




版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請進(jìn)行舉報或認(rèn)領(lǐng)
文檔簡介
1、第四節(jié) 正交變換,返回,定義9 V的線性變換A稱為一個,如果它保持向量的內(nèi)積不變,即對, V,(A, A)=(, ).,可以從幾個不同方面公平加以刻劃.,在解析幾何中,我們有正交變換的概念. 正交變換就是保持點(diǎn)之間的距離不變的變換. 在一般的歐氏空間中,我們有,返回,定理4 設(shè)A是n維歐氏空間V的一個線性變換,于是下面四個命題是相互等價的:,1)A是正交變換;,2)A保持向量的長度不變,即對于V,|A|=|;,3)如果1,2,n是標(biāo)準(zhǔn)正交基, 那么A1,A2,An 也是標(biāo)準(zhǔn)正交基;,4)A在任一組標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是正交矩陣.,證明 (1)2),1)2)因為A是正交變換,即有(A, A) =(
2、, ),,兩邊開方即得 |A|=| .,返回,(A, A)=(, ), (A, A)=(, ),,此即為,A是正交變換.,1)2)因為A保持向量的長度不變,即有,及 (A(+), A(+)=(+, +) .,把最后的等式展開得,(A, A)+2(A, A)+(A, A)=(, )+2(, )+(, ).,再利用前兩個等式,就有,(A, A)=(, )., (1)3),設(shè)1,2,n是一組標(biāo)準(zhǔn)正交基,即有,返回,與 A=x1A1+x2A2+xnAn.,1)3)因為A是正交變換,所以有,(Ai, Aj)=,這就是說,A1,A2,An 是標(biāo)準(zhǔn)正交基.,1)3)因為A1,A2,An 是標(biāo)準(zhǔn)正交基,則由,
3、A=y1A1+y2A2+ynAn.,=x11+x22+xnn.,=y11+y22+ynn.,即得 (, )=x1y1+x2y2+xnyn=(A, A).,因而A是正交變換.,返回, (3)4),3)4) 因為A是正交矩陣,而1,2,n是標(biāo)準(zhǔn)正交基,則A1,A2,An就是標(biāo)準(zhǔn)正交基.,這樣,我們就證明了1),2),3),4)的等價性.,設(shè)A在標(biāo)準(zhǔn)正交基1,2,n下的矩陣為A,即,(A1,A2,An)=(1,2,n)A.,3)4)由上因為A1,A2,An也是標(biāo)準(zhǔn)正交基,那么A就是由標(biāo)準(zhǔn)正交基1,2,n到A1,A2,An的過渡矩陣,因而A是正交矩陣.,證畢.,返回,因為正交矩陣是可逆的,所以正交變換
4、是可逆的. 由定義不難看出,正交變換實際上就是一個歐氏空間到自身的同構(gòu)映射(3),因而正交變換的乘積與正交變換的逆變換還是正交變換. 在標(biāo)準(zhǔn)正交基下,正交變換與正交矩陣對應(yīng),因此,正交矩陣的乘積與正交矩陣的逆矩陣也是正交矩陣.,返回,如果A是正交矩陣,那么由,AAT=E,可知 |A|2=1或者|A|=1.,因此,正交變換的行列式等于+1或-1. 行列式等于+1的正交變換通常稱為旋轉(zhuǎn),或者稱為第一類的;行列式等于-1的正交變換稱為第二類的.,例如,在歐氏空間中任意取一組標(biāo)準(zhǔn)正交基1,2,n ,定義線性變換A為:,A1=-1 , Ai=i , i=2,3, ,n.,那么,A就是一個第二類的正交變換. 從幾何上看,這是一個鏡面反射 (參看本章習(xí)題15) .,返回,例1 令H是空間R3里過原點(diǎn)的一個平面,對任意R3 ,記對于H的鏡面反射的像是. 則映射,例2 設(shè)L(R3),對任意向量=(x1,x2,x3)R3 ,令()=(x2,x3,x1). 則是R3的一個正交變換., :|是R3的一個正交變換.,因為對應(yīng)的矩陣是A=E-2T為一個正交矩陣,其中是平面H的單位法向量.,因為對應(yīng)的矩陣是 為一個正交矩陣.,返回,例3 將R2的每一向量旋轉(zhuǎn)一個角的正交變換關(guān)于R2的任意標(biāo)準(zhǔn)正交基的矩陣是,又令是例1中的正交變換. 在平面
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 證券資產(chǎn)投資管理辦法
- 福田外賣區(qū)域管理辦法
- 外地項目安全管理辦法
- 科技培訓(xùn)機(jī)構(gòu)管理辦法
- 育兒護(hù)理培訓(xùn)課件
- 肩頸護(hù)理課件教學(xué)
- 肝硬化護(hù)理課件
- 肝癌的護(hù)理課件
- 如何有效培訓(xùn)課件
- 高考一檢數(shù)學(xué)試卷
- QCC品管圈活動表格匯編
- 2023年貴州省社區(qū)工作者公開招聘考試《公共基礎(chǔ)知識》專項題庫【真題精選+章節(jié)題庫+模擬試題】
- 出租車大包車合同
- 銀行副行長個人簡歷表格
- 第四講 堅持以人民為中心PPT習(xí)概論2023優(yōu)化版教學(xué)課件
- 麻精藥品培訓(xùn)課件
- 醫(yī)院全員聘用制度和崗位聘任管理制度
- 粗紗機(jī)任務(wù)與工藝流程
- 探究食育課程對小班幼兒良好飲食習(xí)慣形成的作用 論文
- 湖北武漢洪山區(qū)招考聘用社區(qū)干事235人模擬檢測試卷【共1000題含答案解析】
- 12J4-2 《專用門窗》標(biāo)準(zhǔn)圖集
評論
0/150
提交評論