立體幾何總復(fù)習(xí)總結(jié)課件.ppt

1、,第一節(jié) 空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖,第九單元 立體幾何,基礎(chǔ)梳理,1. 多面體 (1)有兩個(gè)面互相平行,其余各面都是四邊形,并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行,由這些面所圍成的多面體叫做棱柱. (2)有一個(gè)面是多邊形,其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形,由這些面所圍成的多面體叫做棱錐. (3)用一個(gè)平行于棱錐底面的平面截棱錐,底面和截面之間的這部分多面體叫做棱臺(tái).,2. 旋轉(zhuǎn) (1)以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱. (2)以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體體叫做圓錐. (3)以半圓的直徑所在的

2、直線為旋轉(zhuǎn)軸,將半圓旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體,簡稱球. 3. 三視圖和直觀圖 (1)三視圖是從一個(gè)幾何體的正前方、正左方、正上方三個(gè)不同的方向看這個(gè)幾何體,描繪出的圖形,分別稱為正視圖、側(cè)視圖、俯視圖. (2)三視圖的排列順序:先畫正視圖,俯視圖放在正視圖的下方,側(cè)視圖放在正視圖的右方. (3)三視圖的三大原則:長對正、高平齊、寬相等.,(4)水平放置的平面圖形的直觀圖的斜二測畫法： 在已知圖形中,取互相垂直的x軸和y軸,兩軸相交于點(diǎn)O,畫直觀圖時(shí),把它們畫成對應(yīng)的x軸和y軸,兩軸相交于O,且使xOy=45(或135),用它們確定的平面表示水平面. 已知圖形中平行于x軸或y軸的線段,在直觀

3、圖中,分別畫成平行于x軸或y軸的線段. 已知圖形中平行于x軸的線段,在直觀圖中保持原長度不變；平行于y軸的線段,在直觀圖中長度變?yōu)樵瓉淼囊话?,典例分析,題型一 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,【例1】根據(jù)下列對幾何體結(jié)構(gòu)特征的描述,說出幾何體的名稱. (1)由八個(gè)面圍成,其中兩個(gè)面是互相平行且全等的正六邊形,其他各面都是矩形; (2)一個(gè)等腰梯形繞著兩底邊中點(diǎn)的連線所在的直線旋轉(zhuǎn)180形成的封閉曲面所圍成的圖形; (3)一個(gè)直角梯形繞較長的底邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面所圍成的幾何體.,分析 要判斷幾何體的類型,從各類幾何體的結(jié)構(gòu)特征入手，以柱、錐、臺(tái)的定義為依據(jù)，把復(fù)雜的幾何體分割成幾個(gè)簡單的幾何

4、體.,解 (1)如圖1所示,該幾何體滿足有兩個(gè)面平行,其余六個(gè)面都是矩形,可使每相鄰兩個(gè)面的公共邊都互相平行,故該幾何體是正六棱柱. (2)如圖2所示,等腰梯形兩底邊中點(diǎn)的連線將梯形平分為兩個(gè)直角梯形,每個(gè)直角梯形旋轉(zhuǎn)180形成半個(gè)圓臺(tái),故該幾何體為圓臺(tái). (3)如圖3所示,由梯形ABCD的頂點(diǎn)A引AOCD于O點(diǎn),將直角梯形分為一個(gè)直角三角形AOD和矩形AOCB,繞CD旋轉(zhuǎn)一周形成一個(gè)組合體,該組合體由一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱組成. 圖1 圖2 圖3,學(xué)后反思 對于不規(guī)則的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)問題,要對原平面圖形作適當(dāng)?shù)姆指?再根據(jù)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行判斷.,解析 (1)是一個(gè)四棱柱和一個(gè)四棱

5、錐組成的,它有9個(gè)面,9個(gè)頂點(diǎn),16條棱.(2)是由一個(gè)四棱臺(tái)、一個(gè)四棱柱和一個(gè)球組成的,其主要結(jié)構(gòu)特征就是相應(yīng)四棱臺(tái)、四棱柱和球的結(jié)構(gòu)特征.,題型二 柱、錐、臺(tái)中的計(jì)算問題 【例2】正四棱臺(tái)的高是17 cm,兩底面邊長分別是4 cm和16 cm,求棱臺(tái)的側(cè)棱長和斜高.,分析 求棱臺(tái)的側(cè)棱長和斜高的關(guān)鍵是找到相關(guān)的直角梯形,然后構(gòu)造直角三角形,解決問題.,解 如圖所示,設(shè)棱臺(tái)的兩底面的中心分別是 、O, 和BC的中點(diǎn)分別是 和E,連接 、 、 、OB、 、OE,則四邊形 和 都是直角梯形. =4 cm,AB=16 cm, =2 cm,OE=8 cm, =2 cm,OB=8 cm, =19 cm

6、, 棱臺(tái)的側(cè)棱長為19 cm,斜高為 cm.,學(xué)后反思 （1）把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題去解是解決立體幾何問題的常用方法. （2）找出相關(guān)的直角梯形，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵，正棱臺(tái)中許多元素都可以在直角梯形中求出.,舉一反三 2. （2009上海）若等腰直角三角形的直角邊長為2，則以一直角邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所成的幾何體的體積是_.,解析 如圖，等腰直角三角形旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體為圓錐. V= Sh= h= 2= .,答案,流連染紫旳憫看，熟悉旳風(fēng)景用生命回憶從前聆聽爾伈鋼琴上的芭蕾 *燭光里的愿思念幻化成海?；寄顬樾?。純純的記憶微笑的、側(cè)臉蒲公英的夢想 -我在地獄仰望天堂花開似水破曉前身

7、居夢海倒流時(shí)光 往返流年半顆心的暖下一個(gè)轉(zhuǎn)角左拐地平線、無際。落日夕陽一個(gè)人丶聽歌c。半盞流年如花的旋律微光傾城丅站_戀愛黎明前的安靜天空內(nèi)抹藍(lán)漫步云海澗遙望地平線盡頭春日夕后那縷艷陽。月色下肆無忌憚的淺談寂寞嘚街道美得5傾斜定格。那瞬間月、很美一米陽光安靜的照耀潮起潮落最后一抹陽光陽光溫暖空屋仰望丶那一縷微光紫風(fēng)鈴、搖曳著回憶草尖上的花淚陽光透過窗臺(tái)溫存一曲女人花栺簡哋悇煙-影子海消失后魚死了”彩虹指間de噯時(shí)光在唱歌約好的以后。路過你的時(shí)光深淵的那支花漫步巴黎生命在聆聽灬時(shí)空轉(zhuǎn)角、盛夏落幕爾氵曼埗殘陽且聽、風(fēng)鈴聆聽、你呼吸的旋律飛舞的頭發(fā)夜涼如水 紫色的彩虹等待繁華能開滿天際張望的時(shí)光夾縫

8、的瑰麗黑、魅惑輕輕的想念微笑恍若陽光燦爛,題型三 三視圖與直觀圖 【例3】螺栓是由棱柱和圓柱構(gòu)成的組合體,如下圖,畫出它的三視圖.,分析 螺栓是棱柱、圓柱組合而成的，按照畫三視圖的三大原則“長對正，高平齊，寬相等”畫出.,解 該物體是由一個(gè)正六棱柱和一個(gè)圓柱組合而成的,正視圖反映正六棱柱的三個(gè)側(cè)面和圓柱側(cè)面,側(cè)視圖反映正六棱柱的兩個(gè)側(cè)面和圓柱側(cè)面,俯視圖反映該物體投影后是一個(gè)正六邊形和一個(gè)圓(中心重合).它的三視圖如下圖:,學(xué)后反思 在繪制三視圖時(shí),若相鄰兩物體的表面相交,表面的交線是它們的分界線,在三視圖中,分界線和可見輪廓線都用實(shí)線畫出.例如上圖中,表示上面圓柱與下面棱柱的分界線是正視圖中

9、的線段AB、側(cè)視圖中的線段CD以及俯視圖中的圓.,舉一反三 3. (2008廣東)將正三棱柱截去三個(gè)角(如圖1所示,A、B、C分別是GHI三邊的中點(diǎn))得到幾何體如圖2,則該幾何體按圖2所示方向的側(cè)視圖為 ( ),解析 由正三棱柱的性質(zhì)得,側(cè)面AED底面EFD,則側(cè)視圖必為直角梯形,且線段BE在梯形內(nèi)部. 答案 A,題型四幾何體的直觀圖 【例4】(12分)用斜二測法畫出水平放置的等腰梯形的直觀圖.,分析 畫水平放置的直觀圖應(yīng)遵循以下原則: (1)坐標(biāo)系中xOy=45; (2)橫線相等,即AB=AB,CD=CD; (3)豎線是原來的 ,即OE= OE.,畫法 (1)如圖1,取AB所在直線為x軸,A

10、B中點(diǎn)O為原點(diǎn),建立直角坐標(biāo)系,.3 畫對應(yīng)的坐標(biāo)系xOy,使xOy=45.5 (2)以O(shè)為中點(diǎn)在x軸上取AB=AB,在y軸上取OE= OE,以E為中點(diǎn)畫CDx軸,并使CD=CD10 (3)連接BC、DA,所得的四邊形ABCD就是水平放置的等腰梯形ABCD的直觀圖,如圖2.12 圖1 圖2,學(xué)后反思 在原圖形中要建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，一般取圖形中的某一橫線為x軸，對稱軸為y軸，或取兩垂直的直線為坐標(biāo)軸，原點(diǎn)可建在圖形的某一頂點(diǎn)或?qū)ΨQ中心、 中點(diǎn)等.坐標(biāo)系建得不同，但畫法規(guī)則不變，關(guān)鍵是畫出平面圖形中相對應(yīng)的頂點(diǎn).,舉一反三 4. 如圖所示，矩形OABC是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中OA

11、=6 cm，OC=2 cm，則原圖形是 （） A. 正方形 B. 矩形 C. 菱形 D. 一般的平行四邊形,解析 在直觀圖中，平行于x軸的邊的長度不變，平行于y軸的邊 的長度變?yōu)樵瓉淼?，原圖中，OA=6 cm,OD=4 cm， OC=6 cm,BC=AB=6 cm，原圖形為菱形. 答案 C,易錯(cuò)警示,【例】畫出如圖1所示零件的三視圖.,錯(cuò)解 圖1的零件可看做是一個(gè)半圓柱、一個(gè)柱體、一個(gè)圓柱的組合,其三視圖如圖2. 圖1 圖2,錯(cuò)解分析 錯(cuò)誤原因是圖中各視圖都沒有畫出中間的柱體和圓柱的交線，畫圖時(shí)應(yīng)畫出其交線.,正解,考點(diǎn)演練,10. （2010濰坊模擬）如圖，已知正四棱臺(tái)ABCD- 的上底面

12、邊長為1，下底面邊長為2，高為1，則線段 的長是_.,解析 連接上底面對角線 的中點(diǎn) 和下底面 BD的中點(diǎn)O，得棱臺(tái)的高 ，過點(diǎn) 作 的平 行線交BD于點(diǎn)E，連接CE.在BCE中，由BC=2， BE= ,CBE=45，利用余弦定理可得 CE= ，故在Rt 中易得 答案,11. 圓臺(tái)的兩底面半徑分別為5 cm和10 cm,高為8 cm,有一個(gè)過圓臺(tái)兩母線的截面,且上、下底面中心到截面與兩底面交線的距離分別為3 cm和6 cm,求截面面積.,解析 如圖所示截面ABCD,取AB中點(diǎn)F,CD中點(diǎn)E,連接OF, ， EF, ,OA,則 為直角梯形,ABCD為等腰梯形,EF為梯形ABCD的高, 在直角梯形

13、 中, （cm）， 在Rt 中， （cm）, 同理, （cm）,12. 圓臺(tái)的一個(gè)底面周長是另一個(gè)底面周長的3倍,軸截面的面積等于392 ,母線與軸的夾角是45,求這個(gè)圓臺(tái)的高、母線長和兩底面半徑.,解析 圓臺(tái)的軸截面如圖所示,設(shè)圓臺(tái)上、下底面半徑分別為x cm,3x cm.延長 交 的延長線于S,在RtSOA中,ASO=45,則 SAO=45, SO=AO=3x, =x， =2x, 又 ,x=7. 故圓臺(tái)的高 =14 cm,母線長 = =14 cm, 兩底面半徑分別為7 cm,21 cm.,第二節(jié) 空間幾何體的表面積與體積,基礎(chǔ)梳理,1. 柱體、錐體、臺(tái)體的側(cè)面積,就是各側(cè)面面積之和；表面積

14、是各個(gè)面的面積之和,即側(cè)面積與底面積之和. 2. 把柱體、錐體、臺(tái)體的面展開成一個(gè)平面圖形,稱為它的展開圖,它的表面積就是展開圖的面積. 3. 圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積及表面積,4. 柱、錐、臺(tái)體的體積 這是柱體、錐體、臺(tái)體統(tǒng)一計(jì)算公式,特別地，圓柱、圓錐、圓臺(tái)還可以分別寫成: 5. 球的體積及球的表面積 設(shè)球的半徑為R,典例分析,題型一 幾何體的表面積問題 【例1】已知一個(gè)正三棱臺(tái)的兩底面邊長分別為30 cm和20 cm,且其側(cè)面積等于兩底面面積之和,求棱臺(tái)的高.,分析 要求正棱臺(tái)的高，首先要畫出正棱臺(tái)的高，使其包含在某一個(gè)特征直角梯形中，轉(zhuǎn)化為平面問題，由已知條件列出方程，求解所需的幾何元

15、素.,解 如圖所示,正三棱臺(tái)ABC- 中,O、 分別為兩底面中心,D、 分別為BC和 中點(diǎn),則 為棱臺(tái)的斜高. 設(shè) =20,AB=30,則OD=5 , = , 由 ,得 在直角梯形 中, 棱臺(tái)的高為4 cm.,學(xué)后反思 (1)求解有關(guān)多面體表面積的問題,關(guān)鍵是找到其特征幾何圖形,解決旋轉(zhuǎn)體的表面積問題,要利用好旋轉(zhuǎn)體的軸截面及側(cè)面展開圖. （2）借助于平面幾何知識(shí),利用已知條件求得所需幾何要素.,舉一反三 1. 圓臺(tái)側(cè)面的母線長為2a,母線與軸的夾角為30,一個(gè)底面的半徑是另一個(gè)底面半徑的2倍.求兩底面的半徑與兩底面面積之和.,解析 如圖,設(shè)圓臺(tái)上底面半徑為r,則下底面半徑為2r,ASO=30

16、, 在RtSOA中, =sin 30,SA=2r. 在RtSOA中, =sin 30,SA=4r. SA-SA=AA,即4r-2r=2a,r=a. 圓臺(tái)上底面半徑為a,下底面半徑為2a,兩底面面積之和為 .,題型二 幾何體的體積問題,【例2】已知四棱臺(tái)兩底面均為正方形，邊長分別為4 cm，8 cm，側(cè)棱長為8 cm，求它的側(cè)面積和體積.,分析 由題意知,需求側(cè)面等腰梯形的高和四棱臺(tái)的高,然后利用平面圖形面積公式和臺(tái)體體積公式求得結(jié)論.,解 如圖,設(shè)四棱臺(tái)的側(cè)棱延長后交于點(diǎn)P,則PBC為等腰三角形,取BC中點(diǎn)E,連接PE交 于點(diǎn) ,則PEBC, E為側(cè)面等腰梯形的高,作PO底面ABCD交上底面于

17、點(diǎn) ,連接 、OE. 在P 和PBC中, , 為PB的中點(diǎn), 為PE的中點(diǎn). 在RtPEB中,在RtPOE中,學(xué)后反思 （1）求棱臺(tái)的側(cè)面積與體積要注意利用公式以及正棱臺(tái)中的“特征直角三角形”和“特征直角梯形”，它們是架起“求積”關(guān)系式中的未知量與滿足題設(shè)條件中幾何圖形元素間關(guān)系的“橋梁”. （2）平行于棱臺(tái)底面的截面分棱臺(tái)的側(cè)面積與體積比的問題，通常是“還臺(tái)為錐”，而后利用平行于棱錐底面的截面性質(zhì)去解.“還臺(tái)為錐”借助于軸截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，求出相關(guān)數(shù)據(jù)，進(jìn)行計(jì)算.“還臺(tái)為錐”是解決棱臺(tái)問題的重要方法和手段.,舉一反三 2. 如圖,在多面體ABCDEF中,已知四邊形ABCD是邊長

18、為1的正方形,且ADE、BCF均為正三角形,EFAB,EF=2,則該多面體的體積為 .,解析 如圖,分別過A、B作EF的垂線,垂 足分別為G、H,連接DG、CH,易求得 EG=HF= ,AG=GD=BH=HC= , 答案,題型三 組合體的體積和表面積問題 【例3】(12分)如圖,在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2,DAB=60,E為AB的中點(diǎn),將ADE與BEC分別沿ED、EC向上折起,使A、B重合,求形成三棱錐的外接球的體積.,分析 易知折疊成的幾何體為棱長為1的正四面體,欲求外接球的體積，求其外接球半徑即可.,解 由已知條件知,在平面圖形中, AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1

19、.1 所以折疊后得到一個(gè)正四面體. 方法一:如圖，作AF面DEC,垂足為F,F即為DEC的中心3 取EC中點(diǎn)G,連接DG、AG,過外接球球心O作OH面AEC,則垂足H為AEC的中心.5 外接球半徑可利用OHAGFA求得. AG= ,AH= AG= ， AF= , 7,在AFG和AHO中,根據(jù)三角形相似可知, .10 外接球體積為 .12 方法二:如圖,把正四面體放在正方體中.顯然,正四面體的外接球就 是正方體的外接球.4 正四面體棱長為1, 正方體棱長為 ,.6 外接球直徑2R= ,10 R= ,體積為 12,學(xué)后反思 (1)折疊問題是高考經(jīng)?？疾榈膬?nèi)容之一,解決這類問題要注意對翻折前后線線、

20、線面的位置關(guān)系，所成角及距離加以比較.一般來說，位于棱的兩側(cè)的同一半平面內(nèi)的元素其相對位置的關(guān)系和數(shù)量關(guān)系在翻折前后不發(fā)生變化，分別位于兩個(gè)半平面內(nèi)的元素其相對位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系則發(fā)生變化;不變量可結(jié)合原圖形求證，變化量應(yīng)在折后立體圖形中求證.對某些翻折不易看清的元素，可結(jié)合原圖形去分析、計(jì)算，即將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題. （2）由方法二可知，有關(guān)柱、錐、臺(tái)、球的組合體，經(jīng)常是把正方體、長方體、球作為載體，去求某些量.解決這類問題，首先要把這些載體圖形的形狀、特點(diǎn)及性質(zhì)掌握熟練，把問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使運(yùn)算和推理變得更簡單，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想是立體幾何中一個(gè)非常重要的思想方法.,舉一反三 3. 已知正四

21、棱錐的底面邊長為a,側(cè)棱長為 a.求它的外接球的體積.,解析 設(shè)外接球的半徑為R,球心為O,則OA=OC=OS,所以O(shè)為SAC 的外心,即SAC的外接圓半徑就是外接球的半徑, AB=BC=a,AC= a, SA=SC=AC= a, SAC為正三角形. 由正弦定理,得,易錯(cuò)警示,涉及組合體問題，關(guān)鍵是正確地作出截面圖形，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面問題進(jìn)行解決，解此類問題時(shí)往往因不能正確地作出截面圖形而導(dǎo)致錯(cuò)誤.,【例】已知球的內(nèi)接正方體的體積為V，求球的表面積.,錯(cuò)解分析 過球內(nèi)接正方體的一個(gè)對角面作球的大圓截面，得到一 個(gè)矩形，矩形的對角線長為 x，不是 x.,錯(cuò)解 如圖所示，作圓的內(nèi)接正方形表

22、示正方體的截面，設(shè)正方體的棱長為x，球半徑為R，則有 =V, x=2R， 解得,正解 如圖所示，過正方體的對角面作球的大圓截面，設(shè)正方體的棱長為x，球半徑為R,則有 =V, x=2R， 解得,考點(diǎn)演練,10. （2009遼寧）設(shè)某幾何體的三視圖如下（長度單位為m）： 求該幾何體的體積.,解析 三視圖所對應(yīng)的立體圖形如圖所示.由題意可得平面 PAC平面ABC， V= 432=4( ).,11. 如圖，一個(gè)三棱柱形容器中盛有水，且側(cè)棱 =8.若側(cè)面 水平放置時(shí)，液面恰好過AC、BC、 、 的中點(diǎn).當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí)，液面高為多少？,解析 當(dāng)側(cè)面 水平放置時(shí)，水的 形狀為四棱柱形，底面ABFE為

23、梯形，設(shè) ABC的面積為S，則,當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí)，水的形狀為三棱柱形，設(shè)水面高為h，則 有 =Sh，6S=Sh,h=6. 故當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí)，液面高為6.,12. （2009廣東改編）某高速公路收費(fèi)站入口處的安全標(biāo)識(shí)墩如圖1所示.墩的上半部分是正四棱錐P-EFGH,下半部分是長方體ABCD-EFGH.圖2、圖3分別是該標(biāo)識(shí)墩的正視圖和俯視圖. （1）請畫出該安全標(biāo)識(shí)墩的側(cè)視圖； （2）求該安全標(biāo)識(shí)墩的體積. 圖1 圖2 圖3,解析 （1）側(cè)視圖同正視圖，如圖2所示. （2）該安全標(biāo)識(shí)墩的體積為,第三節(jié) 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系,基礎(chǔ)梳理,1. 平面的基本性質(zhì),2. 空間直線

24、與直線的位置關(guān)系 (1)位置關(guān)系 相交 共面 共面與否 平行 異面 一個(gè)公共點(diǎn):相交 公共點(diǎn)個(gè)數(shù) 平行 無公共點(diǎn) 異面 (2)公理4(平行公理):平行于同一直線的兩條直線互相平行. (3)定理:空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).,（4）異面直線的夾角 定義：已知兩條異面直線a、b，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O作直線aa,bb，我們把兩相交直線a、b所成的角叫做異面直線a、b所成的角（或夾角）. 范圍：（0, .特別地，如果兩異面直線所成的角是 ，我們就稱這兩條直線垂直，記作ab. 3. 空間中的直線與平面的位置關(guān)系 直線在平面內(nèi)有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn) 直線與平面相交有且只有一個(gè)公共點(diǎn)

25、直線在平面外 直線與平面平行無公共點(diǎn) 4. 平面與平面的位置關(guān)系 平行無公共點(diǎn) 相交有且只有一條公共直線,典例分析,題型一 點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系,【例1】下列命題: 空間不同三點(diǎn)確定一個(gè)平面; 有三個(gè)公共點(diǎn)的兩個(gè)平面必重合; 空間兩兩相交的三條直線確定一個(gè)平面; 三角形是平面圖形; 平行四邊形、梯形、四邊形都是平面圖形; 垂直于同一直線的兩直線平行; 一條直線和兩平行線中的一條相交,也必和另一條相交; 兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形. 其中正確的命題是_.,分析 根據(jù)公理及推論作判斷.,解 由公理2知,不共線的三點(diǎn)才能確定一個(gè)平面,所以命題、均錯(cuò),中有可能出現(xiàn)兩平面只有一條公共線(當(dāng)這三個(gè)公

26、共點(diǎn)共線時(shí));空間兩兩相交的三條直線有三個(gè)交點(diǎn)或一個(gè)交點(diǎn),若為三個(gè)交點(diǎn),則這三線共面,若只有一個(gè)交點(diǎn),則可能確定一個(gè)平面或三個(gè)平面;正確;中平行四邊形及梯形由公理2的推論及公理1可得必為平面圖形,而四邊形有可能是空間四邊形;如圖,在正方體ABCD-ABCD中,直線BBAB,BBBC,但AB與BC不平行,所以錯(cuò);ABCD,BBAB=B,但BB與CD不相交,所以錯(cuò);四邊形ADBC中,AD=DB=BC=CA,但它不是平行四邊形,所以也錯(cuò).,學(xué)后反思 平面性質(zhì)的三個(gè)公理及其推論是論證線面關(guān)系的依據(jù),在判斷過程中要注意反例和圖形的應(yīng)用.,舉一反三,1. 給出下列命題： 如果平面與平面相交,那么它們只有有

27、限個(gè)公共點(diǎn); 經(jīng)過空間任意三點(diǎn)的平面有且只有一個(gè); 如果兩個(gè)平面有三個(gè)不共線的公共點(diǎn),那么這兩個(gè)平面重合為一個(gè)平面; 不平行的兩直線必相交. 其中正確命題的序號(hào)為_.,解析 由公理3知，錯(cuò);由公理2知，錯(cuò);對;不平行的兩直線可能異面，故錯(cuò). 答案 ,題型二 證明三點(diǎn)共線,【例2】已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都不在平面內(nèi),它的三邊AB、BC、AC延長 后分別交平面于點(diǎn)P、Q、R.求證:P、Q、R三點(diǎn)在同一條直線上.,分析 要證明P、Q、R三點(diǎn)共線,只需證明這三點(diǎn)都在ABC所在的平面和平面的交線上即可.,證明 由已知條件易知, 平面與平面ABC相交. 設(shè)交線為 ,即 =面ABC. PAB,P面ABC. 又

28、PAB,P,即P為平面與面ABC的公共點(diǎn),P .同理可證, 點(diǎn)R和Q也在交線 上. 故P、Q、R三點(diǎn)共線于 .,學(xué)后反思 證明多點(diǎn)共線的方法是：以公理3為依據(jù)，先找出兩個(gè)平面的交線，再證明各個(gè)點(diǎn)都是這兩個(gè)面的公共點(diǎn)，即在交線上，則多點(diǎn)共線.或者，先證明過其中兩點(diǎn)的直線是這兩個(gè)平面的交線，然后證明第三個(gè)點(diǎn)也在交線上.同理，其他的點(diǎn)都在交線上，即多點(diǎn)共線.,舉一反三,2. 如圖，已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD(四條線段首尾相接,且連接點(diǎn)不在同一平面內(nèi),所組成的空間圖形叫空間四邊形)各邊AB、AD、CB、CD上的點(diǎn),且直線EF和GH交于點(diǎn)P,如圖所示. 求證:點(diǎn)B、D、P在同一條直線上.

29、,證明 由于直線EF和GH交于點(diǎn)P, PEF,又EF平面ABD,P平面ABD. 同理,P平面CBD. P在平面ABD與平面CBD的交線BD上, 即B、D、P三點(diǎn)在同一條直線上.,題型三 證明點(diǎn)線共面,【例3】求證:兩兩相交且不共點(diǎn)的四條直線在同一平面內(nèi).,分析 由題知，四條直線兩兩相交且不共點(diǎn)，故有兩種情況：一種是三條交于一點(diǎn)，另一種是任何三條都不共點(diǎn)，故分兩種情況證明. 要證明四線共面，先根據(jù)公理2的推論證兩條直線共面，然后再證第三條直線在這個(gè)平面內(nèi)，同理第四條直線也在這個(gè)平面內(nèi)，故四線共面.,證明 (1)如圖,設(shè)直線a,b,c相交于點(diǎn)O,直線d和a,b,c分別相交于A,B,C三點(diǎn),直線d和

30、點(diǎn)O確定平面,由O平面,A平面,O直線a,A直線a,知直線a平面.同理b平面,c平面,故直線a,b,c,d共面于. (2)如圖,設(shè)直線a,b,c,d兩兩相交,且任何三線不共點(diǎn),交點(diǎn)分別是M,N,P,Q,R,G,由直線ab=M,知直線a和b確定平面.由ac=N,bc=Q,知點(diǎn)N、Q都在平面內(nèi),故c.同理可證d,故直線a,b,c,d共面于. 由(1)、(2)可知,兩兩相交且不共點(diǎn)的四條直線必在同一平面內(nèi).,學(xué)后反思 證多線共面的方法： （1）以公理、推論為依據(jù)先證兩直線共面，然后再由公理1證第三條也在這個(gè)平面內(nèi).同理其他直線都在這個(gè)平面內(nèi). （2）先由部分直線確定平面，再由其他直線確定平面,然后證

31、明這些平面重合.,舉一反三,3. 在正方體ABCD- 中,E是AB的中點(diǎn),F是 的中點(diǎn).求證:E、F、 、C四點(diǎn)共面.,證明 如圖，連接 ,EF, . E是AB的中點(diǎn),F是 的中點(diǎn), EF . ,EF . 故E、F、 、C四點(diǎn)共面.,題型四 異面直線及其所成角的問題,【例4】(2008全國)已知正四棱錐S-ABCD的側(cè)棱長與底面邊長都相等，E是SB的中點(diǎn)，則AE、SD所成的角的余弦值為 （） A. B. C. D.,分析 通過作平行線找到AE與SD所成的角，再利用三角形求解.,解 如圖，連接AC、BD交于點(diǎn)O，連接OE.因?yàn)?OESD，所以AEO為所求.設(shè)側(cè)棱長與底面邊長都 等于2，則在AEO

32、中，OE=1，AO= ，AE= ，于是 cosAEO= .故選C.,學(xué)后反思 求異面直線所成的角的方法： （1）根據(jù)平行線定義，作出異面直線所成的角. （2）證明作出的角是異面直線所成的角. （3）在三角形內(nèi)求得直線所成角的某個(gè)三角函數(shù)值.,舉一反三,4. 在四面體A-BCD中，AB=CD，且其所成的角是60，點(diǎn)M，N分別是BC，AD的中點(diǎn).求直線AB與MN所成的角的大小.,解析 如圖，取BD中點(diǎn)E，連接NE，EM，則EN AB,EM CD, 故EMN為等腰三角形， 由條件MEN=60， EMN為等邊三角形，且ENM即為AB與MN所成的角， ENM=60.,題型五 證明三線共點(diǎn),【例5】(12

33、分)已知四面體A-BCD中,E、F分別是AB、AD的中點(diǎn),G、H 分別是BC、CD上的點(diǎn),且 .求證:直線EG、FH、AC相交于 同一點(diǎn)P.,分析 先證E、F、G、H四點(diǎn)共面，再證EG、FH交于一點(diǎn)，然后證明這一點(diǎn)在AC上.,證明E、F分別是AB、AD的中點(diǎn), EFBD且EF= BD.2 又 ,GHBD且GH= BD, EFGH且EFGH,4 四邊形EFHG是梯形,其兩腰所在直線必相交,設(shè)兩腰EG、FH的延長線相交于一點(diǎn)P,.6 EG平面ABC,FH平面ACD, P平面ABC,P平面ACD.8 又平面ABC平面ACD=AC,PAC,10 故直線EG、FH、AC相交于同一點(diǎn)P12,學(xué)后反思 證明

34、三線共點(diǎn)的方法:首先證明其中的兩條直線交于一點(diǎn)，然后證明第三條直線是經(jīng)過這兩條直線的兩個(gè)平面的交線；由公理3可知，兩個(gè)平面的公共點(diǎn)必在這兩個(gè)平面的交線上，即三條直線交于一點(diǎn).,舉一反三,5. 如圖所示,已知空間四邊形ABCD,點(diǎn)E,F,G,H,M,N分別是AB,BC,CD,DA,AC,BD的中點(diǎn).求證:三線段EG,FH,MN交于一點(diǎn),且被該點(diǎn)平分.,證明 如圖所示,連接EF,FG,GH,HE,MF,FN,NH,MH. E,F,G,H分別為AB,BC,CD,DA的中點(diǎn), EFGH,EHFG， 四邊形EFGH是平行四邊形. 設(shè)EGFH=O,則O平分EG,FH. 同理,四邊形MFNH是平行四邊形.

35、設(shè)MNFH=O,則O平分MN,FH. 點(diǎn)O,O都平分線段FH, O與O兩點(diǎn)重合， MN過EG和FH的交點(diǎn),即三線段共點(diǎn)且被該點(diǎn)平分.,易錯(cuò)警示,【例】過已知直線a外一點(diǎn)P,與直線a上的四個(gè)點(diǎn)A、B、C、D分別畫四條直線. 求證:這四條直線在同一平面內(nèi).,錯(cuò)解 P、A、B三點(diǎn)不共線, P、A、B共面,即PA、PB、AB共面, 同理,PB、PC、BC共面;PC、PD、CD共面. A、B、C、D均在直線a上, PA、PB、PC、PD四條直線在同一平面內(nèi).,錯(cuò)解分析 錯(cuò)解在證明了四條直線分別在三個(gè)平面(平面PAB、平面PBC、平面PCD)內(nèi)后,通過A、B、C、D均在a上,而認(rèn)為三個(gè)平面重合在同一個(gè)平面

36、內(nèi),這種方法是錯(cuò)誤的.錯(cuò)誤在于沒有根據(jù)地用一條直線來保證三個(gè)平面重合.,正解 過直線a及點(diǎn)P作一平面, A、B、C、D均在a上,A、B、C、D均在內(nèi). 直線PA、PB、PC、PD上各有兩點(diǎn)在內(nèi), 由公理1可知,直線PA、PB、PC、PD均在平面內(nèi),即四直線共面.,考點(diǎn)連接,10. 已知a、b為異面直線，則 經(jīng)過直線a,存在唯一平面，使b； 經(jīng)過直線a，若存在平面使ba,則唯一； 經(jīng)過直線a、b外任意一點(diǎn)，存在平面，使a且b. 上述命題中，真命題是_.（寫出真命題的序號(hào)）,解析 平移b到b，使b、a交于點(diǎn)O，則a與b確定平面為，b，唯一，故正確. a、b為異面直線，故無法確定a是否垂直于b. 如

37、圖，a平移到a，b平移到b，a、b交于點(diǎn)O，則a、b確定的平面唯一. 答案 ,11. （2010濱州質(zhì)檢）已知正方體ABCD- 的棱長為a，求異 面直線 和 所成的角.,解析 如圖所示，連接 , 異面直線 和 所成角為90.,12. 已知直線abc,直線 a=A, b=B, c=C. 求證:a、b、c、 共面.,證明 如圖，ab,a、b可以確定一個(gè)平面. 又 a=A, b=B,Aa,Bb,A,B,AB; 又A ,B , . 另一方面,bc,b、c可以確定一個(gè)平面. 同理可證, . 平面、均經(jīng)過直線b、,且b和 是兩條相交直線,它們確定的平面是唯一的, 平面與是同一個(gè)平面,a、b、c、共面.,第

38、四節(jié) 直線、平面平行的判定及其性質(zhì),1. 平行直線 (1)定義:同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線. (2)公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行. (3)線面平行的性質(zhì)定理:如果一條直線和一個(gè)平面平行,經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交,那么這條直線就和兩平面的交線平行. (4)面面平行的性質(zhì)定理:如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交,那么它們的交線平行. (5)線面垂直的性質(zhì)定理:如果兩條直線垂直于同一平面,那么這兩條直線平行. 2. 直線與平面平行 (1)定義:直線a和平面沒有公共點(diǎn),叫做直線與平面平行. (2)線面平行的判定定理:如果不在一個(gè)平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行,

39、那么這條直線和這個(gè)平面平行.,基礎(chǔ)梳理,(3)面面平行的性質(zhì):如果兩平面互相平行,那么一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個(gè)平面. 3. 平面與平面平行 (1)定義:如果兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn),那么這兩個(gè)平面叫做平行平面. (2)面面平行的判定定理:如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線平行于另一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行. (3)判定定理的推論:如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線,則這兩個(gè)平面平行. (4)線面垂直的性質(zhì):如果兩平面垂直于同一直線,則這兩個(gè)平面平行. (5)平行公理:如果兩平面平行于同一平面,則這兩個(gè)平面平行.,典例分析,題型一 線線平行,【例1】已知四邊形ABCD

40、是空間四邊形,E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn).求證:四邊形EFGH是平行四邊形.,分析 若證四邊形是平行四邊形,只需證一組對邊平行且相等或兩組對邊分別平行即可.,證明 如圖,連接BD. EH是ABD的中位線, EHBD,EH= BD. 又FG是CBD的中位線, FGBD,FG= BD. FGEH,且FG=EH, 四邊形EFGH是平行四邊形.,學(xué)后反思 若證明四邊形EFGH是平行四邊形,可有兩條途徑：一是證明兩組對邊分別平行,二是證明一組對邊平行且相等.,舉一反三,1. 已知E、 分別是正方體ABCD- 的棱AD、 的中點(diǎn).求證:BEC= .,證明 如圖,連接 . ,E分別為

41、 ,AD的中點(diǎn), 四邊形 為平行四邊形， 四邊形 是平行四邊形， EB.同理 EC. 又 與CEB方向相同， =CEB.,題型二 線面平行,【例2】如圖,正方體ABCD- 中,側(cè)面對角線 上分別有兩點(diǎn)E,F,且 .求證:EF平面ABCD.,分析 要證EF平面ABCD,方法有兩種:一是利用線面平行的判定定理,即在平面ABCD內(nèi)確定EF的平行線;二是利用面面平行的性質(zhì)定理,即過EF作與平面ABCD平行的平面.,證明 方法一:過E作EMAB于M,過F作FNBC于N,連接MN(如圖)，則EM ,FN , EMFN. AE=BF,EM=FN, 四邊形EMNF是平行四邊形,EFMN. 又EF平面ABCD,

42、MN平面ABCD, EF平面ABCD.,方法二:連接 ,并延長交BC的延長線于點(diǎn)P,連接AP(如圖). PFB,又EF平面ABCD,AP平面ABCD, EF平面ABCD.,方法三:過點(diǎn)E作EH 于點(diǎn)H,連接FH(如圖)，則EHAB, EHFH=H,平面EFH平面ABCD. EF平面EFH,EF平面ABCD.,學(xué)后反思 判斷或證明線面平行的常用方法有: (1)利用線面平行的定義(無公共點(diǎn)); (2)利用線面平行的判定定理(a,b,aba); (3)利用面面平行的性質(zhì)定理(,aa); (4)利用面面平行的性質(zhì)(,a,a,aa).,舉一反三,2. 如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,

43、E為PC中點(diǎn).求證:PA平面EDB.,證明 如圖，連接AC交BD于O,連接EO. 四邊形ABCD為正方形,O為AC中點(diǎn). E為PC中點(diǎn),OE為PAC的中位線, 故EOPA. 又EO平面EDB,PA平面EDB, PA平面EDB.,題型三 面面平行,【例3】如圖,正方體ABCD- 的棱長為1.求證:平面 平面,分析 要證明平面 平面 ,根據(jù)面 面平行的判定定理或推論，只要證明AC平 面 ， 平面 ,且AC =A即可.,證明 方法一: 四邊形 為平行四邊形,方法二:易知 和確定一個(gè) 平面 ,于是,學(xué)后反思 證明平面與平面相互平行,一般利用面面平行的判定定理或其推論,將面面平行轉(zhuǎn)化為線面平行或線線平行

44、來證明.具體方法有: (1)面面平行的定義; (2)面面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行; (3)利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行; (4)兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行; (5)利用“線線平行”、“線面平行”、“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化.,舉一反三,3. 在正方體ABCD- 中,M、N、E、F分別是棱 的中點(diǎn).求證:平面AMN平面EFDB.,證明 如圖，連接MF, M、F分別是 的中點(diǎn), 且四邊形 為正方形, 又 四邊形ADFM為平行四邊形,AMDF. 又AM平面EFDB,DF平面EFDB,AM平面EFDB. 同理可證AN平面

45、EFDB. AM,AN平面AMN,AMAN=A,平面AMN平面EFDB.,題型四 平行的探究問題,【例4】（2009銀川模擬）如圖，在四棱錐S-ABCD中，SA=AB=2，SB=SD=2 ，底面ABCD是菱形，且ABC=60，E為CD的中點(diǎn). (1)求證：CD平面SAE； (2)側(cè)棱SB上是否存在點(diǎn)F，使得CF平面SAE？并證明你的結(jié)論.,分析 （1）先利用勾股定理和線面垂直判定定理證明直線SA底面ABCD，再證明直線SACD，證明直線與平面垂直時(shí)，必須證明直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直. （2）先回答問題，再證明充分條件.探究的點(diǎn)往往是特殊點(diǎn)（中點(diǎn)）.,證明 （1）ABCD是菱形，ABC=6

46、0， AB=AC=AD=2,ACD為正三角形. 又E為CD的中點(diǎn)，CDAE. SA=AB=AD=2,SB=SD=2 ,則有 SAAB,SAAD. 又ABAD=A,SA底面ABCD,SACD. 由CDAE,SACD,AESA=A,CD平面SAE.,(2)側(cè)棱SB上存在點(diǎn)F，當(dāng)F為SB的中點(diǎn)時(shí)，使得CF平面SAE. 證明 假設(shè)側(cè)棱SB上存在點(diǎn)F，使得CF平面SAE. 不妨取SA的中點(diǎn)N，連接EN，過點(diǎn)N作NFAB,交SB于F點(diǎn)，連接CF. 則作圖知NF AB,點(diǎn)F為SB的中點(diǎn). 又CE AB，NF CE， 四邊形CENF為平行四邊形,CFEN.,又EN平面SAE，CF平面SAE，CF平面SAE.

47、即當(dāng)F為側(cè)棱SB的中點(diǎn)時(shí)，CF平面SAE.,學(xué)后反思 定理、定義是做題的依據(jù)，具備了條件，便可得到結(jié)論；條件不足，要通過題設(shè)和圖形的結(jié)構(gòu)特征、性質(zhì)去尋求，增添輔助線是解決問題的關(guān)鍵.,舉一反三,4. 長方體ABCD-ABCD，點(diǎn)PBB（不與B、B重合）， PABA=M,PCBC=N,求證：MN平面AC.,證明 如圖，連接AC,AC, ABCD-ABCD為長方體， ACAC. AC平面ACB,AC平面ACB, AC平面ACB. 又平面PAC過AC與平面ACB交于MN， MNAC. MN平面AC，AC平面AC， MN平面AC.,題型五 平行關(guān)系的綜合應(yīng)用,【例5】(12分)求證:若一條直線分別和兩

48、個(gè)相交平面平行,則這條直線必與它們的交線平行.,分析 此題可先過直線作平面分別與已知兩平面相交,由線面平行的性質(zhì)定理及公理4,可證得兩交線平行,從而進(jìn)一步證得一條交線與另一平面平行,進(jìn)而可證得結(jié)論.,證明 , ,=a.過 作平面交于b,過 作平面交于c,.3 , ,=b, b.(線面平行的性質(zhì)定理) 同理 c.5 bc.6 又c,b,b.(線面平行的判定定理).8 又b,=a, ba.(線面平行的性質(zhì)定理)10 a.(公理4).12,學(xué)后反思 把文字語言轉(zhuǎn)化成符號(hào)語言和圖形語言，過 作平面和與、得到兩條交線，利用線面平行的性質(zhì)定理及公理4可證得交線平行，從而進(jìn)一步證明一條交線與另一個(gè)平面平行，

49、進(jìn)而可證得結(jié)論.,舉一反三,5. 如圖所示,在四面體A-BCD中,截面EFGH平行于對棱AB和CD.試問:截面在什么位置時(shí),截面的面積最大?,解析 AB平面EFGH,平面EFGH與平面ABC和 平面ABD分別交于FG、EH, ABFG,ABEH,FGEH. 同理可證,EFGH. 四邊形EFGH是平行四邊形. 設(shè)AB=a,CD=b,FGH=(a、b、均為定值,其中為異面直線AB與CD所成的角),又設(shè)FG=x,GH=y, 由平面幾何知識(shí),得 兩式相加,得 ,即,x0,a-x0,且x+(a-x)=a(定值)， 當(dāng)且僅當(dāng)x=a-x,即x= 時(shí), 故當(dāng)截面EFGH的頂點(diǎn)E、F、G、H分別為棱AD、AC、

50、BC、BD的中點(diǎn)時(shí),截面 面積最大.,易錯(cuò)警示,【例】如圖所示，平面平面，點(diǎn)A,C，點(diǎn)B，D，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AB，CD上，且AEEB=CFFD.求證：EF.,錯(cuò)解 ，ACBD. 又AEEB=CFFD，EFBD. 又EF，BD，EF.,錯(cuò)解分析 上述解法的錯(cuò)誤在于未討論AB與CD是否共面，而直接把AB、CD作為共面處理，忽視異面的情況.本題中對AB、CD位置關(guān)系的討論具有一定的代表性，可見分類討論的思想在立體幾何中也多有體現(xiàn).,正解 當(dāng)AB，CD在同一平面內(nèi)時(shí)， 由，平面ABDC=AC， 平面ABDC=BD，ACBD, AEEB=CFFD,EFBD, 又EF，BD，EF.,當(dāng)AB與CD異面時(shí)

51、，如右圖所示， 設(shè)平面ACD=DH，且DH=AC. ，平面ACDH=AC，ACDH, 四邊形ACDH是平行四邊形. 在AH上取一點(diǎn)G，使AGGH=CFFD， 又AEEB=CFFD， GFHD,EGBH， 又EGGF=G，BH平面，DH平面， 平面EFG平面.EF平面EFG，EF. 綜上，EF.,考點(diǎn)演練,10. 如圖,下列四個(gè)正方體圖形中,A、B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn),M、N、P分別為其所在棱的中點(diǎn),能得出AB面MNP的圖形的序號(hào)是.(寫出所有符合要求的圖形序號(hào)),解析 圖中,MNAD,NPAC,平面MNP平面AB，AB平面MNP. 圖中,AB不平行于平面MNP(反證法).連接BE,分別交CD、M

52、P于R、Q,若AB平面MNP,則ABNQ.又由N為AE中點(diǎn),R為BE中點(diǎn)，得ABNR.在平面ABE中過點(diǎn)N有兩條直線平行于AB,與平行公理矛盾.故AB不平行于平面MNP. 圖中,AD BC,四邊形ABCD為平行四邊形， ABCD.又MPCD,ABMP，故AB平面MNP. 圖中,AB不平行于面MNP(反證法).若AB平面MNP,則ABDM.又由AD BC,得四邊形ABCD是平行四邊形,故ABCD.在平面ABCD中過點(diǎn)D有兩條直線平行于AB,與平行公理矛盾.故AB不平行于平面MNP.,答案 ,11. 已知正方體ABCD-ABCD，求證：平面ACD平面ABC.,證明 正方體ABCD-ABCD中,AD

53、BC,CDAB, 又ADCD=D,BCAB=B, 平面ACD平面ABC.,12. （2009揚(yáng)州模擬）如圖所示，已知四邊 形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)P是平面ABCD外一 點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過G和AP 作平面交平面BDM于GH.求證：APGH.,證明 連接AC，交OB于O，連接MO. OC=OA,CM=MP,OMAP. AP平面DBM，OM平面DBM， AP平面DMB, AP平面APGH，平面APGH平面DMB=GH， APGH.,第五節(jié) 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì),基礎(chǔ)梳理,1. 直線與平面垂直 (1)定義:如果直線 與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們就說直線 與平面互相

54、垂直.這條直線叫做平面的垂線,這個(gè)平面叫做直線的垂面,交點(diǎn)叫做垂足.垂線上任意一點(diǎn)到垂足間的線段,叫做這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的垂線段,垂線段的長度叫做點(diǎn)到平面的距離. (2)性質(zhì):如果一條直線垂直于一個(gè)平面,那么它就和平面內(nèi)的任意一條直線垂直. (3)判定定理:如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直,則這條直線與這個(gè)平面垂直. (4)推論:如果在兩條平行直線中,有一條垂直于一個(gè)平面,那么另一條也垂直于這個(gè)平面. (5)性質(zhì)定理:如果兩條直線垂直于同一個(gè)平面,那么這兩條直線平行.,2. 平面與平面垂直 (1)定義:一般地,兩個(gè)平面相交,如果它們所成的二面角是直二面角,就稱這兩個(gè)平面互相垂直. (2)判

55、定定理:如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的一條垂線,則這兩個(gè)平面互相垂直. (3)性質(zhì)定理:如果兩個(gè)平面互相垂直,那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面.,典例分析,題型一 線線垂直,【例1】如圖,=CD,EA,垂足為 A,EB,垂足為B,求證:CDAB.,分析 要證CDAB,只需證CD平面ABE即可.,證明 =CD,CD,CD. 又EA,CD,EACD,同理EBCD. EACD,EBCD,EAEB=E,CD平面EAB. AB平面EAB,ABCD.,學(xué)后反思 證明空間中兩直線互相垂直,通常先觀察兩直線是否共面.若兩直線共面,則一般用平面幾何知識(shí)即可證出,如勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)等.若

56、兩直線異面,則轉(zhuǎn)化為線面垂直進(jìn)行證明.,舉一反三,1. 如圖所示,四邊形ABCD為正方形,SA垂直于四邊形ABCD所在的平面,過A且垂直于SC的平面分別交SB、SC、SD于E、F、G.求證:AESB,AGSD.,證明 SA平面ABCD,BC平面ABCD,SABC. 又BCAB,SAAB=A,BC平面SAB. AE平面SAB,BCAE. SC平面AEFG,AE平面AEFG,SCAE. 又BCSC=C,AE平面SBC， AESB.同理可證AGSD.,題型二 線面垂直,【例2】如圖,P為ABC所在平面外一點(diǎn),PA平面ABC,ABC=90,AEPB于E,AFPC于F.求證: (1)BC平面PAB; (

57、2)AE平面PBC; (3)PC平面AEF.,分析 要證明線面垂直，只要證明這條直線與這個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直即可.,證明 (1)PA平面ABCPABC ABBC BC平面PAB. PAAB=A (2)AE平面PAB,由(1)知AEBC AEPB AE平面PBC. PBBC=B (3)PC平面PBC,由(2)知PCAE PCAF PC平面AEF. AEAF=A,學(xué)后反思 本題的證明過程是很有代表性的,即證明線面垂直,可先證線線垂直,而已知的線線垂直又可以產(chǎn)生有利于題目的線線垂直,在線線垂直和線面垂直的相互轉(zhuǎn)化中,平面在其中起著至關(guān)重要的作用,由于線線垂直是相互的,應(yīng)充分考慮線和線各自所在平

58、面的特征,以順利實(shí)現(xiàn)證明所需要的轉(zhuǎn)化.,舉一反三,2. 如圖所示,P是ABC所在平面外一點(diǎn),且PA平面ABC,若O、Q分別是ABC和PBC的垂心，求證:OQ平面PBC.,證明 如圖，連接AO并延長交BC于E,連接PE. PA平面ABC,BC平面ABC, PABC. 又O是ABC的垂心,BCAE. PAAE=A,BC平面PAE, BCPE,PE必過Q點(diǎn)， OQ平面PAE,OQBC. 連接BO并延長交AC于F. PA平面ABC,BF平面ABC, PABF.又O是ABC的垂心,BFAC, BF平面PAC. PC平面PAC,BFPC.,連接BQ并延長交PC于M,連接MF. Q為PBC的垂心,PCBM.BMBF=B, PC平面BFM.OQ平面BFM,OQPC. PCBC=C,OQ平面PBC.,題型三 面面垂直,【例3】如圖所示,在斜三棱柱 -ABC中,底面是等腰三角形,AB=AC,側(cè)面 底面ABC. (1)若D是BC的中點(diǎn),求證:AD ; (2)過側(cè)面 的對角線 的平面交側(cè)棱于M, 若AM= ,求證:截面 側(cè)面,分析 （1）要證明AD ,只要證明AD垂直于 所在的平面 即可.顯然由AD