第二節(jié)-初等函數(shù).ppt

1、第一篇 力 學(xué),第五章 波動(dòng)學(xué)基礎(chǔ),四多普勒效應(yīng),內(nèi)容結(jié)構(gòu),一波動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律,(引入運(yùn)動(dòng)學(xué)參量、運(yùn)動(dòng)學(xué)方程、波動(dòng)的合成),二波動(dòng)的動(dòng)力學(xué)規(guī)律,三波動(dòng)的能量,一有關(guān)機(jī)械波的基本概念,5-1波動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律,1.機(jī)械波：機(jī)械振動(dòng)在介質(zhì)中的傳播過(guò)程稱(chēng)為機(jī)械波 說(shuō)明：A.機(jī)械波產(chǎn)生的前提條件是：存在波源；存在傳播 振動(dòng)的彈性介質(zhì)（但不是所有的波都需要彈性介質(zhì)） B.波動(dòng)產(chǎn)生的物理機(jī)制：波是振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)帶動(dòng)鄰近質(zhì)點(diǎn) 振動(dòng)，由近及遠(yuǎn)向外傳遞振動(dòng)的結(jié)果。是振動(dòng)的向 外傳遞，不是介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)自身向外運(yùn)動(dòng)的結(jié)果。,2.機(jī)械波的種類(lèi)：縱波和橫波 縱波：振動(dòng)方向與波的傳播方向垂直的波，稱(chēng)為縱波 縱波依靠介質(zhì)縱向的彈性使振

2、動(dòng)由近及遠(yuǎn)向外傳播。 縱波可在固體、液體、氣體中傳播。,影響縱波的傳播速度的因素有：介質(zhì)的密度；介質(zhì)的楊氏彈 性模量(Y，固體)，體變模量(B，液體、氣體)等。 縱波的特征是有凹凸的波峰、波谷。,橫波：振動(dòng)方向與傳播方向平行的波稱(chēng)為橫波 橫波依靠介質(zhì)切向的彈性使振動(dòng)由近及遠(yuǎn)向外傳播,橫波只能在固體中傳播。 影響橫波的傳播速度的因素有：介質(zhì)的密度；介質(zhì)的切變彈 性摸量(G，固體)。 橫波的特征是有稀密相間的不同介質(zhì)區(qū)域。,二理想機(jī)械波模型,1.振源與彈性介質(zhì)保持相對(duì)靜止 介質(zhì)振動(dòng)頻率與振源振動(dòng)頻率相同。 A.從機(jī)械波產(chǎn)生的物理機(jī)制角度理解。 B.穩(wěn)定、無(wú)阻尼受迫振動(dòng)的振動(dòng)頻率與受迫力頻率相等 2

3、.彈性介質(zhì)無(wú)阻尼或能量吸收波在傳遞過(guò)程中振幅不變,三描述機(jī)械波的物理參量,1.描述機(jī)械波的解析物理參量波長(zhǎng)、頻率(周期)、波速,(1).波長(zhǎng)()：沿波傳播直線上兩個(gè)相鄰?fù)帱c(diǎn) （相位差為2）之間的距離。 說(shuō)明：一個(gè)波長(zhǎng)范圍內(nèi)包含了一個(gè)“完整的波”，即包含了質(zhì) 點(diǎn)振動(dòng)的各種可能振動(dòng)步調(diào)(相位) 波數(shù)( )：波長(zhǎng)的倒數(shù)稱(chēng)為波數(shù)?；颍?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度所包含的完整 波的數(shù)目，稱(chēng)為波數(shù)。,(2).頻率()：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)給定的完整波的個(gè)數(shù)。 周期(T)：傳遞一個(gè)完整波所需的時(shí)間?；颍侯l率的倒數(shù),(3).波速( v )：?jiǎn)挝粫r(shí)間波向外傳播完整波數(shù)對(duì)應(yīng)的距離,說(shuō)明：波的傳播速度等于振動(dòng)的相位傳播速度,波長(zhǎng)、頻率、相位之

4、間的普適關(guān)系,2.描述機(jī)械波的輔助物理參量波線、波面、波前(幾何描述),(1).波線：波向外傳播的方向構(gòu)成的曲線，稱(chēng)為波線。 波線上任意一點(diǎn)的切線方向與該點(diǎn)波的傳播方向相同,波矢：特定的波線的矢量，稱(chēng)為波矢 其中為波矢的單位矢量,(2).波面：介質(zhì)中振動(dòng)相位相同的點(diǎn)構(gòu)成的曲面，稱(chēng)為波面 不同波面上振動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)有一定的 相位差。相距一個(gè)波長(zhǎng)的兩波面 的相位差為2,(3).波前：某時(shí)刻介質(zhì)中剛開(kāi)始振動(dòng)的 點(diǎn)構(gòu)成的曲面，或者位于所有波面 之前的波面,A.波線與波面、波前一定垂直。 B.波向外傳播過(guò)程可以看作為波前以波速向前推進(jìn)的過(guò)程 C.理想機(jī)械波模型中，波前的相位一定等于振源的初相位,證明：設(shè)振源的

5、簡(jiǎn)諧振動(dòng)為,任意時(shí)刻t振源的相位為,設(shè)機(jī)械波傳遞到波前處所需時(shí)間為t，考慮到介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)振動(dòng) 頻率與振源振動(dòng)頻率相等，如所有介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)采用同一 記時(shí)起點(diǎn)，則波前的相位比振源相位落后,于是，t 時(shí)刻波前的相位為,例：聲音在空氣和水中的波速分別為340m/s，1450m/s。 求：(1).頻率分別為200Hz，2000Hz的聲波在空氣、水中的波長(zhǎng) (2).說(shuō)明聲音在空氣和水中的頻率為何保持不變,解：(1).空氣中,水中,(2).在理想機(jī)械波模型下，介質(zhì)中質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)頻率始終與振源 振動(dòng)頻率相等。與介質(zhì)結(jié)構(gòu)無(wú)關(guān),四平面簡(jiǎn)諧波的運(yùn)動(dòng)學(xué)描述,平面波：波面為平面的波，稱(chēng)為平面波。 簡(jiǎn)諧波：傳遞簡(jiǎn)諧振動(dòng)的波，稱(chēng)

6、為簡(jiǎn)諧波,1.平面波的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程波函數(shù),目的：描述距振源任一距離處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)情況,設(shè) t 時(shí)刻x=0的質(zhì)元振動(dòng)方程為,設(shè)平面波的波速為v，則距離振源x點(diǎn)處的相位,x點(diǎn)處的振動(dòng)方程為,討論：波函數(shù)的物理意義,A.波函數(shù)表示沿波線方向振動(dòng)狀態(tài)的周期性分布,當(dāng)時(shí)，波函數(shù)表示該點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程,任意兩點(diǎn)，的相位差為,稱(chēng)為波程差。,相位差與波程差之間的關(guān)系,B.波函數(shù)表示各質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于各自平衡位置的位移分布,當(dāng)時(shí)，波函數(shù)表示各質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于各自平衡位置的位移分布,當(dāng)（）時(shí)，,波形向前推進(jìn)的距離(波形向前推進(jìn)的速度為v)。,解：1.由于波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式能直接讀出振幅、周期、波長(zhǎng)， 因此，在求波函數(shù)的基礎(chǔ)物理量時(shí)

7、，一般將波函數(shù)改寫(xiě) 為波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式來(lái)求解,將波函數(shù)改寫(xiě)為標(biāo)準(zhǔn)形式為,與波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式對(duì)比可得,2.將代入波動(dòng)方程可得,3.由可得,解：1.由波動(dòng)方程的普遍形式,以A為原點(diǎn)寫(xiě)波動(dòng)方程，關(guān)鍵要求出波函數(shù)的基礎(chǔ)物理參量,波函數(shù)為,2.以B為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，由于B點(diǎn)比A點(diǎn)坐標(biāo)超前，即,因此，只需要將以A為坐標(biāo)原點(diǎn)的波動(dòng)方程中的記時(shí)起點(diǎn)換 為以B為坐標(biāo)原點(diǎn)的記時(shí)起點(diǎn)即可,3.將C、D兩點(diǎn)坐標(biāo)代入上式即可求出C、D兩點(diǎn)的振動(dòng)方程,速度振動(dòng)方程只需對(duì)上面兩式求導(dǎo),例：一平面波沿x軸正向傳播，振幅為A，頻率為，波速為v 設(shè)t=t時(shí)波形如圖。 求：1.x=0 處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程 2.該波的波動(dòng)方程,由已知，此時(shí)

8、波沿x軸正向傳播，理解為波整體向右移動(dòng)，可 知此時(shí)振動(dòng)的速度為負(fù)，即,于是,5-2波動(dòng)的動(dòng)力學(xué)規(guī)律,一波的動(dòng)力學(xué)方程,例：推導(dǎo)輕質(zhì)、柔弦的微振動(dòng)方程,如圖，由牛頓定律有,微振動(dòng)時(shí),聯(lián)立求解得,討論：1.波動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程的推導(dǎo)步驟,取微元對(duì)象受力分析列動(dòng)力學(xué)方程取近似得微分方程,二波速,由波動(dòng)方程,可得,可知,即：波動(dòng)方程空間二次導(dǎo)數(shù)前的系數(shù)就是波的傳播速度,討論：影響波的傳播速度的因素,對(duì)其它波動(dòng)形式的方程作類(lèi)似推導(dǎo)，可得各種波動(dòng)的波動(dòng)方 程及傳播速度，由傳播速度的表達(dá)式，容易知道影響波傳播 速度的因素,5-3波動(dòng)的能量和能流,一簡(jiǎn)諧波的能量,設(shè)簡(jiǎn)諧波為,則在點(diǎn)處 介質(zhì)內(nèi)的機(jī)械能為,(1).動(dòng)能

9、,(2).彈性介質(zhì)內(nèi)的勢(shì)能,A.彈性微元的彈性應(yīng)變,如圖，取微元,初始時(shí)刻微元端點(diǎn)坐標(biāo)分別為 x，x+x。某一振動(dòng)時(shí)刻兩端 點(diǎn)位移分別為y(x,t)和y(x+x,t),B. 彈性介質(zhì)內(nèi)的勢(shì)能,由彈性模量Y的定義,與彈簧諧振子回復(fù)力公式類(lèi)比，可得桿縱振動(dòng)的彈性勢(shì)能為,或,于是,討論,1.能量密度：彈性介質(zhì)單位體積的能量，稱(chēng)彈性介質(zhì)的能量密度,A.能量密度隨時(shí)、間變化，不構(gòu)成簡(jiǎn)諧波，但傳遞速度仍為v B.能量密度的角頻率為簡(jiǎn)諧振動(dòng)角頻率的二倍，因而周期、波 長(zhǎng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的一半 C.平均能量密度為,2.微元機(jī)械能不守恒,知：微元的動(dòng)能、勢(shì)能、總機(jī)械能同時(shí)達(dá)到最大或最小。微元 的總機(jī)械能是不守恒的，這

10、正表明機(jī)械波是要向外傳播能量， 這一點(diǎn)，剛好與簡(jiǎn)諧諧振動(dòng)機(jī)械能守恒相反,二簡(jiǎn)諧波的能流密度(波的強(qiáng)度),1.能流矢量 單位時(shí)間通過(guò)介質(zhì)中與傳播速度垂直的某一面積的能量,2.平均能流矢量,例：在各向同性的理想介質(zhì)中 求：點(diǎn)波源振幅、強(qiáng)度隨距離的變化關(guān)系,解：由能量守恒,可得,振幅隨距離呈1次方衰減,波的強(qiáng)度隨距離呈2次方衰減,例：聲波在液體中的強(qiáng)度： ；頻率； 液體的密度：聲速： 求：液體質(zhì)元振動(dòng)的振幅,由此可見(jiàn)，聲波在液體中的振幅實(shí)際上是很小的,三聲強(qiáng)與聲級(jí),5-4波的干涉駐波,一惠更斯原理,1.惠更斯原理,任一時(shí)刻波前上各點(diǎn)都可作為子波的波源，向前發(fā)出子波， 后一時(shí)刻各子波的包跡，就是該時(shí)刻

11、新波的波前,惠更斯原理的重要性在于：只要知道了某一時(shí)刻波的波陣面， 就可以用幾何方法決定下一時(shí)刻的波陣面及波的傳播方向,2.惠更斯原理的應(yīng)用,例：用惠更斯原理解釋平面波、球面波的傳播,方法：1.找出t時(shí)刻波的波陣面 2.以t時(shí)刻的波面為新的波源，畫(huà)出經(jīng)時(shí)刻后的t1時(shí)刻子波波前 3.畫(huà)出t1時(shí)刻子波波前的包跡，即為該時(shí)刻的波陣面 4.確定求出的波陣面的幾何形狀和傳播方向,例：用惠更斯原理解釋波的衍射、折射、 反射等規(guī)律,二波的疊加原理(波的獨(dú)立性原理),A.各列波相遇后它們各自原有的特點(diǎn) (頻率、波長(zhǎng)、振幅、振動(dòng)方向等)不變， 按各自原有的方向傳播，好象在各自 的傳播過(guò)程中沒(méi)有遇到其他波一樣,B

12、.在各列波相遇的區(qū)域里，任意質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)，為各列波在該點(diǎn) 引起的振動(dòng)的矢量疊加,三波的干涉,1.波的干涉的相關(guān)概念,A.相干波：滿足相差恒定、振動(dòng)頻率相同、振動(dòng)方向相同的波,B.波的干涉：相干波在其公共區(qū)域內(nèi)疊加，形成公共區(qū)域內(nèi)合 成波強(qiáng)度隨空間坐標(biāo)而異的強(qiáng)度穩(wěn)定分布現(xiàn)象，稱(chēng)波的干涉,2.干涉現(xiàn)象中的波的強(qiáng)度空間分布,設(shè)兩列相干波源的振動(dòng)分別為,在空間相遇點(diǎn)P的振動(dòng)分別為,由疊加原理，兩列波在公共區(qū)域內(nèi)的合成振動(dòng)為,其中,2.相消干涉,3.特例,此時(shí)的相長(zhǎng)干涉條件為,此時(shí)的相消干涉條件為,例：已知振源S1，S2如圖，PS1=4m，S1S2=3m，兩振動(dòng)有如下 共同物理量：A=5cm，v=330m

13、/s，v=165Hz，2-1= 求：在P點(diǎn)的干涉結(jié)果,解：求干涉結(jié)果，即求解以下兩個(gè)物理量,由于 2-1=,于是,四駐波,1.駐波的相干條件：兩波振幅相同、頻率相同、振動(dòng)方向相 同、在同一條直線上反向傳播,2.駐波的形成及數(shù)學(xué)表達(dá)式,設(shè)兩列滿足駐波條件的相干波分別為,于是，合成波為,討論：(1).振幅分布規(guī)律,A.振幅只與空間位置有關(guān)，與時(shí)間無(wú)關(guān)。即對(duì)一確定的空間 位置，振幅是一定的,此時(shí)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)點(diǎn)點(diǎn)稱(chēng)為波腹,相鄰波腹的距離為,此時(shí)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)點(diǎn)點(diǎn)稱(chēng)為波節(jié),相鄰波節(jié)的距離為,(2).相位分布規(guī)律,每一波節(jié)兩側(cè)半個(gè)波長(zhǎng)內(nèi)的質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的相位相反，相鄰兩波 節(jié)之間的質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)相位相同,因,當(dāng)時(shí)， 即相鄰

14、兩波節(jié)之間的質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)相位相同,當(dāng)時(shí)， 即每一波節(jié)兩側(cè)半個(gè)波長(zhǎng)內(nèi)的質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的相位相反,(3).駐波的能量：由形成駐波的條件可知，駐波并不傳遞能量,(4).半波損失的概念,實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，對(duì)于繩子的固定端，該點(diǎn)是入射波與反射波在繩上 形成的駐波之波節(jié)。由振動(dòng)的合成可知，該點(diǎn)的入射波與反射 波的相位一定相差半個(gè)周期(入射波在該點(diǎn)反射時(shí)有的相位突變 或半個(gè)波長(zhǎng))。稱(chēng)該現(xiàn)象為半波損失,對(duì)繩子的自由端，入射波與反射波沒(méi)有相位突變，或不構(gòu)成 駐波波節(jié)。因此，沒(méi)有半波損失,一般情況下，入射波在反射時(shí)是否存在半波損失，取決于介 質(zhì)密度、入射角等因素,對(duì)于兩端固定繩子上形成的駐波，由于在兩個(gè)端點(diǎn)必然是駐 波節(jié)點(diǎn)，因而，

15、可能的駐波波長(zhǎng)必須滿足,或,即：可能的駐波必須是某一基波的整數(shù)倍。m=1的頻率稱(chēng)基頻 其它的波稱(chēng)為諧波。所有這些振動(dòng)稱(chēng)為簡(jiǎn)正振動(dòng)。所有的頻率 構(gòu)成弦振動(dòng)的本征頻率,當(dāng)外界激發(fā)頻率等于振動(dòng)系統(tǒng)的本征頻率時(shí)，就會(huì)引起駐波， 這種現(xiàn)象也稱(chēng)為共振,例：波源位于O點(diǎn)處，振動(dòng)方程為：，在 處的Q點(diǎn)有一反射墻壁。 求：(1).沿x軸正向、負(fù)向傳播的波動(dòng)方程 (2).反射的波動(dòng)方程 (3).OQ區(qū)域內(nèi)合成波的方程 (4).x0區(qū)域內(nèi)的合成波動(dòng)方程,解：(1). 沿x軸正向傳播的波動(dòng)方程,沿x軸負(fù)向傳播的波動(dòng)方程,(2).反射的波動(dòng)方程，入射到Q點(diǎn)的振動(dòng)方程為,考慮到墻壁引起的相位突變，Q點(diǎn)的振動(dòng)方程為,故QO

16、區(qū)域內(nèi)反射波的方程為,在x0區(qū)域內(nèi)反射波的方程為,即，反射波波動(dòng)方程可以統(tǒng)一表示為,(3).OQ區(qū)域內(nèi)合成波的方程,(4).x0區(qū)域內(nèi)的合成波動(dòng)方程,例：長(zhǎng)為l的繩兩端固定，線密度為，張力為T(mén) 求：此弦中的振動(dòng)頻率（固有振動(dòng)的本征頻率）,解：弦兩端固定，端點(diǎn)應(yīng)為節(jié)點(diǎn)。而駐波相鄰兩點(diǎn)的距離為 的整數(shù)倍。于是,其中,于是,基頻為，基頻取決于繩子的長(zhǎng)度、密度、張力,例：假定原子中核外電子繞核運(yùn)動(dòng)遵守某種簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)規(guī)律 求：原子中電子的軌道半徑必須滿足的條件,解：原子必須是穩(wěn)定的，由波的干涉情況可知：只有當(dāng)電子的,波形成穩(wěn)定駐波時(shí)，原子才可能穩(wěn)定。由駐波條件，軌道周長(zhǎng) 必須為電子波長(zhǎng)的整數(shù)倍，于是,

17、5-5多普勒效應(yīng),多普勒效應(yīng)：當(dāng)波源與觀察者發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，觀察者測(cè)得 的波的頻率發(fā)生變化,一波源與觀察者均相對(duì)于媒質(zhì)靜止情況,當(dāng)波源與觀察者保持相對(duì)靜止時(shí)，觀察者測(cè)得波的頻率為單位 時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)觀察者所在觀察點(diǎn)的完整波數(shù),即觀察者測(cè)得的頻率等于振源的振動(dòng)頻率,二波源不動(dòng)，觀察者以速度vR運(yùn)動(dòng),當(dāng)波源與觀察者保持相對(duì)靜止時(shí)，觀察者測(cè)得波的頻率為 當(dāng)觀察者以速度 相向光源運(yùn)動(dòng)時(shí)，他將多測(cè)到經(jīng)過(guò)觀察點(diǎn) 的波數(shù)為，觀察者測(cè)得波的頻率為,即，觀察者測(cè)得的波的頻率為靜止時(shí)的倍,當(dāng)觀察者以速度遠(yuǎn)離光源運(yùn)動(dòng)時(shí),三觀察者不動(dòng)，波源相對(duì)于媒質(zhì)以速度vS運(yùn)動(dòng),相對(duì)靜止時(shí)觀察者觀察到的波長(zhǎng)為，則當(dāng)波源以速度 相向觀察

18、者運(yùn)動(dòng)時(shí)，觀察到的波長(zhǎng)為,現(xiàn)在的頻率為,當(dāng)波源以速度 遠(yuǎn)離觀察者運(yùn)動(dòng)時(shí)，觀察到的頻率為,四觀察者與波源同時(shí)相對(duì)于媒質(zhì)運(yùn)動(dòng),觀察者與波源同時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以將該運(yùn)動(dòng)分解為兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)的 疊加波源靜止，觀察者運(yùn)動(dòng)疊加波源運(yùn)動(dòng)而觀察者靜止,例：設(shè)原子靜止時(shí)所發(fā)射光波波長(zhǎng)為0 求：相對(duì)于原子以速度v的觀察者觀察到的光波波長(zhǎng) 解：光波與機(jī)械波的差別在于它不需要介質(zhì)傳播，而是自身傳 播，且光速恒為c。因此，影響觀察者測(cè)量的頻率只取決于 光源與觀察者之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)。 如圖，設(shè)觀察者以速度v相對(duì)于光源運(yùn)動(dòng)，為使討論具有一般 性，我們考慮相對(duì)論效應(yīng)。 設(shè)在靜止系中測(cè)量原子光譜的周期為T(mén)，則觀察者測(cè)得的周期,考慮到,可得,或,即：光線的傳播方向與相對(duì)運(yùn)動(dòng)的速度方