圖論中的圈與塊.ppt

1、圖論中的圈與塊,紹興縣柯橋中學 黃勁松,2020/8/3,浙江省2006年集訓講義,2,基本概念,圈(環(huán)) 割點 割邊(橋) 塊 強連通子圖(強連通分量(支,塊),2020/8/3,浙江省2006年集訓講義,3,圈及其相關知識,MST(最小生成樹)另類算法 最小環(huán)問題,2020/8/3,浙江省2006年集訓講義,4,MST另類算法,任意構造一棵原圖的生成樹，然后不斷的添邊，并刪除新生成的環(huán)上的最大邊。,10,1,7,2,5,3,算法證明?,2020/8/3,浙江省2006年集訓講義,5,水管局長(1),給定一張帶權無向連通圖，定義max(p)為路徑p上的最大邊，min(u,v)為連接u和v的所

2、有路徑中，max(p)的最小值。動態(tài)的做如下兩個操作： 1：詢問某兩個點之間的min(u,v) 2：刪除一條邊 你的任務是對于每個詢問，輸出min(u,v)的值。(WC2006),2020/8/3,浙江省2006年集訓講義,6,水管局長(2),數據范圍約定 結點個數N1000 圖中的邊數M100000 詢問次數Q100000 刪邊次數D5000,2020/8/3,浙江省2006年集訓講義,7,水管局長(3),根據kruskal算法可以知道，最小生成樹上的連接兩點之間的唯一路徑一定是最大邊最小的 那么，只要維護一棵圖的最小生成樹，那么就可以在O(N)的時間內回答每一個min(u,v)的詢問 不斷

3、的刪邊然后維護最小生成樹？,2020/8/3,浙江省2006年集訓講義,8,水管局長(4),通過刪邊的形式我們似乎很難維護一張圖的最小生成樹 根據剛才提到的MST的另類做法，我們反向處理它的每個操作，也就是先刪除所有要刪的邊，然后再逆向添邊并回答min(u,v) 于是該問題就可以用另類MST算法解決了,2020/8/3,浙江省2006年集訓講義,9,水管局長(5),這里涉及到一些圖與樹的存儲操作，如何在O(N)的時間內找到環(huán)上最大邊，并維護一棵最小生成樹呢？ 如果采取鄰接表的存儲方式來記錄一棵最小生成樹，從添加的邊的某個點開始遍歷整棵樹，尋找出環(huán)上的最大邊，雖然理論復雜度是O(N)的，但是有很

4、多的冗余,2020/8/3,浙江省2006年集訓講義,10,水管局長(6),這里我們采取父親表示法來存儲一棵最小生成樹，如圖所示：,現在添加入一條紅色的邊AB,我們根據被刪邊所在的位置來決定AB的定向,如果被刪邊在B到LCA(A,B)A和B的最近公共祖先的那條路徑上，則定義AB的方向為B-A，即A是B的父親，并將被刪邊到B的這條路徑上的所有邊反向(同理可得被刪邊在A到LCA(A,B)的那條路徑上的情況),A,B,2020/8/3,浙江省2006年集訓講義,11,小H的聚會(1),給定每個節(jié)點的度限制，求在滿足所有度限制的條件下的最大生成樹。(NOI2005) 這是一道提交答案式的題目，對于后面

5、的幾個較大的數據，用另類MST算法對你的解進行調整也能取得不錯的效果！,2020/8/3,浙江省2006年集訓講義,12,最小環(huán)問題,雖然涉及到要求最小環(huán)的題目并不多(Ural1004 Sightseeing trip)，但是下面介紹的一些求最小環(huán)的算法也會對你有一定的啟示意義 有向帶權圖的最小環(huán)問題(直接用floyd算法可解) 無向帶權圖的最小環(huán)問題,2020/8/3,浙江省2006年集訓講義,13,樸素算法,令e(u,v)表示u和v之間的連邊，再令min(u,v)表示，刪除u和v之間的連邊之后，u和v之間的最短路 最小環(huán)則是min(u,v) + e(u,v) 時間復雜度是EV2,2020/

6、8/3,浙江省2006年集訓講義,14,一個錯誤的算法,預處理出任意兩點之間的最短路徑，記作min(u,v) 枚舉三個點w,u,v，最小環(huán)則是min(u,w) + min(w,v) + e(u,v)的最小值 如果考慮min(u,w)包含邊u-v的情況？ 討論：是否有解決的方法？,2020/8/3,浙江省2006年集訓講義,15,改進算法,在floyd的同時，順便算出最小環(huán) gij=i,j之間的邊長 dist:=g; for k:=1 to n do begin for i:=1 to k-1 do for j:=i+1 to k-1 do answer:=min(answer,distij+g

7、ik+gkj); for i:=1 to n do for j:=1 to n do distij:=min(distij,distik+distkj); end;,算法證明？,2020/8/3,浙江省2006年集訓講義,16,塊及其相關知識,DFS算法 割點 (一般對于無向圖而言) 割邊 (一般對于無向圖而言) 塊(一般對于無向圖而言) 強連通子圖(一般對于有向圖而言),2020/8/3,浙江省2006年集訓講義,17,DFS算法,1973年，Hopcroft和Tarjan設計了一個有效的DFS算法 PROCEDURE DFS(v); begin inc(sign); dfnv := sig

8、n; /給v按照訪問順序的先后標號為sign for 尋找一個v的相鄰節(jié)點u if 邊uv沒有被標記過 then begin 標記邊uv; 給邊定向vu; 如果u被標記過,記uv為父子邊,否則記uv為返祖邊 if u未被標記 then DFS(u); end; end;,2020/8/3,浙江省2006年集訓講義,18,DFS算法,父子邊用黑色標記，返祖邊用紅色標記 如下圖，除掉返祖邊之后，我們可以把它看作一棵DFS樹,1,2,3,4,5,6,7,2020/8/3,浙江省2006年集訓講義,19,割點,G是連通圖，vV(G)，G v 不再連通，則稱v是G的割頂。,2020/8/3,浙江省200

9、6年集訓講義,20,求割點的算法,我們通過DFS把無向圖定向成有向圖，定義每個頂的一個lowlink參數，lowlinkv表示沿v出發(fā)的有向軌能夠到達的點u中，dfnu的值的最小值。(經過返祖邊后則停止),1.1,2.1,3.2,4.2,5.2,6.1,7.7,2020/8/3,浙江省2006年集訓講義,21,三個定理,定理1：DFS中，e=ab是返祖邊，那么要么a是b的祖先，要么a是b的后代子孫。 定理2：DFS中，e=uv是父子邊，且dfnu1，lowlinkvdfnu，則u是割點。 定理3：DFS的根r是割點的充要條件是：至少有2條以r為尾(從r出發(fā))的父子邊,證明？,證明？,證明？,2

10、020/8/3,浙江省2006年集訓講義,22,程序代碼,PROCEDURE DFS(v); begin inc(sign); dfnv := sign; /給v按照訪問順序的先后標號為sign lowlinkv := sign; /給lowlinkv賦初始值 for 尋找一個v的相鄰節(jié)點u if 邊uv沒有被標記過 then begin 標記邊uv; 給邊定向vu; if u未被標記過 then begin DFS(u); /uv是父子邊，遞歸訪問 lowlinkv := min(lowlinkv,lowlinku); if lowlinku = dfnv then v是割點 end els

11、elowlinkv := min(lowlinkv,dfnu); /uv是返祖邊end; end;,2020/8/3,浙江省2006年集訓講義,23,割邊,G是連通圖，eE(G)，G e 不再連通，則稱e是G的割邊，亦稱做橋。,2020/8/3,浙江省2006年集訓講義,24,求割邊的算法,與割點類似的，我們定義lowlink和dfn。父子邊e=uv ，當且僅當lowlinkv dfnu的時候，e是割邊。 我們可以根據割點算法的證明類似的證明割邊算法的正確性。,2020/8/3,浙江省2006年集訓講義,25,程序代碼,PROCEDURE DFS(v); begin inc(sign); df

12、nv := sign; /給v按照訪問順序的先后標號為sign lowlinkv := sign; /給lowlinkv賦初始值 for 尋找一個v的相鄰節(jié)點u if 邊uv沒有被標記過 then begin 標記邊uv; 給邊定向vu; if u未被標記過 then begin DFS(u); /uv是父子邊，遞歸訪問 lowlinkv := min(lowlinkv,lowlinku); if lowlinku dfnv then vu是割邊 end elselowlinkv := min(lowlinkv,dfnu); /uv是返祖邊 end; end;,2020/8/3,浙江省2006

13、年集訓講義,26,割點與割邊,猜想：兩個割點之間的邊是否是割邊?割邊的兩個端點是否是割點？ 都錯！,2020/8/3,浙江省2006年集訓講義,27,嗅探器(1),在無向圖中尋找出所有的滿足下面條件的點：割掉這個點之后，能夠使得一開始給定的兩個點a和b不連通，割掉的點不能是a或者b。(ZJOI2004),a,b,2020/8/3,浙江省2006年集訓講義,28,嗅探器(2),數據范圍約定 結點個數N100 邊數MN*(N-1)/2,2020/8/3,浙江省2006年集訓講義,29,嗅探器(3),樸素算法： 枚舉每個點，刪除它，然后判斷a和b是否連通，時間復雜度O(NM) 如果數據范圍擴大，該算

14、法就失敗了！,2020/8/3,浙江省2006年集訓講義,30,嗅探器(4),題目要求的點一定是圖中的割點，但是圖中的割點不一定題目要求的點。如上圖中的藍色點，它雖然是圖中的割點，但是割掉它之后卻不能使a和b不連通 由于a點肯定不是我們所求的點，所以可以以a為根開始DFS遍歷整張圖。 對于生成的DFS樹，如果點v是割點，如果以他為根的子樹中存在點b，那么該點是問題所求的點。,2020/8/3,浙江省2006年集訓講義,31,嗅探器(5),時間復雜度是O(M)的 如圖，藍色的點表示問題的答案，黃色的點雖然是圖的割點，但卻不是問題要求的答案,a,b,2020/8/3,浙江省2006年集訓講義,32

15、,關鍵網線(1),無向連通圖中，某些點具有A屬性，某些點具有B屬性。請問哪些邊割掉之后能夠使得某個連通區(qū)域內沒有A屬性的點或者沒有B屬性的點。(CEOI2005) 數據范圍約定 結點個數N100000 邊數M1000000,2020/8/3,浙江省2006年集訓講義,33,關鍵網線(2),樸素算法： 枚舉每條邊，刪除它，然后判斷是否有獨立出來的連通區(qū)域內沒有A屬性或者沒有B屬性。復雜度O(M2) 當然，這個復雜度太大了！,2020/8/3,浙江省2006年集訓講義,34,關鍵網線(3),正如嗅探器一樣，題目要求的邊一定是原圖中的割邊，但是原圖中的割邊卻不一定是題目中要求的邊。 設A種屬性總共有

16、SUMA個，B中屬性總共有SUMB個。和嗅探器類似的，如果邊e=uv是割邊，且以v為根的子樹中，A種屬性的數目為0或者為SUMA，或者B種屬性的數目為0或者為SUMB，那么e就是題目要求的邊。,2020/8/3,浙江省2006年集訓講義,35,關鍵網線(4),下圖中，藍色的邊表示題目要求的邊，黃色的邊表示雖然是圖中的割邊，但不是題目要求的邊。,A,B,A,A,A,A,A,A,A,B,B,2020/8/3,浙江省2006年集訓講義,36,塊,沒有割點的圖叫2-連通圖，亦稱做塊，G中成塊的極大子圖叫做G的塊。把每個塊收縮成一個點，就得到一棵樹，它的邊就是橋。,2020/8/3,浙江省2006年集訓

17、講義,37,求塊的算法,在求割點的算法中，當結點u的所有鄰邊都被訪問過之后，如果lowlinku=dfnu，我們把u下方的整塊和u導出作為圖中的一個塊。 這里需要用一個棧來表示哪些元素是u代表的塊。,2020/8/3,浙江省2006年集訓講義,38,程序代碼,PROCEDURE DFS(v); begin inc(sign); dfnv := sign; /給v按照訪問順序的先后標號為sign lowlinkv := sign; /給lowlinkv賦初始值 inc(tot); stacktot := v; /v點進棧 for 尋找一個v的相鄰節(jié)點u if 邊uv沒有被標記過 then beg

18、in 標記邊uv; 給邊定向vu; if u未被標記過 then begin DFS(u); /uv是父子邊，遞歸訪問,2020/8/3,浙江省2006年集訓講義,39,程序代碼,lowlinkv := min(lowlinkv,lowlinku); end elselowlinkv := min(lowlinkv,dfnu); /uv是返祖邊 end; if lowlinkv = dfnv then begin 塊數目number+1; repeat 標記stacktot這個點為number; dec(tot); / 點出棧 until stacktot+1 = v; end; end;,2

19、020/8/3,浙江省2006年集訓講義,40,新修公路(1),給出一張簡單無向圖，問最少添加幾條邊能夠使得原圖中沒有割邊。(CEOI2000) 數據范圍約定 結點個數N2500 邊數M20000,2020/8/3,浙江省2006年集訓講義,41,新修公路(2),為了簡化數據關系，我們先將原圖收縮，變成一棵樹，容易知道的是，剩下的任務就是添最少的邊，使得樹成為一個塊。(樹中的兩個結點之間連邊相當于原圖中兩個塊中分別任意取點連在一起) 猜想：每添一條邊，就選擇樹中的兩個葉子結點，將它們連起來，于是最少的添邊數目就是(葉子結點個數+1)/2,2020/8/3,浙江省2006年集訓講義,42,新修公

20、路(3),如圖所示，點代表了原圖中的一個塊，它們之間的連邊是割邊。連接a與c，b與d之后，圖中就沒有割邊了。,2020/8/3,浙江省2006年集訓講義,43,新修公路(4),但并不是任意連接兩個葉子結點就可以達到目標。假如連接了a與b，c與d，原圖并沒有變成一個塊。,a,b,c,d,2020/8/3,浙江省2006年集訓講義,44,新修公路(5),進一步分析剛才的算法，每次連接兩個葉子結點之后，把新生成的圈壓縮成為一個點，以前和圈上的點關聯的點，都和新生成的這個“壓縮點”相關聯。于是原來的樹在添加一條邊之后，又變回了一棵樹。,2020/8/3,浙江省2006年集訓講義,45,新修公路(6),

21、在連接a與c之后，新生成的樹只剩下2個葉子結點；連接b與d之后，樹就被壓縮成了一個點。,a,b,c,d,b,d,2020/8/3,浙江省2006年集訓講義,46,新修公路(7),而如果先連接a與b，那么新生成的樹會剩下3個葉子結點，連接c與d之后，樹中還剩2個葉子結點，所以這種連接方法還需要多連一條邊。 現在的問題是，是否一定能找出這樣子的兩個葉子結點，使得壓縮成的點不會成為新的葉子節(jié)點呢？,2020/8/3,浙江省2006年集訓講義,47,新修公路(8),連接的兩個點的那條樹中的唯一路徑上，如果除了它們的最近公共祖先到自己的父親有連邊以外，其他的結點沒有別的分叉，那么連接這兩個點之后縮圈得到

22、的點將會是一個葉子結點。 假設圖中的任意兩個葉子連接之后，都會多產生一個葉子結點。 當圖中的葉子結點是2個或者3個的時候，怎么連都沒有區(qū)別。,2020/8/3,浙江省2006年集訓講義,48,新修公路(9),當圖中的葉子結點有4個的時候，a和b到它們的最近公共祖先都沒有別的分叉，且c和d到它們的最近公共祖先沒有別的分叉，可以知道，a和c到它們的最近公共祖先上一定有分叉。 這個與假設矛盾。所以我們總能找到兩個葉子結點，使得它們連邊之后縮成的樹不會新產生葉子結點。,2020/8/3,浙江省2006年集訓講義,49,新修公路(10),具體實現： 首先一個問題是會碰到圖的壓縮，一個簡單易行的方法是，新

23、建一棵樹來表示壓縮過之后的圖。 接著還會碰到一個縮圈的問題，怎么實現這一個環(huán)節(jié)？是否需要重新建樹？ 可以采取標號法，當縮一個圈的時候，在圈上取一個代表點，并把其他的點都標記為該代表點。一個潛在的問題是，壓縮成的點可能還會被再次壓縮，那么標記的時候就比較麻煩了。所以這里可以用并查集來實現標號這一步。,2020/8/3,浙江省2006年集訓講義,50,新修公路(11),算法流程： (1)求出圖中的所有塊，建立一棵代表樹 (2)挑出2個葉子結點，使得連接他們之間的唯一路徑上的分叉數目最多 (3)連接這兩個葉子結點，并壓縮新生成的圈，得到一棵新的樹 (4)如果樹中剩下一個葉子結點和一個根結點，直接連接

24、它們，算法結束；如果樹已經成為一個點，算法結束，否則轉(2),2020/8/3,浙江省2006年集訓講義,51,有向圖的DFS,有向圖的DFS與無向圖的DFS的區(qū)別在于搜索只能順邊的方向進行，所以有向圖的DFS不止一個根，因為從某個結點開始不一定就能走完所有的點。 另外，有向圖的DFS除了產生父子邊和返祖邊以外，還會有橫叉邊。我們這樣定義它： u和v在已形成的DFS森林中沒有直系上下關系，并且有dfnvdfnu，則稱e=uv是橫叉邊。注意，沒有dfnvdfnu這種橫叉邊。,2020/8/3,浙江省2006年集訓講義,52,連通與強連通圖,定義： 將所有有向邊改為無向邊，如果該無向圖是連通的，那

25、么原有向圖也稱之為連通圖。 對于圖中的任意兩個點A和B，同時存在一條從A到B的路徑和一條從B到A的路徑，則稱該圖為強連通圖。 對于一個連通的無向圖，他是一個強連通圖，這里著重介紹一下有向圖的強連通子圖，也稱做強連通分量，強連通分支和強連通分塊。,2020/8/3,浙江省2006年集訓講義,53,求強連通子圖的另類算法,可以知道，圈上的點都是滿足強連通性質的，所以我們可以不斷的找圈，然后壓縮它，直到找不到圈為止。 該算法因為時間復雜度過大，本身沒有什么實質的作用，但是會給我們的解題思路和算法證明帶來一定的幫助。,2020/8/3,浙江省2006年集訓講義,54,求強連通子圖的算法1,一種求有向圖

26、強連通子圖的算法和求無向圖塊的方法幾乎一樣，不同的是，我們需要特殊考慮一下橫叉邊的處理。如果e=uv是橫叉邊，那么lowlinku := min(lowlinku,dfnv)這一步就無需再做。,2020/8/3,浙江省2006年集訓講義,55,程序代碼,PROCEDURE DFS(v); begin inc(sign); dfnv := sign; /給v按照訪問順序的先后標號為sign lowlinkv := sign; /給lowlinkv賦初始值 inc(tot); stacktot := v; /v點進棧 instackv := true; /這個用來判斷橫叉邊 for 尋找一個v的相

27、鄰節(jié)點u if 邊uv沒有被標記過 then begin 標記邊uv; 給邊定向vu; if u未被標記過 then begin DFS(u); /uv是父子邊，遞歸訪問 lowlinkv := min(lowlinkv,lowlinku); end,2020/8/3,浙江省2006年集訓講義,56,程序代碼,else if instacku then lowlinkv := min(lowlinkv,dfnu); /uv是返祖邊 end; if lowlinkv = dfnv then begin 塊數目number+1; repeat 標記stacktot這個點為number; insta

28、ckstacktot := false; dec(tot); / 點出棧 until stacktot+1 = v; end; end;,2020/8/3,浙江省2006年集訓講義,57,求強連通子圖的算法2,基于兩次DFS的有向圖強連通子圖算法 (1)對圖進行DFS遍歷，遍歷中記下所有的dfnv的值。遍歷的結果是構造了一座森林W1； (2)改變圖G中的每一條邊的方向，構造出新的有向圖Gr； (3)按照dfnv由大到小的順序對Gr進行DFS遍歷。遍歷的結果是構造了新的森林W2，W2中的每棵樹上的頂點構成了有向圖的極大強連通子圖。,算法證明？,2020/8/3,浙江省2006年集訓講義,58,有

29、向圖的壓縮,將有向圖中的強連通子圖都壓縮成為一個點之后，是否和無向圖壓縮之后的結果一樣呢？ 有向圖壓縮之后，連接不同結點之間的邊有兩種：父子邊，橫叉邊。壓縮后的圖，不是一個標準意義上的樹(將邊看作無向)。它是一個無有向圈的有向圖，即不可再壓縮的圖。 有向圖壓縮的意義，在后面的例題受歡迎的奶牛中我們會看到。,2020/8/3,浙江省2006年集訓講義,59,探索第二部(1),A和B兩位偵探要合力解決一起謀殺案?，F在有N條線索，單獨的解決一些線索A和B花費的時間是有差別的。而在解決掉某些線索之后，可以毫不費力的解決掉另外一些線索?，F在你的任務是求出A和B一起配合解決掉所有線索所需要花費的總時間。

30、數據范圍約定： 線索數目N1000 解決每條線索A和B花費的時間ai和bi都不超過15,2020/8/3,浙江省2006年集訓講義,60,探索第二部(2),如果解決了線索x順邊就能解決線索y，那么在x和y之間連一條有向邊?？芍绻鉀Q了x之后能解決y，解決y之后能解決z，那么說明，我們只需要解決掉x，就能解決y和z。 一個顯而易見的性質：如果x能通過有向邊到達y，y不能通過有向邊到達x，那么無論如何，y都不必解決。,2020/8/3,浙江省2006年集訓講義,61,探索第二部(3),而如果存在x和y能互達，那么從中任意挑出一個來解決就可以。也就是說，在一個強連通子圖內，我們只需要任意挑出一個

31、線索將它解決，就能解決掉該子圖內所有的線索。 現在的任務便成了，挑出所有的必須被解決線索。然后分配A和B去解決他們。這個問題，我們可以用動態(tài)規(guī)劃來解決。,2020/8/3,浙江省2006年集訓講義,62,探索第二部(4),那么如何處理一個強連通子圖的情況呢？如果讓A來解決掉一個線索，那么肯定挑出A花費時間最少的那條線索；同理如果B來解決掉一個線索，那么肯定挑出B花費時間最少的那條線索。 于是可以將整個子圖壓縮成為一個點，A解決它所需要的時間是所有點中ai的最小值，B解決它所需要的時間是所有點中bi的最小值。,2020/8/3,浙江省2006年集訓講義,63,探索第二部(5),算法流程： (1)

32、根據輸入建圖 (2)求出途中的所有強連通子圖，并壓縮成一個點 (3)挑出森林中所有的根結點，這些是必須被解決的線索 (4)用動態(tài)規(guī)劃算法解決最小總花費的問題,2020/8/3,浙江省2006年集訓講義,64,受歡迎的奶牛(1),N頭奶牛，給出若干個歡迎關系A B，表示A歡迎B，歡迎關系是單向的，但是是可以傳遞的。另外每個奶牛都是歡迎他自己的。求出被所有的奶牛歡迎的奶牛的數目。(USACO FALL03) 數據范圍約定： 奶牛數目N10000 直接的歡迎關系數目M50000,2020/8/3,浙江省2006年集訓講義,65,受歡迎的奶牛(2),可以想到的是，如果圖中包含有強連通子圖，那么就可以把

33、這個強連通縮成一個點，因為強連通子圖中的任意兩個點可以到達，強連通子圖中所有的點具有相同的性質，即它們分別能到達的點集都是相同的，能夠到達它們的點集也是相同的。 通過大膽猜想，我們得到一個結論： 問題的解集是壓縮后的圖中，唯一的那個出度為0的點。,2020/8/3,浙江省2006年集訓講義,66,受歡迎的奶牛(3),首先，如果該圖不是一張連通圖，那么問題肯定是無解的。在假定圖是一張連通圖的情況下，我們需要證明如下一些東西： (1)解集為什么一定構成一個強連通子圖？ (2)同時存在2個出度為0的獨立的強連通子圖的時侯，為什么就一定無解？ (3)只有一個出度為0的強連通子圖的時候，為什么該強連通子

34、圖一定是問題的解集？ (4)如果一個強連通子圖的出度不為0，為什么就一定不是問題的解集？,2020/8/3,浙江省2006年集訓講義,67,受歡迎的奶牛(4),(1)解集為什么一定構成一個強連通子圖？ 證明： 假設A和B都是最受歡迎的cow，那么，A歡迎B，而且B歡迎A，于是，A和B是屬于同一個強連通子圖內的點，所以，問題的解集構成一個強連通子圖。,2020/8/3,浙江省2006年集訓講義,68,受歡迎的奶牛(5),(2)同時存在2個出度為0的獨立的強連通子圖的時侯，為什么就一定無解？ 證明： 如果存在兩個獨立的強連通分量a和b，那么a內的點和b內的點一定不能互相到達，那么，無論是a還是b都

35、不是解集的那個連通分量，問題保證無解。,2020/8/3,浙江省2006年集訓講義,69,受歡迎的奶牛(6),(3)只有一個出度為0的強連通子圖的時候，為什么該強連通子圖一定是問題的解集？ 證明： 假設在壓縮過的圖中，存在結點A，它到出度為0的結點(設為Root)沒有通路，因為A的出度一定不為0，那么設他可以到B，于是B到Root沒有通路，因為B的出度也一定不為0，那么設他可以到C，如此繼續(xù)下去，因為該圖已經不可再壓縮，所以這樣下去不會出現已經考慮過的點(否則就存在有向環(huán))，那么這樣下去之后，所有的點都到Root沒有通路，而Root到其他所有的點也是沒有通路的，因為它的出度為0，所以Root與

36、其他所有的點是獨立的，這與大前提“該圖是連通圖”矛盾。所以假設不成立。,2020/8/3,浙江省2006年集訓講義,70,受歡迎的奶牛(7),(4)如果一個強連通子圖的出度不為0，為什么就一定不是問題的解集？ 證明： 如果某個強連通子圖內的點A到強連通分量外的點B有通路，因為B和A不是同一個強連通子圖內的點，所以B到A一定沒有通路，那么A不被B歡迎，于是A所在的強連通子圖一定不是解集的那個強連通子圖。,2020/8/3,浙江省2006年集訓講義,71,受歡迎的奶牛(8),算法流程： (1)壓縮有向圖 (2)判斷連通性，并找到圖中出度為0的點的個數。 (3)如果圖不連通或者出度為0的點的個數超過

37、1，輸出無解，否則轉(4) (4)輸出出度為0的點代表的強連通子圖上的點,2020/8/3,浙江省2006年集訓講義,72,科學是在不斷的大膽猜想與小心求證中進步的！,Thank you for listening！,2020/8/3,浙江省2006年集訓講義,74,參考文獻,王樹禾離散數學引論 劉汝佳/黃亮算法藝術與信息學競賽 吳文虎/王建德圖論的算法與程序設計,2020/8/3,浙江省2006年集訓講義,75,MST另類算法證明,我們通過kruskal算法的正確性來證明該算法的正確性 設該算法得到的MST為T，它不是原圖的最小生成樹T，則存在一條邊e，有eT且eT。由于T不可再調整，所以在T中添加e之后，e是所成環(huán)上的最大邊。因而在做kruskal算法時候，該環(huán)上的所有邊在e之前都會被事先考慮是否加入MST中，而在考慮是否加入e這條