“眼科病床的合理安排”.ppt

1、數(shù)學建模競賽試題2009B “眼科病床的合理安排”,沈陽工業(yè)大學 數(shù)學系,2,“眼科病床的合理安排”賽題,醫(yī)院就醫(yī)排隊是大家都非常熟悉的現(xiàn)象，它以這樣或那樣的形式出現(xiàn)在我們面前，例如，患者到門診就診、到收費處劃價、到藥房取藥、到注射室打針、等待住院等，往往需要排隊等待接受某種服務(wù)。 我們考慮某醫(yī)院眼科病床的合理安排的數(shù)學建模問題。 該醫(yī)院眼科門診每天開放，住院部共有病床79張。該醫(yī)院眼科手術(shù)主要分四大類：白內(nèi)障、視網(wǎng)膜疾病、青光眼和外傷。附錄中給出了2008年7月13日至2008年9月11日這段時間里各類病人的情況。 白內(nèi)障手術(shù)較簡單，而且沒有急癥。目前該院是每周一、三做白內(nèi)障手術(shù)，此類病人的

2、術(shù)前準備時間只需1、2天。做兩只眼的病人比做一只眼的要多一些，大約占到60%。如果要做雙眼是周一先做一只，周三再做另一只。 外傷疾病通常屬于急癥，病床有空時立即安排住院，住院后第二天便會安排手術(shù)。 其他眼科疾病比較復雜，有各種不同情況，但大致住院以后2-3天內(nèi)就可以接受手術(shù)，主要是術(shù)后的觀察時間較長。這類疾病手術(shù)時間可根據(jù)需要安排，一般不安排在周一、周三。由于急癥數(shù)量較少，建模時這些眼科疾病可不考慮急癥。 該醫(yī)院眼科手術(shù)條件比較充分，在考慮病床安排時可不考慮手術(shù)條件的限制，但考慮到手術(shù)醫(yī)生的安排問題，通常情況下白內(nèi)障手術(shù)與其他眼科手術(shù)（急癥除外）不安排在同一天做。當前該住院部對全體非急癥病人是

3、按照FCFS（First come, First serve）規(guī)則安排住院，但等待住院病人隊列卻越來越長，醫(yī)院方面希望你們能通過數(shù)學建模來幫助解決該住院部的病床合理安排問題，以提高對醫(yī)院資源的有效利用。,3,“眼科病床的合理安排”賽題,問題一：試分析確定合理的評價指標體系，用以評價該問題的病床安排模型的優(yōu)劣。 問題二：試就該住院部當前的情況，建立合理的病床安排模型，以根據(jù)已知的第二天擬出院病人數(shù)來確定第二天應該安排哪些病人住院。并對你們的模型利用問題一中的指標體系作出評價。 問題三：作為病人，自然希望盡早知道自己大約何時能住院。能否根據(jù)當時住院病人及等待住院病人的統(tǒng)計情況，在病人門診時即告知其

4、大致入住時間區(qū)間。 問題四：若該住院部周六、周日不安排手術(shù)，請你們重新回答問題二，醫(yī)院的手術(shù)時間安排是否應作出相應調(diào)整? 問題五：有人從便于管理的角度提出建議，在一般情形下，醫(yī)院病床安排可采取使各類病人占用病床的比例大致固定的方案，試就此方案，建立使得所有病人在系統(tǒng)內(nèi)的平均逗留時間（含等待入院及住院時間）最短的病床比例分配模型。,4,模型的假設(shè)與符號說明,假設(shè)1：題目所給數(shù)據(jù)是合理、正確的 假設(shè)2：視網(wǎng)膜與青光眼兩類病不考慮急癥 假設(shè)3：白內(nèi)障手術(shù)與其他眼科手術(shù)（急癥除外）不安排在同一天 假設(shè)4：該醫(yī)院眼科手術(shù)條件比較充分，在安排病床時不考慮手術(shù)條件的限制 假設(shè)5：對于問題四，假定周六和周日可

5、安排外傷手術(shù)，但不能安排其他手術(shù),5,模型的假設(shè)與符號說明,6,模型的假設(shè)與符號說明,7,問題分析（1）,此題研究的是某醫(yī)院眼科病床合理安排的數(shù)學建模問題。要對病床進行合理的安排，就要有合理的安排規(guī)則，尤其是在醫(yī)院病床不夠的時候。當前該住院部對全體非急癥病人是按照FCFS（First come, First serve）規(guī)則安排住院，這樣雖然對病人很公平，但缺乏合理性，例如根據(jù)FCFS原則，白內(nèi)障雙眼的病人可能會在星期二入院，但醫(yī)院規(guī)定“白內(nèi)障雙眼的患者在星期一做一只眼，在星期三做另一只眼”，所以該患者的術(shù)前準備時間就變?yōu)?天，而一般情況下，白內(nèi)障患者的術(shù)前準備時間只需1、2天；這樣的情況會延

6、遲其它類病人的入院時間，進而使得病人隊列越來越長。,8,問題分析（2）,在病床不夠的情況下，從醫(yī)院的角度講，醫(yī)院自然希望在多做手術(shù)的同時，減小病人占用病床的時間。為了得到合理的安排規(guī)則，首先要確定合理的評價指標體系，用此評價按該規(guī)則建立的病床安排模型的優(yōu)劣。,9,問題分析（3）,針對問題一：從病人的角度看，病人到醫(yī)院看病分為以下幾個階段:掛號看病時間即門診時間，入院，手術(shù)前的準備，手術(shù)，手術(shù)后的觀察，出院。合理的安排就是讓病人從掛號看病到出院的時間盡量的短。但根據(jù)實際情況知病人的術(shù)后觀察時間是由病情決定的，故所建立的模型只能縮短門診看病到接受手術(shù)的時間間隔即病人手術(shù)前的逗留時間，所以模型的評價

7、指標可以是病人手術(shù)前的平均逗留時間，平均術(shù)前準備時間。從醫(yī)院的角度看，我們可以將病床的周轉(zhuǎn)次數(shù)作為評價指標。由于病床的周轉(zhuǎn)次數(shù)與醫(yī)院每天出院人數(shù)是密切相關(guān)的在病床不夠的情況下，醫(yī)院每天出院的人數(shù)越多，能夠入院的病人就越多，病床周轉(zhuǎn)次數(shù)就越多，醫(yī)院的效益就越好。所以，綜合考慮病人和醫(yī)院的利益，我們把病人手術(shù)前的平均逗留時間，平均術(shù)前準備時間，平均每天出院人數(shù)作為評價指標，當前兩個指標值越小，最后一個指標值越大的時候，病床安排模型越好。,10,問題分析（4）,針對問題二：在確定病人入院規(guī)則時，要考慮以下幾點:白內(nèi)障病人只能安排在周一與周三做手術(shù)，而其它病人除外傷病人外不能在周一和周三做手術(shù)，還有不

8、同的病人的術(shù)前準備時間不一樣；使得建立的入院規(guī)則能夠讓病人的等待時間盡量短，這就可以縮短病人在醫(yī)院的時間，亦可縮短病人從門診到入院的時間。再對題給數(shù)據(jù)進行分析，得出各類病人到門診看病的統(tǒng)計規(guī)律，然后就可以以問題一的評價指標作目標函數(shù)，以安排病人入院規(guī)則為約束建立一個病床安排的多目標最優(yōu)化模型。,11,問題分析（5）,針對問題三：根據(jù)各類病人的統(tǒng)計結(jié)果，可得出每天有多少人患病以及患什么病，找出其分布規(guī)律，然后根據(jù)病人的入院規(guī)則，可以得出各類病人大致在星期幾入院，再根據(jù)術(shù)后觀察時間的統(tǒng)計規(guī)律，便可以得到病人的出院時間，從而可安排病人入院，這樣就可在病人門診時告知其大致的入院時間。,12,問題分析（

9、6）,針對問題四：同問題二一樣，以問題一的評價標準作為目標函數(shù)，建立一個病床安排的多目標最優(yōu)化模型。但由于周六、日不安排手術(shù)，會使得約束條件發(fā)生改變。 針對問題五：從便于管理的角度醫(yī)院可以根據(jù)各類病人的到達規(guī)律安排病床，故先統(tǒng)計出各類病人的到達服從什么樣的分布，再建立模型求出平均逗留時間最短時的病床分配方案，但在分配時要把外傷類除外，因外傷類病人不允許等待，故分派給外傷病人的病床必須保證每天都能滿足需入院的外傷病人，因此先分配外傷類的病床，再統(tǒng)一分配余下各類病的病床。,13,數(shù)據(jù)分析（1）,定義1 術(shù)后觀察時間指病人出院與第一次手術(shù)的時間間隔 定義2 手術(shù)前的平均逗留時間指門診到第一次手術(shù)的平

10、均時間 等待住院病人隊列越來越長的原因 因為08年7月13日-08年9月11日平均每天到門診看病的人數(shù)為8.6885人，平均每天出院人數(shù)為8.1163人。,14,數(shù)據(jù)分析（2）,各類病人的到達（病人到達時間指病人的門診時間）服從泊松分布,15,數(shù)據(jù)分析（3）,16,數(shù)據(jù)分析（4）,首先統(tǒng)計出各類病人的術(shù)后觀察時間（統(tǒng)計結(jié)果見附錄三），根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果，我們假定各類病人的術(shù)后觀察時間服從均勻分布。 外傷病人住院時間服從泊松分布 。 以上利用卡方擬合優(yōu)度檢驗驗證。,17,問題一的解答 （1）,本文研究的是某醫(yī)院眼科病床的合理安排的數(shù)學建模問題，對于病床安排模型的優(yōu)劣，不能憑人們的主觀感受進行判斷，而要

11、確定合理的評價指標體系進行判斷，為此我們確定了如下的評價指標體系：,18,問題一的解答 （2）,19,問題一的解答 （3）,20,問題二的解答,確定目標函數(shù),確定約束條件,21,問題二的解答,確定約束條件,22,問題二的解答,23,問題二的解答,多目標最優(yōu)化模型,24,問題二的解答,25,問題二的解答,模擬的流程,26,問題二的解答,27,問題二的解答,28,問題二的解答,因為20天已經(jīng)足夠確定我們需要填滿的102個排隊對象的的數(shù)據(jù)。,三個目標函數(shù)的最優(yōu)解為： 病人手術(shù)前的平均逗留時間：12.1天（越小越好） 病人平均術(shù)前準備時間：1.6722天；（越小越好） 平均每天出院人數(shù)：9人（越大越好

12、）,29,問題二的解答,結(jié)果分析,在這種分配方案下，我們發(fā)現(xiàn)與原模型的手術(shù)前的平均逗留時間：13.1519，平均術(shù)前準備時間：2.4413，平均每天出院人數(shù)：7.8605相比，并沒有太大的差別，我們認為這是在隊列沒有進入穩(wěn)定狀態(tài)時的統(tǒng)計數(shù)據(jù)造成的 。,我們認為當系統(tǒng)服務(wù)了100個顧客后，它已經(jīng)進入了穩(wěn)定狀態(tài)，又由于我們要去足夠的數(shù)據(jù)才能具有說服力，因此我們定義一個評價區(qū)間：從第100個排隊等待手術(shù)的病人到第30天結(jié)束時最后一個出院的病人。在此區(qū)間上，我們再用同樣的方法進行評價，會發(fā)現(xiàn)我們的三個評價指標值為： 病人手術(shù)前的平均逗留時間：10.311天 病人平均術(shù)前準備時間：1.6526天； 平均

13、每天出院人數(shù)：9.633人,此時我們就可以發(fā)現(xiàn)，當這個排隊系統(tǒng)在盡量趨于穩(wěn)定狀態(tài)時，它的手術(shù)前的平均逗留時間、術(shù)前準備時間、平均每天出院人數(shù)均比前邊的結(jié)果有了一定的優(yōu)化，這是由于9月12日后的20天的排隊系統(tǒng)受醫(yī)院最初的先來先服務(wù)的影響較大，而當系統(tǒng)服務(wù)了100個病人后，此時的排隊系統(tǒng)趨于穩(wěn)定，所以求得的結(jié)果較優(yōu)。 從而進一步證明我們的排隊系統(tǒng)比原有的效率更高。,30,問題三的解答,根據(jù)問題二的模型，我們已經(jīng)完全模擬出來了每位病人的入院時間、第一次手術(shù)時間、出院時間（如上表所示），所以我們可以求得排隊隊列的102人的入院時間，但是每次隨機模擬的結(jié)果均不相同，所以，我們可以通過模擬若干次，求出每

14、次每一個病人的出院時間，從中選擇一個最大值和一個最小值，將它作為病人的一個大概的入院時間的區(qū)間。我們?nèi)∧M的次數(shù)為10，下面是我們所得的一個近似的結(jié)果：,31,問題三的解答,32,問題四的解答,針對問題四我們建立了模型二。問題四與問題二的區(qū)別在于：在問題二中，醫(yī)院每天都可以安排手術(shù)，而在問題四中，只能在周一至周五安排手術(shù)（外傷每天均可安排手術(shù)）。,該模型的約束條件除了包含模型一的約束條件外，還有以下幾個： 由于白內(nèi)障手術(shù)之后安排在周一和周三，外傷手術(shù)每天都可以安排，所以周六和周日不安排手術(shù)只會影響視網(wǎng)膜和青光眼的手術(shù)安排。在模型一給出的病床安排原則下，對于視網(wǎng)膜病人和青光眼病人，將其中周三入院

15、的手術(shù)安排在同一周的周五，在周四和周五入院的手術(shù)安排在下周周二。據(jù)此，我們又建立了如下的約束條件：,33,問題四的解答,34,問題四的解答,我們按照與問題二相同的思想，按照同樣的原理進行計算機模擬（相關(guān)程序見附錄五），在這里只是改變了對于青光眼和視網(wǎng)膜疾病的分配方案：若這兩類患者在周四、周五分配入院，則他們均到下周二進行手術(shù)。,統(tǒng)計從2008年的9月12號開始后60天的隊列的長度，我們即可認為在這段時間內(nèi)的接受服務(wù)的對象達到了穩(wěn)定狀態(tài)。然后作出隊列長度的隨時間的變化圖示：如下所示：,35,問題四的解答,我們同時發(fā)現(xiàn):當我們忽略外傷病人的等待時間時，隨著時間的推移，病人的等待時間的規(guī)律如下圖所示

16、：,36,問題四的解答,在我們的分配原則下，隊列的長度不斷減小，并且有趨于穩(wěn)定的趨勢，我們可以認為此時的穩(wěn)態(tài)等待人數(shù)是60，而且，病人從就診到第一次手術(shù)的時間也有一個逐步下降的趨勢，所以因此我們認為這種分配的方案是比較合理的：據(jù)此我們可以在這種條件下求得的三個指標值： 現(xiàn)在，我們同樣取得從9月12號后的20天的一個模擬的入院安排情況，然后計算得我們定義的三個目標函數(shù)的最優(yōu)解為： 手術(shù)前的平均逗留時間：12.691天 病人平均術(shù)前準備時間：2.2191天； 平均每天出院人數(shù)：8.9人,37,問題四的解答,在這種分配方案下，我們發(fā)現(xiàn)與原模型的手術(shù)前的平均逗留時間：13.1519，平均術(shù)前準備時間：

17、2.4413，平均每天出院人數(shù)：7.8605相比，并沒有太大的差別，所以可以同樣按照問題二中的解決辦法，我們會發(fā)現(xiàn)我們的三個評價指標值為： 手術(shù)前的平均逗留時間：10.432天 病人平均術(shù)前準備時間：2.017天； 平均每天出院人數(shù)：9.1667人 此時我們就可以發(fā)現(xiàn)，當這個排隊系統(tǒng)在盡量趨于穩(wěn)定狀態(tài)時，它的各個指標均比前邊的結(jié)果有了一定的優(yōu)化，從而進一步證明我們的排隊系統(tǒng)比原有的效率更高。,38,問題五的解答,39,問題五的解答,在問題五中，有人從便于管理的角度建議 “將各類病人占用的病床數(shù)大致固定”，就此方案建立使得所有病人在系統(tǒng)內(nèi)的平均逗留時間最短的病床比例分配模型。,40,問題五的解答

18、,模型的建立,41,問題五的解答,約束條件,目標函數(shù),42,問題五的解答,單目標非線性優(yōu)化模型,43,問題五的解答,求解與結(jié)果分析,44,模型評價,模型評價,模型改進,模型推廣,我們建的模型不僅可用于醫(yī)院病床安排，也可用于其它資源的安排，還可用于諸如像試卷評價模型的其它類型的問題。,45,摘 要,本文解決的是醫(yī)院眼科病床的安排問題，現(xiàn)醫(yī)院安排病人入院的原則是先來先服務(wù)，這樣雖然公平，但缺乏合理性以致等待住院的病人隊列越來越長，為解決此問題，我們建立了三個最優(yōu)化模型。 對于問題一：我們確定了三個評價指標：手術(shù)前的平均逗留時間，平均每天出院人數(shù)，病人手術(shù)前的準備時間。然后計算出在原來先來先服務(wù)的原則下各指標值為：，。 對于問題二：我們采用優(yōu)先級原則動態(tài)地對病床進行安排。首先，統(tǒng)計初始數(shù)據(jù)，通過6SQ軟件進行分布的卡方擬合檢驗得：每類病人的到來均服從泊松分布、術(shù)后觀察時間服從均勻分布。然后，我們發(fā)現(xiàn)合理的調(diào)度方案必須使得病人的術(shù)前準備時間盡量短。因此，重新制定入院規(guī)則：外傷優(yōu)先級始終最高；其它病的優(yōu)先級隨時間的變化而變化。接著，再以三個指標為目標函數(shù)，病人入院規(guī)則為約束建立了多目標的最優(yōu)化模型，最后，根據(jù)入隊與服務(wù)時間服從的分布，用計算機隨機模擬，得到在隊列穩(wěn)定時，此規(guī)則下三個指標值為：，=9.633，；這樣手術(shù)前的平均逗留