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1、異面直線所成的角,復習:,1、異面直線的概念: 我們把_叫做異面直線,2、空間兩條直線的位置關系有且只有_種:_,3、平行公理4:_,4、等角定理:_ _,不同在任一平面內(nèi)的兩條直線,三,相交、平行、異面。,平行于同一條直線的兩直線互相平行,空間中如果兩個角的兩邊分別平行,那么這兩個角相等或互補。,其特點是既不相交也不平行,5、兩條直線所成的角是_范圍是_,問題1:正方體ABCDA1B1C1D1中,E為BC的中點,判斷直線A1C1、B1C1、C1E、C1C與直線AB的位置關系。,說明:從位置關系來看,同為異面直線,但它們的相對位置卻是不同的,說明僅用“異面”來考慮異面直線間的相對位置是不夠的。

2、,問題2:用什么來刻劃兩條異面直線的相對位置呢?,距離和角,問題3:一張紙中畫有兩條能相交的直線a、b(但交點在紙外)現(xiàn)給你一副三角板和量角器,限定不許拼接紙片,不許延長紙上的線段,問如何量出a、b所成角的大小?其理論依據(jù)是什么?,問題4:能否將上述結論推廣到空間兩直線?,b,異面直線所成角的定義: 直線a、b是異面直線,經(jīng)過空間任意一點O,分別引直線a/a,b/b,把直線a和b所成的銳角(或直角)叫直線a和b所成的角。,思考:兩條異面直線所成角的大小是否隨空間任意點O位置的不同而改變?,點O可任選,一般取特殊位置,如線段的中點或端點等。,a,b,a,O,O,O1,a,b,b1,a1,探究:,

3、(1)如果兩條平行直線中的一條與某一條直線垂直,那么,另一條直線是否也與這條直線垂直?,(2)垂直于同一條直線的兩條直線是否平行?,即ab,若ac,則bc,下面我們來探究更一般的角的問題,a,b,c,鞏固、提高,例1、在正方體ABCDA1B1C1D1中,求: (1)A1B與CC1所成的角;,D,1,分析: (1)B1B / CC1 A1BB1為A1B與CC1所成的角 在A1BB1中,A1B1=BB1; A1BB1=45o A1B與CC1所成的角為45o,-找,-證,-算,-答,鞏固、提高,例1、在正方體ABCDA1B1C1D1中,求: (1)A1B與CC1所成的角; 口答 (2) A1B1與C

4、1C所成的角; (3)A1C1與BC所成的角; (4)A1C1與D1C所成的角。,(2)A1B1B=90o,(3)A1C1B1=45o,(4)BA1C1=600,小結二:求異面直線所成的角一般要有四個步驟:,簡記為“作(找)證算答”。,(1)作圖:作(找)出所求的角及題中涉及的有關圖形等; (2)證明:證明所給圖形是符合題設要求的; (3)計算:一般是利用解三角形計算得出結果。 (4)結論。,小結一:這種求法就是利用平移將兩條異面直線轉化到同一個三角形中,通過解三角形來求解。把這種方法叫做平移法,其基本解題思路是“異面化共面,認定再計算”,,變式一: (07福建卷)如圖,在正方體ABCD-A1

5、B1C1D1中,E、F、G、H分別為AA1、AB、BB1、B1C1的中點,則異面直線EF與GH所成的角等于( ) A.45 B.60 C.90 D.120,步驟 “作(找)證算答”,A,B,C,D,A,B,C,D,1,1,1,1,E,G,F,H,解:連接A1B,BC1,A1C1 A1B / EF,BC1 / GH A1B C1為EF1與GH所成的角 在三角形A1BC1中,A1B= BC1= A1C1 A1B C1=60 異面直線EF與GH所成的角等于60,例2、在長方體ABCDA1B1C1D1中,A A1= AB = 2,AD = 1,求異面直線A1C1與BD1所成的角的余弦值。,變式2:(0

6、5福建卷)如圖,長方體ABCDA1B1C1D1中,AA1 = AB = 2,AD = 1,E、F、G分別是DD1、AB、CC1的中點,則異面直線A1E與GF所成的角是_。,變式3:在正四面體SABC中,SABC,E、F分別為SC、AB的中點,那么異面直線EF與SA所成的角等于( ) (A)30 (B)45 (C)60 (D)90,A,C,B,S,E,F,H,B,課堂小結:,1、異面直線所成角的定義、范圍及其求解。在求解中,一定要緊扣定義中點O的任意性,恰當選擇。 2、計算角的大小,要遵循“作證算答”四步驟。 3、求解異面直線所成的角的方法是“平移法”,也即“化異面為共面”,“化空間為平面”,它突出體現(xiàn)了轉化化歸的數(shù)學思想與方法。在計算的過程中,若直觀性不強,則要懂得將平面圖形單獨分離,有利于計算的直觀性。作答時要注意異面直線所成的角的范圍的約束。,課后作業(yè):,課本第48頁練習第2題。 補充: 1、空間四邊形ABCD中,PR分別是AB、CD的中點,且P

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