第四章-二階偏微分方程與分離變量法.ppt

1、化學(xué)工程問題的建模和分析方法，第4章：二階偏微分方程和分離變量法1。二階方程的分類2。分離變量法。特征值理論4。特殊功能的應(yīng)用。典型問題分析。第四章是二階偏微分方程的概述，它是化工中常見的偏微分方程對流擴(kuò)散反應(yīng)方程：求通解和確定初始積分常數(shù)；一階偏微分方程：求通解并將初值設(shè)為任意函數(shù)；二階偏微分方程：由問題確定求解方法。第四章二階偏微分方程概述。當(dāng)二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)占優(yōu)勢時，一般采用以下兩種方法求解分離變量法：適用于有限的空間區(qū)域；積分變換法：適用于無限空間區(qū)域；均化為常微分方程。第四章二階偏微分方程的分類，第一章二階偏微分方程的分類，第四章二階偏微分方程的分類，通過線性代數(shù)，特征二次型可以通過線性變

2、換變成對角型，第四章二階偏微分方程的分類，當(dāng)b2ac=0時，第二方程稱為橢圓方程，曲線為拋物線，當(dāng)b2 ac0時，方程稱為拋物線方程，曲線為雙曲線，方程稱為雙曲方程， 第四章二階偏微分方程的分類，標(biāo)準(zhǔn)形式：橢圓型方程拋物型方程雙曲型方程、第四章二階偏微分方程拋物型方程熱傳導(dǎo)方程描述不可逆發(fā)展和演化； 雙曲方程波動方程描述可逆雙向波。第四章二階偏微分方程的分類，初邊值問題(柯西問題)混合邊值問題的定解問題的表述，第四章二階偏微分方程的分離變量法，第二章二階偏微分方程的分離變量法探討問題1的變量分離形式的解的例子分離變量，得到X(x)的非零解，通過調(diào)整參數(shù)的值、 第四章二階偏微分方程分離變量的方法

3、)當(dāng)0時，方程的通解c1=c2=0，即(x)0時，方程的通解c1=c2=0當(dāng)0時，方程的通解有以下形式：邊界條件X(0)=0稱為c1=0，然后sin=0是必要的，以便有一個非零解c20，從而確定參數(shù)，第四章二階偏微分方程的變量分離方法，從而得到第四章二階偏微分方程的分離變量法，例2矩形區(qū)域的拉普拉斯方程，圓區(qū)域的拉普拉斯方程，第四章二階偏微分方程的分離變量法解決了特征值問題。第四章是二階偏微分方程的變量分離法。概述：變量分離法1。假設(shè)變量分離解2。推導(dǎo)和解決特征值問題3。疊加成系列，以滿足初始或邊界值關(guān)鍵問題。特征值問題可以通過調(diào)整不確定參數(shù)得到齊次方程的非零解嗎？二階偏微分方程的分離變量法第

4、4章，第3節(jié)分離變量法非齊次方程和邊界條件：均勻化和展開1。非齊次邊值問題的處理：疊加邊值問題的特解，第四章二階偏微分方程的齊次化第四章分離變量二階偏微分方程分離變量的方法，因此，將w(x，t)的齊次邊值問題等值的關(guān)鍵是疊加的特解v(x)應(yīng)同時滿足邊值和原微分方程，使等值后的問題最簡單。在第四章中，二階偏微分方程分離變量法，在例2中，第四章中的二階偏微分方程分離變量法求解環(huán)形區(qū)域的熱傳導(dǎo)方程(p207)。第4、2章二階偏微分方程的變量分離法。非齊次方程的處理：通過級數(shù)展開很難直接分離變量，但所有函數(shù)都可以根據(jù)特征函數(shù)展開。第四章二階偏微分方程的分離變量法綜述：分離變量的關(guān)鍵特征函數(shù)級數(shù)展開問題

5、特征函數(shù)的存在性？特征函數(shù)的正交性？特征函數(shù)的完整性？在一般情況下，有必要給出一個理論上的答案。第四章，二階偏微分方程的分離變量法，分離變量法的歷史發(fā)展，1700年代弦振動方程的三角函數(shù)試探解(Tayler)，18001900傅立葉法求解無窮級數(shù)中的特征值問題傅立葉級數(shù)理論傅立葉變換1800奇異值理論特殊函數(shù)在分離變量法基礎(chǔ)上的應(yīng)用，二階偏微分方程的特征值理論第四章，特征值問題1。正交傅立葉展開的定義、第四章二階偏微分方程的特征值理論，2。特征值理論定理1有無窮多個實(shí)特征值定理2當(dāng)q(x)0時，所有特征值非負(fù)定理3有不同的對應(yīng)特征函數(shù)，權(quán)重為(x)正交定理4任何函數(shù)f (x)都可以展開成一系列

6、的特征函數(shù)yn(x)，二階偏微分方程的特征值理論在第四章中說明1。本征值方程是一般的；2.這四個定理只回答了特征函數(shù)的存在性、正交性和完整性，從而可以判斷變量分離法的可行性并給出解的結(jié)構(gòu)。但沒有給出特征值方程的求解方法。第四章二階偏微分方程的特殊函數(shù)，5特殊函數(shù)的應(yīng)用1。在第四章中，極坐標(biāo)系統(tǒng)和貝塞爾函數(shù)構(gòu)成了二階偏微分方程的特殊函數(shù)，并判斷特征值的存在和特征函數(shù)Rn(r)解是由第四章中二階偏微分方程的正交性、J0和Y0分別是第一類和第二類貝塞爾函數(shù)、第四章二階偏微分方程的特征值理論2.球坐標(biāo)系和Legendre函數(shù)問題將球域內(nèi)的穩(wěn)態(tài)傳熱和傳質(zhì)變量分開，從而在第四章得到了二階偏微分方程的特征值

7、理論。特征值問題是H，變換是x=cos，它被變換成Leg勒讓德方程的解是無窮級數(shù)。如果邊界是有限的，相應(yīng)的特征函數(shù)必須是第四章二階偏微分方程的特征值理論的勒讓德多頂公式。因此，問題的分離變量解是系數(shù)B0和由邊界條件決定。第四章二階偏微分方程的特征值理論、二階偏微分方程的典型問題，1。球形催化劑顆粒的瞬態(tài)響應(yīng)成為一致的邊值問題，從而、在第四章中，求解了二階偏微分方程的典型問題，然后將第四章中的二階偏微分方程的典型問題、轉(zhuǎn)化為特征值問題。第4、2章中二階偏微分方程的典型問題。管式反應(yīng)器的動態(tài)行為問題第四章中二階偏微分方程的典型問題是歸一化邊值問題，v(x)是固定床反應(yīng)器的穩(wěn)態(tài)解。齊次邊值問題將變量w=X(x)T(t)分開，得到特征值問題，這是第四章中二階偏微分方程的典型問題。歸結(jié)為SturmLiouville型方程非零解Xn(x)的存在性和加權(quán)exp(-Pex)的正交性。為了得到非零解，本征函數(shù)需要第四章中二階偏微分方程的典型問題，因此本征值可以由x=1時的邊界條件確定。第四章是二階偏微分方