2018年全國一卷數(shù)學(xué)(試卷+答題卡+答案解析)

1、理科數(shù)學(xué)試卷第 1 頁共 4 頁理科數(shù)學(xué)試卷第 1 頁共 4 頁 絕密啟用前 2018 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試 理科數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)試題卷共 12 頁。滿分 150 分?？荚嚂r間 120 分鐘。 注意事項：注意事項： 1.答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡規(guī)定的位置上。 2.答選擇題時，必須使用 2B 鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦擦 干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。 3.答非選擇題時，必須使用 0.5 毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上。 4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效。 5.考試結(jié)束后，將試題和答題卷一并交回。 一、選擇題

2、： （本題有 12 小題，每小題 5 分，共 60 分。 ） 1.設(shè) z=，則z=（） A.0B.? ? C.1D.2 2.已知集合 A=x|x 2-x-20，則C RA =（） A、x|-1x2B、x|-1x2 C、x|x2D、x|x-1x|x 2 3.某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍，實現(xiàn)翻番，為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村 的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖： 則下面結(jié)論中不正確的是（） A.新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少 B.新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上 C.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍 D.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第

3、三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟(jì)收入的一半 4.記 Sn為等差數(shù)列an的前 n 項和，若 3S3= S2+ S4，a1=2，則 a5=（） A.-12B.-10C.10D.12 5.設(shè)函數(shù) f（x）=x+（a-1）x+ax .若 f（x）為奇函數(shù)，則曲線 y= f（x）在點（0，0）處的切線方 程為（） A.y= -2xB.y= -xC.y=2xD.y=x 6.在ABC 中，AD 為 BC 邊上的中線，E 為 AD 的中點，則EB ? ?=（ ） A. 3 4AB ? ?- 1 4AC ?B. 1 4AB ? ?- 3 4AC ?C. 3 4AB ? ?+ 1 4AC ?D. 1 4AB ? ?+

4、3 4AC ? 7.某圓柱的高為 2，底面周長為 16，其三視圖如右圖。圓柱表面上的點 M 在正視圖上的對應(yīng)點為 A， 圓柱表面上的點 N 在左視圖上的對應(yīng)點為 B，則在此圓柱側(cè)面上，從 M 到 N 的路徑中，最短路徑的長 度為（） A. 2 17 B. 2 5 C. 3 D. 2 8.設(shè)拋物線 C： y=4x 的焦點為 F， 過點 （-2， 0） 且斜率為2 3的直線與 C 交于 M， N 兩點， 則FM ? ? FN ? ?=( ) A.5B.6C.7D.8 9.已知函數(shù) f（x）=g（x）=f（x）+x+a，若 g（x）存在 2 個零點，則 a 的取值范圍 是() A. -1，0）B.

5、0，+）C. -1，+）D. 1，+） 10.下圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形。此圖由三個半圓構(gòu)成，三個半圓的直徑分 別為直角三角形 ABC 的斜邊 BC，直角邊 AB，AC. ABC 的三邊所圍成的區(qū)域記為，黑色部分記為 ，其余部分記為。在整個圖形中隨機(jī)取一點，此點取自，的概率分別記為 p1，p2，p3， 則() A.p1=p2 B.p1=p3 C.p2=p3 D.p1=p2+p3 11.已知雙曲線 C： x2 3 - y=1，O 為坐標(biāo)原點，F(xiàn) 為 C 的右焦點，過 F 的直線與 C 的兩條漸近線的交點 分別為 M，N. 若OMN 為直角三角形，則MN=() A. 3 2 B

6、.3 C.32 D.4 12.已知正方體的棱長為 1，每條棱所在直線與平面 所成的角都相等，則 截此正方體所得截面面 積的最大值為（） A.B.C.D. 二、填空題：本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分。 13.若 x，y 滿足約束條件則 z=3x+2y 的最大值為. 14.記 Sn為數(shù)列an的前 n 項和. 若 Sn= 2an+1，則 S6=. 15.從 2 位女生，4 位男生中選 3 人參加科技比賽，且至少有 1 位女生入選，則不同的選法共有 種.（用數(shù)字填寫答案） 16.已知函數(shù)f（x）=2sinx+sin2x，則f（x）的最小值是. 理科數(shù)學(xué)試卷第 3 頁共 4 頁理科數(shù)學(xué)試

7、卷第 4 頁共 4 頁 三.解答題：共 70 分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第 1721 題為必考題，每個試 題考生都必須作答。第 22、23 題為選考題，考生根據(jù)要求作答。 （一）必考題：共（一）必考題：共 6060 分。分。 17.（12 分） 在平面四邊形 ABCD 中，ADC=90，A=45，AB=2，BD=5. （1）求 cosADB； （2）若DC=，求BC. 18.（12 分） 如圖，四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，以DF為折痕把DFC折起，使點C到 達(dá)點P的位置，且PFBF. （1）證明：平面PEF平面ABFD； （2）求DP與平面ABFD所

8、成角的正弦值. 19.（12 分） 設(shè)橢圓 C： ? ? + + y y =1=1 的右焦點為 F，過 F 的直線 l 與 C 交于 A，B 兩點，點 M 的坐標(biāo)為（2，0）. （1）當(dāng) l 與 x 軸垂直時，求直線 AM 的方程； （2）設(shè) O 為坐標(biāo)原點，證明：OMA =OMB. 20、 （12 分） 某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱 200 件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗，如檢驗 出不合格品，則更換為合格品，檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取 20 件產(chǎn)品作檢驗，再根據(jù)檢驗結(jié)果決 定是否對余下的所有產(chǎn)品做檢驗，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為P（0P1），且各件產(chǎn)品是否為 不合格品相互獨(dú)

9、立。 （1）記 20 件產(chǎn)品中恰有 2 件不合格品的概率為f（P） ，求f（P）的最大值點 。 （2）現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了 20 件，結(jié)果恰有 2 件不合格品，以（1）中確定的作為 P 的值，已知 每件產(chǎn)品的檢驗費(fèi)用為 2 元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付 25 元的賠 償費(fèi)用。 （i）若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗，這一箱產(chǎn)品的檢驗費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為 X，求 EX； （ii）以檢驗費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗？ 21、 （12 分） 已知函數(shù). （1）討論 f（x）的單調(diào)性； （2）若 f（x）存在兩個極值點 x1, x2, 證明

10、：. （二（二）選考題選考題：共共 1010 分分。請考生在第請考生在第 2222、2323 題中任選一題作答題中任選一題作答。如果多做如果多做，則按所做的第一題計分則按所做的第一題計分。 22. 選修 4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（10 分） 在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線 C的方程為 y=kx+2.以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建 立極坐標(biāo)系，曲線 C的極坐標(biāo)方程為+2cos -3=0. （1）求 C的直角坐標(biāo)方程: （2）若 C與 C有且僅有三個公共點，求 C的方程. 23. 選修 4-5：不等式選講（10 分） 已知f（x）=x+1-ax-1. （1）當(dāng) a=1 時，求不等式f（x）1 的

11、解集； （2）若 x（0，1）時不等式f（x）x 成立，求 a 的取值范圍. 姓名 XXXX考生號 XXXXXXXXXXXXXXX 貼 條 形 碼 區(qū) 考場號 XXXX座位號 XX 數(shù)學(xué)答題卡第 1頁共 2 頁 2018 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試 理科數(shù)學(xué)答題卡 試卷類型：AB 準(zhǔn)考證號： 注 意 事 項 1.答題前，考生務(wù)必先認(rèn)真核對條形碼上的姓名、考生號、考場號和座位號，無誤后將本人姓名、考生號、考 場號和座位號填寫在相應(yīng)位置同時將背面的座位號填涂在指定位置。 2.答題時，必須使用 0.5 毫米的黑色墨水簽字筆書寫，作圖時，可用 2B 鉛筆，筆記要清楚；選擇題填涂時， 必須用 2B

12、鉛筆u按圖示規(guī)范填涂。 3.必須在題目所指定的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。 4.保持答題卡清潔、完整，嚴(yán)禁折疊，嚴(yán)禁在答題卡上作任何標(biāo)記，嚴(yán)禁使用涂改液和修正帶。 此欄考生禁填缺考標(biāo)記缺考考生由監(jiān)考員貼條形碼，并用 2B 鉛筆填涂左邊的缺考標(biāo)記 一、選擇題 123456789101112 AAAAAAAAAAAA BBBBBBBBBBBB CCCCCCCCCCCC DDDDDDDDDDDD 二、填空題 13_14_ 15_16_ 三、解答題 17. （1） 請在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出黑色矩形邊框限定區(qū)域的答案無效 請在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出黑

13、色矩形邊框限定區(qū)域的答案無效 （2） 18. （1） （2） 請在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出黑色矩形邊框限定區(qū)域的答案無效 請在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出黑色矩形邊框限定區(qū)域的答案無效 19. （1） （2） 請在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出黑色矩形邊框限定區(qū)域的答案無效 學(xué)校_班級_姓名_準(zhǔn)考證號_座位號_ 密封線 【選考題】 uu 2223 u u 請考生從 22、23 兩題中任選一題作答，如果多做則按所 做的第一道題計分。作答時用 2B 鉛筆將所選題目對應(yīng)的題號 涂黑，并且在解答過程中寫清每小問的題號 數(shù)學(xué)答題卡第 2頁共 2 頁 請在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出黑色矩形邊框限定區(qū)域

14、的答案無效 20. （1） （2） （i） （ii） 請在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出黑色矩形邊框限定區(qū)域的答案無效 請在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出黑色矩形邊框限定區(qū)域的答案無效 21. （1） （2） 請在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出黑色矩形邊框限定區(qū)域的答案無效 請在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出黑色矩形邊框限定區(qū)域的答案無效 請在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出黑色矩形邊框限定區(qū)域的答案無效 理科數(shù)學(xué)答案第 1 頁共 4 頁理科數(shù)學(xué)答案第 2 頁共 4 頁 絕密啟用前 2018 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試 理科數(shù)學(xué)試題參考答案 一、選擇題 1C2B3A4B5D6A 7B8D9C10A11

15、B12A 二、填空題 1361463151616 3 3 2 三、解答題 17解： （1）在ABD中，由正弦定理得 sinsin BDAB AADB . 由題設(shè)知， 52 , sin45sinADB 所以 2 sin 5 ADB. 由題設(shè)知，90ADB，所以 223 cos1 255 ADB. （2）由題設(shè)及（1）知， 2 cossin 5 BDCADB. 在BCD中，由余弦定理得 222 2cos 2 258252 2 5 25. BCBDDCBD DCBDC 所以5BC . 18解： （1）由已知可得，BFPF，BFEF，所以BF 平面PEF. 又BF 平面ABFD，所以平面PEF 平面A

16、BFD. （2）作PHEF，垂足為H. 由（1）得，PH 平面ABFD. 以H為坐標(biāo)原點，HF uuu r 的方向為 y 軸正方向，|BF uuu r 為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Hxyz. 由（1）可得，DEPE. 又2DP ，1DE ，所以3PE . 又1PF ，2EF ，故PEPF. 可得 3 2 PH ， 3 2 EH . 則(0,0,0)H， 3 (0,0,) 2 P, 3 ( 1,0) 2 D ， 33 (1,) 22 DP uuu r ， 3 (0,0,) 2 HP uuu r 為平面ABFD的法向量. 設(shè)DP與平面ABFD所成角為，則 3 3 4 sin| 43 |

17、| HP DP HPDP uuu r uuu r uuu ruuu r. 所以DP與平面ABFD所成角的正弦值為 3 4 . 19解： （1）由已知得(1,0)F，l的方程為1x . 由已知可得，點 A 的坐標(biāo)為 2 (1,) 2 或 2 (1,) 2 . 所以 AM 的方程為 2 2 2 yx 或 2 2 2 yx. （2）當(dāng) l 與 x 軸重合時，0OMAOMB . 當(dāng) l 與 x 軸垂直時，OM 為 AB 的垂直平分線，所以O(shè)MAOMB . 當(dāng) l 與 x 軸不重合也不垂直時， 設(shè) l 的方程為(1) (0)yk xk， 11 (,)A x y， 22 (,)B xy， 則 1 2x ，

18、 2 2x ， 直線 MA，MB 的斜率之和為 12 12 22 MAMB yy kk xx . 由 11 ykxk， 22 ykxk得 1212 12 23 ()4 (2)(2) MAMB kx xk xxk kk xx . 將(1)yk x代入 2 2 1 2 x y得 2222 (21)4220kxk xk. 所以， 22 1212 22 422 , 2121 kk xxx x kk . 則 333 1212 2 441284 23 ()40 21 kkkkk kx xk xxk k . 從而0 MAMB kk，故 MA，MB 的傾斜角互補(bǔ). 所以O(shè)MAOMB . 理科數(shù)學(xué)試卷第 3 頁

19、共 4 頁理科數(shù)學(xué)試卷第 4 頁共 4 頁 綜上，OMAOMB . 20解： （1）20 件產(chǎn)品中恰有 2 件不合格品的概率為 2218 20 ( )C(1)f ppp. 因此 218217217 2020 ( )C 2 (1)18(1) 2C(1) (1 10 )fpppppppp. 令( )0fp，得0.1p . 當(dāng)(0,0.1)p時，( )0fp；當(dāng)(0.1,1)p時，( )0fp.所以( )f p的最大值點 為 0 0.1p . （2）由（1）知，0.1p . （）令 Y 表示余下的 180 件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知(180,0.1)YB，20225XY，即 4025XY. 所

20、以(4025 )4025490EXEYEY. （）如果對余下的產(chǎn)品作檢驗，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗費(fèi)為 400 元. 由于400EX ，故應(yīng)該對余下的產(chǎn)品作檢驗. 21解： （1）( )f x的定義域為(0,)， 2 22 11 ( )1 axax fx xxx . （）若2a，則( )0fx，當(dāng)且僅當(dāng)2a ，1x 時( )0fx，所以( )f x在(0,)單調(diào)遞減. （）若2a ，令( )0fx得， 2 4 2 aa x 或 2 4 2 aa x . 當(dāng) 22 44 (0,)(,) 22 aaaa x U時，( )0fx； 當(dāng) 22 44 (,) 22 aaaa x 時，( )0fx. 所以

21、( )f x在 2 4 (0,) 2 aa ， 2 4 (,) 2 aa 單調(diào)遞 減，在 22 44 (,) 22 aaaa 單調(diào)遞增. （2）由（1）知，( )f x存在兩個極值點當(dāng)且僅當(dāng)2a . 由于( )f x的兩個極值點 1 x， 2 x滿足 2 10 xax ，所以 12 1x x ，不妨設(shè) 12 xx，則 2 1x . 由于 1212122 12121212 2 2 ()()lnlnlnln2ln1 122 1 f xf xxxxxx aaa xxx xxxxx x x ， 所以 12 12 ()() 2 f xf x a xx 等價于 22 2 1 2ln0 xx x . 設(shè)函數(shù) 1 ( )2lng xxx x ， 由 （1） 知，( )g x在(0,)單調(diào)遞減， 又(1)0g， 從而當(dāng)(1,)x時，( )0g x . 所以 22 2 1 2lnxx x 0，即 12 12 ()() 2 f xf x a xx . 22解： （1）由cosx，siny得 2 C的直角