2.1-2.2 隨機變量及其分布.ppt

1、1,第二章,本章用定量的方法，從整體上來研究隨機現(xiàn)象.,隨機變量的分布和數(shù)字特征,2,隨機變量及其分布,第一節(jié),2.1 隨機變量及其概率分布,3,在公理化定義中，概率實際上是事件集與數(shù)集之間的映射，因而它不是函數(shù)，如此一來，許多先進(jìn)的數(shù)學(xué)方法，比如說微積分方法就不能用于概率。,一、隨機變量的概念和分類,如何克服這一缺點呢?,方法是：尋找一個點集，使之充當(dāng)“中途點”，讓樣本空間的事件集對應(yīng)于這個點集，然后再去研究這個點集與0，1區(qū)間的映射（即函數(shù)），這樣就為微積分方法用于概率鋪平了道路。,下面就向大家介紹這一方法,4,定義 設(shè)隨機試驗E的樣本空間是，若對于每一個樣本點（基本事件）, 有一個實數(shù)X

2、=X() 與之對應(yīng), 即X=X()是定義在上的單值實函數(shù)，由于是隨機事件，故稱X為 隨機變量(random variable, 簡記為r.v.).,X(),R,.,例1 拋一枚硬幣，觀察正反面的出現(xiàn)情況.,5,（1）在試驗之前只知道它可能取值的范圍，而不能預(yù)先肯定它將取哪個值.,（2）實值函數(shù)取每個值和每個確定范圍內(nèi)的值也有一定的概率.,隨機變量通常用大寫字母X,Y,Z或希臘字母 等表示.,隨機變量的兩條性質(zhì)：,6,隨機變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件. 引入隨機變量后，對隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的研究，就由對事件及事件概率的研究擴(kuò)大為對隨機變量及其取值規(guī)律的研究，并可以用數(shù)學(xué)分析的方法對隨機

3、試驗的結(jié)果進(jìn)行廣泛深入的研究和討論。,分類：實際中常研究的隨機變量有,7,二、隨機變量的分布函數(shù),為了對各類隨機變量作統(tǒng)一研究，下面給出既適合于離散型隨機變量又適合于連續(xù)型隨機變量的概念隨機變量的分布函數(shù)。,定義 設(shè)X為隨機變量，稱實函數(shù),為X的分布函數(shù)。,a,x,b,8,分布函數(shù)的基本性質(zhì)：,設(shè)X為離散型隨機變量，分布律為,則,9,例1,解,設(shè)隨機變量X的分布律為:,求X的分布函數(shù)F(x).,10,故,下面我們從圖形上來看一下.,11,分布函數(shù)的圖形,一般，離散型隨機變量的分布函數(shù)呈階梯形.,12,如果隨機變量 X 只取有限或可列無窮多個值，,三、離散型隨機變量的概率分布,則稱 X 為離散型

4、隨機變量.,對于離散型隨機變量，關(guān)鍵是要確定：,(1)所有可能的取值是什么？,(2)取每個可能值的概率是多少？,稱之為離散型隨機變量 X 的分布律或概率分布.,定義,13,或?qū)懗扇缦碌谋砀裥问剑?14,例1 袋中有2只藍(lán)球3只紅球，不放回抽取3只，記X為抽得的藍(lán)球數(shù)，求 X 的分布律.,X 可能取的值是0,1,2，,解,所以X的分布律為,或表示為,15,例2 設(shè)一汽車在開往目的地的路上需經(jīng)過三組信號燈，每組信號燈以0.5的概率允許或禁止汽車通過.以X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個數(shù)(設(shè)各盞信號燈的工作是相互獨立的)，求 X的概率分布.,依題意, X 可取值 0, 1, 2, 3.,設(shè)

5、 Ai=第i個路口遇紅燈, i=1,2,3,解,16,17,不難看出,所以 X 的分布列為,18,例3 在下列情形下，求其中的未知常數(shù)a，已知隨機變量的概率分布為：,解,(1) 由規(guī)范性,(2),19,例4 某人有 n 把鑰匙，僅有一把能打開門，隨機選一把試開，開后放回，直至打開為止，求第s次才打開門的概率.,解,開門次數(shù) X 服從幾何分布，,20,四、連續(xù)型隨機變量,則稱X為連續(xù)型隨機變量，其中f(x)稱為X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度.,由定義，根據(jù)高等數(shù)學(xué)變限積分的知識可知，連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù).,21,概率密度函數(shù) f(x)的基本性質(zhì)：,這兩條性質(zhì)是判定一個函數(shù) f(x)

6、是否為某隨機變量的概率密度的充要條件.,22,概率密度函數(shù)f(x)的其他性質(zhì)：,23,(5) 連續(xù)型隨機變量取任何一個指定值的概率為0（規(guī)定）.,即,推論 若 X 是連續(xù)型隨機變量, 則,而 X=c 并非不可能事件,稱A為幾乎不可能事件，B為幾乎必然事件.,可見，,由P(A)=0, 不能推出,由P(B)=1, 不能推出,24,例6 如果隨機變量 X 的概率密度為,稱 X 服從區(qū)間 a, b上的均勻分布，記作,由規(guī)范性知，,Uniform Distribution,求常數(shù)C,解：,25,這表明，X 取值于a,b內(nèi)的任一區(qū)間的概率與區(qū)間的長度成正比，而與該區(qū)間的具體位置無關(guān),這就是均勻分布的概率意

7、義.,26,例7 某公共汽車站從上午7時起，每15分鐘來一班車，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等時刻有汽車到達(dá)此站，如果乘客到達(dá)此站時間 X 是7:00 到 7:30 之間的均勻隨機變量, 試求他候車時間少于5 分鐘的概率.,27,解,依題意，,以7:00為起點 0 , 以分為單位 ，,為使候車時間少于 5 分鐘，乘客必須在 7:10 到 7:15 之間，或在7:25 到 7:30 之間到達(dá)車站.,所求概率為：,即乘客候車時間少于5 分鐘的概率是 1/3.,例7 某公共汽車站從上午7時起，每 15分鐘 來一班車，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等時刻 有汽車 到

8、達(dá)此站，如果乘客到達(dá)此站時間 X 是7:00 到 7:30 之間的均勻隨機變量, 試求他候車時間少于5 分鐘的概率.,28,解,29,30,例9,解,已知隨機變量 X 的概率密度函數(shù)為,確定系數(shù) A，并求 X 的概率分布函數(shù)F(x).,31,32,例10 三個同一種電氣元件串聯(lián)在一個電路中，元件的壽命是隨機變量(小時)，假設(shè)其概率密度為,且三個元件的工作狀態(tài)相互獨立試求，,(1) 該電路在使用了150小時后，三個元件都仍能正常工作的概率； (2) 該電路在使用了300小時后，至少有一個元件損壞的概率,33,解,(1) 該電路在使用了150小時后，三個元件都仍能正常工作的概率；,表示 “在使用了

9、150個小時后，第k個元件仍然能正常工作 ”：,34,解,(2) 該電路在使用了300小時后，至少有一個元件損壞的概率,35,例11 已知連續(xù)型隨機變量 X 的分布函數(shù)為：,解,稱具有上述分布的隨機變量為服從柯西分布.,36,第二章練習(xí)：,*一、16；三、1、，2，3,習(xí)題二（ P77） 1、2、3、4、9、13、14、15、16、18、19、20、22、23、26、27、29、31、34、40、41、47、52、53、55、62、63、66、68、69、70、72,問題： 設(shè)隨機變量 X 的分布已知，如何求連續(xù)函數(shù)Y = g (X) 的分布？ 方法：分離散型與連續(xù)型研究.,第二節(jié) 隨機變量函

10、數(shù)的分布,37,38,一、離散型隨機變量函數(shù)的分布,例1 設(shè)隨機變量 X 的概率分布為,解,求 2X+1 及 X 2 的概率分布.,39,例1 設(shè)隨機變量 X 的概率分布為,解,求 2X+1 及 X 2 的概率分布.,注意：取值相同的概率應(yīng)相加.,40,如果 g(xk) 中有一些是相同的, 把它們作適當(dāng)并項 即可.,一般，若X是離散型隨機變量，X 的概率分布為,則 Y = g (X) 的概率分布為,二、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布,41,步驟(方法如下)：,定理2.1，2.2：,42,43,例2 設(shè)隨機變量 X 具有概率密度,解,求隨機變量 Y = 2X + 8 的概率密度.,設(shè) X, Y 的分布函數(shù)為 FX(x), FY(y),于是 Y 的密度函數(shù)為,44,45,例3,解,設(shè) X 具有概率密度 ,求Y=X 2的概率密度.,求導(dǎo)可得,注意到,設(shè)X,Y的分布函數(shù)為 FX(x), FY(y),略,46,則 Y=X 2 的密度為,其概率密度為,2 分布簡介,47,47,注：,稱 X 服從自由度為 n 的 2 分布.,48,例4,解,所以,綜上所述，有,設(shè)隨機變量 X 的概