§1.5、向量函數(shù)的積分.ppt

1、1.5、向量函數(shù)的積分,1、體積分 設(shè)D是R3中的一個體積元V， 在V中定義的函數(shù)。 定義（體積分）：設(shè) 是V的一個分割， ，任取點 ，作和式： 當 時，若和式的極限存在，且與V的劃分與 的選取無關(guān)，則稱這個極限為 在V上的積分，記做,在R3空間， 可以表示為：,則：,體積分的計算規(guī)則：,(1) 設(shè) 為常向量， 為數(shù)量函數(shù)，則：,(2) 設(shè) 為常向量， 為向量函數(shù)，則：,(3) 設(shè) 為常向量， 為向量函數(shù)，則：,例1：設(shè)V是平面 和三個坐標平面x=0,y=0 z=0所圍的區(qū)域，求 在V上的體積分。,解： 如圖表示，則：,分別計算三個分量的積分，首先：,同理：,最后得：,2、曲面積分 設(shè)D是R3

2、中的一塊簡單、分塊光滑的空間有向曲面 ， 我們可以定義 沿 一側(cè)的積分。 定義(曲面積分)：設(shè) 在空間曲面 上有定義， 為 的任意一個分割，記 ，任取點 ，作和式： 當 時，若和式的極限存在，且與 的劃分與 的選取無關(guān)，則稱這個極限為 在 上的積分，記做,在R3空間， 可以表示為：,若 的法向量的單位向量為：,則：,所以：,例2：設(shè) 是平面 和三個坐標平面 所圍的閉曲面，求 沿 的外側(cè)的曲面 積分。,解： 如圖表示， 是分別表示三角形 OAB,OBC,OCA所圍平面， 代表ABC的 所圍三角形，則：,對于 ，z=0，dz=0，則：,同理：,對于 ，則：,而：,所以：,同理：,最后得：,例3：設(shè)

3、 是球面 ，求 沿球面外側(cè)的積分。,解：對于球面來說，其任意點 的法向分量為 所以，沿球面外側(cè)的積分為：,3、曲線積分 設(shè)l是R3中的一條簡單、分段光滑的空間有向曲線 ， 我們可以定義 在曲線 上的積分。 定義(曲線積分)：設(shè) 為空間內(nèi)由點A到點B的一條有向光滑曲 線，任取分段點 ，把 分成n個有向 線段，定義 ，記 ，任取點 ，作和 當 ，和式的極限存在且和曲線的劃分與 的 選取無關(guān)，則稱這個極限為 沿曲線 的曲線積分，記作,在R3空間， 可以表示為：,若 的法向量的單位向量為：,則：,所以：,例4：設(shè) 為平面 與三個坐標平面的交線所圍的 閉曲線，曲線方向如圖所示，求函數(shù) 沿曲線正向的積分。,解： 由 圍成，,同理：,最后得：,對于 ，z=0，dz=0，則：,4、Gauss公式和Stokes公式,Gauss公式：設(shè)空間曲面 是分片光滑的雙側(cè)閉曲面，其內(nèi)部 區(qū)域記為 ，設(shè)函數(shù) 在 和 上連續(xù)，在 內(nèi)具有一階偏導(dǎo)數(shù)，則：,Stokes公式：設(shè)空間曲面 是光滑的有界曲面，其邊界l是一條 分段光滑的閉曲線，設(shè)函數(shù) 在 和l上連續(xù)，在 上具有一階偏導(dǎo)數(shù)，則：