高斯公式通量與散.ppt

1、,第六節(jié),Green 公式,Gauss 公式,推廣,一、高斯公式,*二、沿任意閉曲面的曲面積分為零的條件,三、通量與散度,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,高斯公式 通量與散度,第十章,一、高斯 ( Gauss ) 公式,定理1. 設(shè)空間閉區(qū)域 由分片光滑的閉曲, 上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù) ,下面先證:,函數(shù) P, Q, R 在,面 所圍成, 的方向取外側(cè),則有,(Gauss 公式),高斯 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,證明: 設(shè),為XY型區(qū)域 ,則,定理1 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,所以,若 不是 XY型區(qū)域 ,則可引進(jìn)輔助面,將其分割成若干個 XY型區(qū)域,故上式仍成立 .,正反兩側(cè)面積分

2、正負(fù)抵消,在輔助面,類似可證,三式相加, 即得所證 Gauss 公式：,定理1 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例1. 用Gauss 公式計算,其中 為柱面,閉域 的整個邊界曲面的外側(cè).,解: 這里,利用Gauss 公式, 得,原式 =,(用柱坐標(biāo)),及平面 z = 0 , z = 3 所圍空間,思考: 若 改為內(nèi)側(cè), 結(jié)果有何變化?,若 為圓柱側(cè)面(取外側(cè)) , 如何計算?,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例2. 利用Gauss 公式計算積分,其中 為錐面,解: 作輔助面,取上側(cè),介于 z = 0 及,z = h 之間部分的下側(cè).,所圍區(qū)域為,則,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,利用重

3、心公式, 注意,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例3.,設(shè) 為曲面,取上側(cè), 求,解:,作取下側(cè)的輔助面,用柱坐標(biāo),用極坐標(biāo),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,在閉區(qū)域 上具有一階和,二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 證明格林( Green )第一公式,例4. 設(shè)函數(shù),其中 是整個 邊界面的外側(cè).,分析:,高斯公式,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,證:令,由高斯公式得,移項即得所證公式.(見 P171),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,*二、沿任意閉曲面的曲面積分為零的條件,1. 連通區(qū)域的類型,設(shè)有空間區(qū)域 G ,若 G 內(nèi)任一閉曲面所圍成的區(qū)域全屬于 G,則稱 G,為空間二維單連通域 ;,若

4、 G 內(nèi)任一閉曲線總可以張一片全屬于 G 的曲面,則稱 G 為空間一維單連通域 .,例如,球面所圍區(qū)域,環(huán)面所圍區(qū)域,立方體中挖去一個小球所成的區(qū)域,不是二維單連通區(qū)域 .,既是一維也是二維單連通區(qū)域 ;,是二維但不是一維單連通區(qū)域 ;,是一維但,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2. 閉曲面積分為零的充要條件,定理2.,在空間二維單,連通域G內(nèi)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),為G內(nèi)任一閉曲面,則,證: “充分性”.,根據(jù)高斯公式可知是的充分條件.,的充要條件是:,“必要性”. 用反證法.,已知成立,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,因P, Q, R 在G內(nèi)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù) ,則存在鄰域,則由高斯公

5、式得,與矛盾,故假設(shè)不真.,因此條件是必要的.,取外側(cè),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,三、通量與散度,引例.,設(shè)穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的密度為1,速度場為,理意義可知,設(shè) 為場中任一有向曲面,單位時間通過曲面 的流量為,則由對坐標(biāo)的曲面積分的物,由兩類曲面積分的關(guān)系, 流量還可表示為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,若 為方向向外的閉曲面,當(dāng) 0 時,說明流入 的流體質(zhì)量少于,當(dāng) 0 時,說明流入 的流體質(zhì)量多于流出的,則單位時間通過 的流量為,當(dāng) = 0 時,說明流入與流出 的流體質(zhì)量相等 .,流出的,表明 內(nèi)有泉;,表明, 內(nèi)有洞 ;,根據(jù)高斯公式, 流量也可表為,機動 目錄 上

6、頁 下頁 返回 結(jié)束,方向向外的任一閉曲面 ,記 所圍域為,設(shè) 是包含點 M 且,為了揭示場內(nèi)任意點M 處的特性,在式兩邊同除以 的體積 V,并令 以,任意方式縮小至點 M,則有,此式反應(yīng)了流速場在點M 的特點:,其值為正,負(fù)或 0,分別反映在該點有流體涌出, 吸入, 或沒有任何變化.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,定義:,設(shè)有向量場,其中P, Q, R 具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù), 是場內(nèi)的一片有向,則稱,曲面,有向曲面 的通量(流量) .,在場中點 M(x, y, z) 處,divergence,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,表明該點處有正源,表明該點處有負(fù)源,表明該點處無源,散度絕對

7、值的大小反映了源的強度.,例如, 勻速場,故它是無源場.,P16 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,說明:,由引例可知, 散度是通量對體積的變化率, 且,*例5.,置于原點, 電量為 q 的點電荷產(chǎn)生的場強為,解:,計算結(jié)果與僅原點有點電荷的事實相符.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,內(nèi)容小結(jié),1. 高斯公式及其應(yīng)用,公式:,應(yīng)用:,(1) 計算曲面積分,(非閉曲面時注意添加輔助面的技巧),(2) 推出閉曲面積分為零的充要條件:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2. 通量與散度,設(shè)向量場,P, Q, R, 在域G內(nèi)有一階 連續(xù),偏導(dǎo)數(shù),則,向量場通過有向曲面 的通量為,G 內(nèi)任意點處的散度

8、為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,思考與練習(xí),所圍立體,判斷下列演算是否正確?,(1),(2), 為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,作業(yè),P174 1 (2), (4), (5); 2(2) ; 3; 4,第七節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,備用題 設(shè) 是一光滑閉曲面,所圍立體 的體, 是 外法線向量與點 ( x , y , z ) 的向徑,試證,證: 設(shè) 的單位外法向量為,則,的夾角,積為V,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,高斯(1777 1855),德國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和物理學(xué)家,是與阿基米德, 牛頓并列的偉大數(shù)學(xué)家,他的數(shù)學(xué)成就遍及各個領(lǐng)域 ,在數(shù)論、,級數(shù)、復(fù)變函數(shù)及橢圓函數(shù)論等方面