (1) xy x x sin2 2 =； (2) 2 13 xyy xx = + ； (3) xxx yyy= +12 ； (4) xyy xx +=33 3 解解 (1) 2 階； (2)

4、2 階； (3) 1 階； (4) 2 階 4已知 x x ey =是方程 x xx eayy2 11 =+ + 的一個解，求a 解解 因為 x x ey =是方程 x xx eayy2 11 =+ + 的一個解，所以 xxx eaee2 11 =+ + ， 即eae2 2 =+，故)2(eea= 5已知差分方程123 12 =+ +ttt yyy， (1) 證明函數(shù)tCCy t t +=2 21 ( 1 C， 2 C為任意常數(shù))是差分方程的通解； (2) 當0 0 =y，3 1= y時，求差分方程的特解 解解 (1) 因為 21 32 ttt yyy + + 21 121212 2(2)32

5、(1)2(2) ttt CCtCCtCCt + =+ 1= 所以，函數(shù)tCCy t t +=2 21 是差分方程的通解 (2) 由初始條件0 0 =y，3 1= y，得 =+ =+ 312 0 21 21 CC CC ， 解之得，4 1 =C，4 2 =C故所求特解為 ty t t += +2 24 習 題習 題 11.2 1求下列差分方程的通解： (1) 1 2 = xx yy； (2) 4 1 = +xx yy； (3) 13 1 +=+ + xyy xx ； (4) x xx yy32 1 =+ + 解解 (1) 原方程改寫為 02 1 = +xx yy，它特征方程為 20=， 特征根為

6、2=故所求通解為 3 2x x yC=(C為任意常數(shù)). (2) 方程對應的齊次方程0 1 = +xx yy的特征方程為 01=， 其特征根為1=.所以齊次方程的通解為 x YC=(C為任意常數(shù)). 由于 1 是特征方程的根，所以方程的特解具有形式 * x ybx=，代入方程，并比較兩端同 次冪的系數(shù)可得4b =所以方程的一個特解為 * 4 x yx=，故原方程的通解為 4 x yCx=+ (C為任意常數(shù)) (3) 方程13 1 +=+ + xyy xx 對應的齊次方程03 1 =+ +xx yy的特征方程為 03=+， 其特征根為3=.所以齊次方程的通解為 ( 3)x x YC=(C為任意常

7、數(shù)) 由于 1 不是特征方程的根，所以原方程的特解具有形式 * x yAxB=+， 代入原方程，并比較兩端同次冪的系數(shù)可得 41 41 A AB = += ， 解之得 1 4 A=， 3 16 B = 所以原方程的一個特解為 * 13 416 x yx=+ 故原方程的通解為 * 13 ( 3) 416 x xxx yYyCx=+=+ (C為任意常數(shù)) (4) 方程 x xx yy32 1 =+ + 對應齊次方程02 1 =+ +xx yy的特征方程為 20+=， 特征根為2= 齊次方程的通解為 ( 2)x x YC= 令 3x xx yz=，則有 1 321 xx zz + += 4 該方程的

8、一個特解為 * 1 5 x z =.故原方程的一個特解為 * 3 3 5 x x xx yz= 所以原方程的通解為 * 3 ( 2) 5 x x xxx yYyC=+=+ (C為任意常數(shù)) 2求下列差分方程滿足給定初始條件的特解： (1) 03= xx yy，1 0 =y； (2) 10 1 = +xx yy，3 0 =y； (3) x xx yy22 1 = + ，2 0 =y； (4) xyy xx sin4 1 =+ + ，1 0 =y 解解 (1) 方程03= xx yy改寫為04 1 = +xx yy，它的特征方程為 40=， 特征根為4=故所求通解為 4x x yC=(C為任意常數(shù)

9、). 由1 0 =y，得1=C，故原方程滿足初始條件的特解為 4x x y =. (2) 方程對應的齊次方程0 1 = +xx yy的通解為 x YC=(C為任意常數(shù)). 由于 1 是特征方程的根，所以原方程的特解具有形式 * x yAx=. 代入原方程，并比較兩端同次冪的系數(shù)可得 10A =即 * 10 x yx=. 故原方程的通解為 * 10 xxx yYyCx=+=+. 由 0 3y =，得3C =，故原方程滿足初始條件的特解為 103 x yx=+. (3) 方程對應齊次方程02 1 = +xx yy的特征方程為 20=. 特征根為2=.所以原方程對應齊次方程的通解為 5 2x x Y

10、C=. 令2x xx yz=，代入原方程得到 1 1 2 xx zz + =. 該方程的一個特解為 * 2 x x z =故原方程的一個特解為 *1 222 2 xxx xx x yzx =. 所以原方程的通解為 *1 22 xx xxx yYyCx =+=+. 由 0 2y =，得2C =，故原方程滿足初始條件的特解為 11 2 222(4) xxx x yxx =+=+. (4) 原方程對應齊次方程04 1 =+ +xx yy的特征方程為 40+=. 特征根為4= .所以對應齊次方程的通解為 ( 4)x x YC=. 令cossin x yAxBx=+， 代入方程xyy xx sin4 1

11、 =+ + ， 比較等式兩端同類項的系 數(shù)，的 0A =， 1 3 B =. 故原方程的一個特解為 * 1 sin 3 x yx=. 所以原方程的通解為 * 1 ( 4)sin 3 x xxx yYyCx=+=+. 由 0 1y =，得1C =，故原方程滿足初始條件的特解為 1 ( 4)sin 3 x x yx= +. 3設a，b為非零常數(shù)且01+ a，驗證：通過變換 a b yz xx + = 1 可將非齊次方程 bayy xx =+ +1 化為齊次方程，并求解 x y. 解解 由 a b yz xx + = 1 得 1 xx b yz a =+ + ，所以原式化為 6 1 11 xx bb

12、 zazab aa + += + ， 即 1 0 xx zaz + +=該方程為齊次方程其通解為 ()x x zCa= 故原方程bayy xx =+ +1 的通解為 () 1 x x b yCa a =+ + (C為任意常數(shù)) 4 (存款模型)設 t S為t年末存款總額，r為年利率， ttt rSSS+= +1 ， 且初始存款為 0 S， 求t年末的本利和. 解解 將方程 ttt rSSS+= +1 改寫為 0)1 ( 1 =+ +tt SrS 此方程為一階常系數(shù)齊次線性差分方程.可求得此方程的通解為 t t rCS)1 ( += (C為任意常數(shù)). 由初始條件 00 SS tt = = 時，

13、得 0 SC =故t年末的本利和 t t rSS)1 ( 0 +=. 5設某產(chǎn)品在時期t的價格為 t P，總供給量為 t S，總需求量為 t D并且有 tt PS31+=， 1 43 = tt PD， tt DS = (1,2,t =) (1) 試建立關于 t P的差分方程； (2) 已知 0 P時，求出 t P. 解解 (1) 由 tt DS =，可知 11tt SD + =，即 1 1 334 tt PP + +=，故所求差分方程為 243 1 =+ +tt PP 該方程為一階常系數(shù)非齊次線性差分方程 (2) 在方程243 1 =+ +tt PP中，令PPP tt = +1 ，得到一個特解

14、 7 2 * = PPt 容易求得對應的齊次方程043 1 =+ +tt PP的通解為 4 3 t t PC = ? (C為任意常數(shù)) 7 故原方程的通解為 * 42 37 t ttt PPPC =+=+ ? . 由 0 P，得 0 2 7 CP=.故原方程滿足初始條件的特解為 0 242 737 t t PP =+ . 習 題 習 題 11.3 1求下列二階常系數(shù)齊次線性差分方程的通解或在給定的初始條件下的特解: (1) 06 12 = +xxx yyy； (2) 096 12 =+ +xxx yyy； (3) 0 16 1 2 =+ +xx yy； (4) 21 13120 xxx yyy

15、 + +=， 0 1y =， 1 6y =. 解解 (1) 方程的特征方程為 2 6(2)(3)0=+=. 特征根為 1 2= ， 2 3=故所求通解為 12 ( 2)3 xx x yCC=+ ( 1 C， 2 C為任意常數(shù)). (2) 方程的特征方程為 22 69(3)0+=+=. 特征根為 12 3= 故所求通解為 12 ()( 3)x x yCC x=+ ( 1 C， 2 C為任意常數(shù)). (3) 方程的特征方程為 2 1 0 16 +=. 特征根為 1,2 1 4 i= 4 1 1 =r，= 0 3 1 tan，則取 2 =. 故所求通解為 12 1 cossin 422 x x yC

16、xCx =+ ( 1 C， 2 C為任意常數(shù)). (4) 方程01213 12 =+ +xxx yyy的特征方程為 2 13120+=. 8 特征根為 1 1= , 2 12= 故所求通解為 12 ( 1)( 12) xx x yCC=+ ( 1 C， 2 C為任意常數(shù)). 由1 0 =y，6 1 =y,得 1 18 11 C=， 2 7 11 C= .故原方程滿足初始條件的特解為 187 ( 1)( 12) 1111 xx x y=. 2求下列二階常系數(shù)非齊次線性差分方程的通解或在給定的初始條件下的特解： (1) 66 12 = +xxx yyy； (2) 896 12 =+ +xxx yy

17、y； (3) 204623 2 12 +=+ + xxyyy xxx ； (4) x xxx yyy5223 12 =+ + ； (5) 3243 12 +=+ + xyyy xxx ； (6) 4 2 = x y，2 0 =y，4 1 =y 解 解 (1) 原方程對應的齊次方程06 12 = +xxx yyy的通解為 12 ( 2)3 xx x yCC=+ ( 1 C， 2 C為任意常數(shù)). 由于 1 不是特征方程的根，所以原方程的特解具有形式 * x yA=， 代入原方程，并比較兩端同次冪的系數(shù)可得：1A= .所以原方程的一個特解為 * 1 x y= . 故原方程的通解為 12 ( 2)3

18、1 xx x yCC=+ ( 1 C， 2 C為任意常數(shù)). (2) 方程對應的齊次方程096 12 =+ +xxx yyy的通解為 12 ()( 3)x x yCC x=+ ( 1 C， 2 C為任意常數(shù)). 由于 1 不是特征方程的根，所以原方程的特解具有形式： * x yA=.代入原方程，并比較兩 端同次冪的系數(shù)可得： 1 2 A=所以原方程的一個特解為： * 1 2 x y=. 故原方程的通解為 12 1 ()( 3) 2 x x yCC x=+ ( 1 C， 2 C為任意常數(shù)). (3) 原方程對應的齊次方程023 12 =+ +xxx yyy的特征方程為 023 2 =+， 特征根

19、為：1 1 =，2 2 =.故對應的齊次方程通解為 9 12 ( 1)( 2) xx x yCC=+ ( 1 C， 2 C為任意常數(shù)). 由于 1 不是特征方程的根，所以原方程的特解具有形式 *2 x yAxBxC=+. 代入原方程，并比較兩端同次冪的系數(shù)可得：1A=，1B = ，3C =. 所以原方程的一個特解為 *2 3 x yxx=+. 故原方程的通解為 2 12 ( 1)( 2)3 xx x yCCxx=+ ( 1 C， 2 C為任意常數(shù)). (4) 原方程對應的齊次方程023 12 =+ +xxx yyy的特征方程為 023 2 =+， 特征根為：1 1= ，2 2 =.故對應的齊次

20、方程的通解為 122 x x yCC=+ ( 1 C， 2 C為任意常數(shù)). 令 5x xx yz=，則有 21 251522 xx zzz + +=. 可求出該方程的一個特解為 * 1 6 x z=故原方程的一個特解為 * 5 5 6 x x xx yz=. 所以原方程的通解為 12 5 2 6 x x x yCC=+ ( 1 C， 2 C為任意常數(shù)). (5) 原方程對應的齊次方程043 12 =+ +xxx yyy的特征方程為 043 2 =+， 特征根為：1 1= ，4 2 =.故對應的齊次方程的通解為 12( 4) x x yCC=+ ( 1 C， 2 C為任意常數(shù)). 由于 1 是

21、特征方程的根，所以原方程的特解具有形式 *2 x yAxBx=+. 10 代入原方程，并比較兩端同次冪的系數(shù)，可得 =+ = 357 210 BA A ， 解之得 1 5 A=， 8 25 B=. 所以原方程的一個特解為 *2 18 525 x yxx=+. 故原方程的通解為 2 12 18 ( 4) 525 x x yCCxx=+ ( 1 C， 2 C為任意常數(shù)). (6) 由4 2 = x y，改寫成 21 24 xxx yyy + += 該方程對應齊次方程 21 20 xxx yyy + +=的特征方程為 012 2 =+， 特征根為：1 1= ，1 2 =.故對應的齊次方程的 的通解為

22、 12x yCC x=+ ( 1 C， 2 C為任意常數(shù)). 由于 1 是特征方程的重根，所以原方程的特解具有形式 *2 x yAx=. 代入原方程，并比較兩端同次冪的系數(shù)可得：2A=.所以原方程的一個特解為 *2 2 x yx=. 故原方程的通解為 2 12 2 x yCC xx=+ ( 1 C， 2 C為任意常數(shù)). 由2 0 =y，4 1 =y，得 1 2C=，0 2 =C.原方程在給定初值條件下的解為： 2 22 x yx=+. 3已知ax = 1 ，bx = 2 ， 2 1 2 nn n xx x + = + + )3, 2, , 1( =n，求通項 n x以及 n n x lim

23、解解 將 2 1 2 nn n xx x + = + + 改寫成 0 2 1 2 1 12 = +nnn xxx 11 該方程為二階常系數(shù)齊次線性差分方程它的特征方程為 0 2 1 2 1 2 = 特征根為：1 1= ， 2 1 2 =故齊次線性差分方程的通解為 n n CCx += 2 1 21 ( 1 C， 2 C為待定常數(shù)) 由初始條件ax = 1 ，bx = 2 ，代入上述通解，得到 =+ = bCC aCC 21 21 4 1 2 1 ， 解之得 3 2 1 ba C + =，)( 3 4 2 abC=故所給數(shù)列的通項 2 2 1 33 2 + + = n n abba x ，且 3

24、 2 lim ba xn n + = 習 題 11.4 習 題 11.4 1假設某湖開始有 10 萬條魚，且魚的年增長率為 25%，而每年捕魚量為 3 萬條 (1) 列出每年湖中魚的條數(shù)的差分方程，并求解； (2) 多少年后，湖中的魚將捕撈完？ 解解 (1) 設 t y表示第t年末湖中魚的條數(shù)，依題意， t y滿足下述差分方程 3)25. 01 ( 1 += +tt yy，即325. 1 1 = +tt yy 且滿足初始條件10 0 =y 容易求得該差分方程的通解為 12)25. 1 (+= t t Cy 由初始條件10 0 =y，得到2=C故該差分方程滿足初始條件10 0 =y的解為 12)

25、25. 1 (2+= t t y (2) 多少年后，湖中的魚將捕撈完也即是在上式中令 t y=0，求t 012)25. 1 (2=+ t ，求得 8 25. 1ln 6ln =t(年) 即大約 8 年后，湖中的魚將捕撈完 2設某商品在t時期的供給量 t S與需求量 t D都是這一時期該商品價格 t P的線性函數(shù)： 12 tt bPaS+=， tt dPcD= (其中 a，b，c，d為正常數(shù))，且在t時期的價格 t P由1t 時期的價格 1t P與供給量及需求量之差按關系 )( 111 = tttt DSPP (為常數(shù)) 確定，試求該商品的價格隨時間變化的規(guī)律 解解 根據(jù)題意，即可得差分方程 )

26、()(1 1 caPdbP tt +=+ + 在上述方程中，令PPP tt = +1 ，得到該方程的一個特解為 db ca PPt + + = * (稱為均衡價格). 容易求得該方程對應齊次方程0)(1 1 =+ +tt PdbP的通解為 t t dbCP)(1 += 故方程的通解為 db ca dbCP t t + + +=)(1 如果已知初始價格 0 P，求得 db ca PC + + = 0 ，此時有 db ca db db ca PP t t + + + + + =)(1 0 如果1)(1= = y為給定的初始條件. 19 (1) 試證 0 t y，1=t，2， ； (2) 試證：變換

27、 t t y u 1 =將原方程化為 t u的線性方程，并由此求出 t y的通解； (3) 求方程 ttt yyy4)32( 1= + + 滿足初始條件 1 0 =y的特解及 t t y + lim. 解 解 (1) 因為0 0 y， a，b，c為正的常數(shù). 所以 0 )( 0 0 1 + = bya cy y 假設0 t y，由數(shù)學歸納法得證 0 )( 1 + = + t t t bya cy y，1=t，2， . (2) 作變換 t t y u 1 =，代入原方程后，得 baucu tt = +1 . 當ac 時， 方程baucu tt = +1 ， 有特解 ac b ut = * 對應齊

28、次方程0 1 = +tt aucu的 通解為 t t c a AU =(A為任意常數(shù)). 于是方程baucu tt = +1 的通解為 ac b c a AuUu t ttt + =+= * 由初始條件 00 yy tt = = ，得到 00 uu tt = = .代入上述方程，得 = ac b uA 0 .于是 ac b c a ac b uu t t + = 0 . 即 1 0 1 + = ac b c a ac b y y t t . 當 ac =時，方程為 c b uu tt = +1 . 20 此時設特解為 Btut= * (B為待定常數(shù))，代入方程， c b B=即特解為t c b

29、 ut= * . 對應齊次方程0 1 = +tt uu的通解為 CUt= (C為任意常數(shù)). 故方程 c b uu tt = +1 的通解為 * ttt b uUuCt c =+=+. 于是，在初始條件 00 uu tt = = 下，方程的解為 t c b uut+= 0 ，即 1 0 1 +=t c b y yt. 綜上討論，在初始條件 00 yy tt = = 原方程的解為 1 0 1 0 1 , 1 , t t bab ca ycacca y b tca yc + = += . (3) 對方程 ttt yyy4)32( 1= + + 滿足初始條件 1 0 =y的特解，由上述公式 1 1

30、1 2 1 2 3 2 3 2 1 2 3 1 + = + = tt t y， 3 2 2 1 2 3 limlim 1 1 = = + + t t t t y. 7已知級數(shù) =1n n U的通項為 2 sin3 2 cos2 nn Un+= ）， =3 2, 1,(n. 求其部分和序列的通項 n S. 解解 根據(jù)前n項部分和的定義知 1211+ + += nnn UUUUS， 于是 21 2 sin2 2 cos3 2 ) 1( sin3 2 ) 1( cos2 11 nnnn USS nnn = + + + = + . 這是一個一階常系數(shù)非齊次線性差分方程由于 2 sin2 2 cos3)

31、( nn xf=，設方程的特 解為 2 sin 2 cos 21 * n A n ASn+= ( 1 A， 2 A為待定常數(shù)). 將其代入上述方程，并比較等式兩邊同類項的系數(shù)，得到方程組 = + =+ 21 2 cos 2 sin 3 2 sin1 2 cos 21 21 AA AA ， 解之得 2 1 1 =A， 2 5 2 =A于是特解為 2 sin 2 5 2 cos 2 1 * nn Sn+=. 于是，我們?nèi)菀椎玫皆匠痰耐ń?2 sin 2 5 2 cos 2 1nn CSn+= (C為任意常數(shù)). 將初始條件3 11 =US代入通解中，有 3 2 sin 2 5 2 cos 2 1

32、 =+ C. 解得 2 1 =C故該級數(shù)的部分和序列的通項 n S為 2 sin 2 5 2 cos 2 1 2 1nn Sn+=. 8驗證：通過變換 tt ytu) 1(+=可將方程 )() 1()2()3( 12 tfytbytayt ttt =+ + (a，b為常數(shù)) 變換為關于 t u的二階常系數(shù)線性差分方程，并由此求出方程 0) 1()2(2)3( 12 =+ +ttt ytytyt 的通解 解解 作變換 tt ytu) 1(+=，即 tt u t y 1 1 + =于是 11 2 1 + + = tt u t y， 22 3 1 + + = tt u t y 將 t y， 1+t

33、y， 2+t y代入方程，得到 )( 12 tfbuauu ttt =+ + 22 此方程為關于 t u的二階常系數(shù)線性差分方程 對于0) 1()2(2)3( 12 =+ +ttt ytytyt，作變換 tt ytu) 1(+=，則有齊次方程 02 12 =+ +ttt uuu 它的特征方程為 012 2 =+， 特征根為1 21 =于是齊次方程02 12 =+ +ttt uuu的通解為 tCCut 21+ = ( 1 C， 2 C為任意常數(shù)) 將 tt ytu) 1(+=代入上述通解，即可得方程0) 1()2(2)3( 12 =+ +ttt ytytyt的通解 12 1 t CC t y t

34、 + = + ( 1 C， 2 C為任意常數(shù)) 9(消費模型)設 t Y為t期國民收入， t C為t期消費， t I為t期的投資，它們之間有如下 關系 1111 () tt tt ttttt CYa IYb YYYCI =+ =+ = ， 其中，a，b和均為常數(shù)，且10，10，10，10+， 0a，0b若已知初期的國民收入 0 Y為已知，試求 t Y與t的函數(shù)關系. 解解 將 11tt CYa =+和 11tt IYb =+代入 1111 () ttttt YYYCI =并整理得 1 1(1)() tt YYab += + 將方程改寫為 1 1(1)() tt YYab + += + 該方程為一階常系數(shù)非齊次線性差分方程在方程中