2第二節(jié)根軌跡繪制的基本準(zhǔn)則.ppt

1、第二節(jié) 根軌跡繪制的基本準(zhǔn)則,繪制根軌跡的幾種方法：,1、解析法,2、試探法,3、開環(huán)零極點法,2、根軌跡的對稱性： 一般物理系統(tǒng)特征方程的系數(shù)是實數(shù)，其根必為實根或共軛復(fù)根。即位于復(fù)平面的實軸上或?qū)ΨQ于實軸。,兩個特性：,根軌跡的連續(xù)性和對稱性,1、根軌跡的連續(xù)性： 閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的某些系數(shù)是增益 的函數(shù)。當(dāng) 從0到無窮變化時，這些系數(shù)是連續(xù)變化的。故特征方程的根是連續(xù)變化的，即根軌跡曲線是連續(xù)曲線。,研究的對象：是針對參數(shù) 的180度根軌跡。,根軌跡方程為：,2、根軌跡的起點和終點：,根軌跡方程為：,時為起點， 時為終點。,根軌跡的支數(shù)和起始點,1、根軌跡的支數(shù)： n階特征方程有n個根。

2、當(dāng) 從0到無窮大變化時，n個根在復(fù)平面內(nèi)連續(xù)變化組成n支根軌跡。即根軌跡的支數(shù)等于系統(tǒng)階數(shù)。,當(dāng) 時，只有 時，上式才能成立。而 是開環(huán)傳遞函數(shù)的極點，所以根軌跡起始于開環(huán)極點。n階系統(tǒng)有n個開環(huán)極點，分別是n支根軌跡的起點。,繪制根軌跡的基本準(zhǔn)則,我們稱系統(tǒng)有n-m個無限遠(yuǎn)零點。有限值零點加無窮遠(yuǎn)零點的個數(shù)等于極點數(shù)。,那么，n-m支根軌跡是如何趨于無限遠(yuǎn)呢？,根軌跡的起點和終點,當(dāng) 時， ，上式成立。 是開環(huán)傳遞函數(shù)有限值的零點，有m個。故n階系統(tǒng)有m支根軌跡的終點在m個有限零點處。若nm，那么剩余的n-m個終點在哪里呢？在無窮遠(yuǎn)處。 由根軌跡方程知：當(dāng) 時,根軌跡的漸近線,3.根軌跡的漸

3、近線：,若開環(huán)零點數(shù)m小于開環(huán)極點數(shù)n，則當(dāng)系統(tǒng)的開環(huán)增益Kg時趨向無窮遠(yuǎn)處的根軌跡共有n-m條。這n-m條根軌跡趨向無窮遠(yuǎn)的方位可由漸近線決定。,由根軌跡方程可得：,式中 ，,根軌跡的漸近線,這是與實軸交點為s，斜率為 的直線方程。也就是漸近線方程。漸近線與實軸的夾角(稱為漸近線的傾斜角)為,3.根軌跡的漸近線：,漸近線包括兩個內(nèi)容：漸近線的傾角和漸近線與實軸的交點。,傾角：設(shè)根軌跡在無限遠(yuǎn)處有一點 ，則s平面上所有的開環(huán)有限零點和極點到 的相角都相等，即為漸近線的傾角 。代入根軌跡的相角條件得：,根軌跡漸近線的傾角,幅值條件：,根軌跡漸進(jìn)線與實軸的交點,根軌跡漸進(jìn)線與實軸的交點,例4-2系

4、統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為： ，試確定根軌跡支數(shù)，起點和終點。若終點在無窮遠(yuǎn)處，求漸近線與實軸的交點和傾角。,漸近線與實軸的交點：,漸近線與實軸的傾角：,零極點分布和漸近線（紅線）如圖所示。,4、實軸上的根軌跡：,實軸上具有根軌跡的區(qū)間是：其右方開環(huán)系統(tǒng)的零點數(shù)和極點數(shù)的總和為奇數(shù)。,證明：例如在實軸上有兩個開環(huán)極點p1、p2，復(fù)平面上有一對共軛極點p3、 p4和一對共軛零點z1、 z2 。,先看試驗點s1點：,所以s1點滿足根軌跡相角條件，于是p2 ,p1為實軸上的根軌跡。,實軸上的根軌跡,成對出現(xiàn)的共軛零點z1、 z2對實軸上任意試探點構(gòu)成的兩個向量的相角之和為0；,試探點左邊的極點p2對試探點構(gòu)成

5、的向量的相角為0；,試探點右邊的極點p1對試探點構(gòu)成的向量的相角為180；,再看s2點：不滿足根軌跡相角條件，所以不是根軌跡上的點。,成對出現(xiàn)的共軛極點p3、 p4對實軸上任意試探點構(gòu)成的兩個向量的相角之和為0；,同樣s3點也不是根軌跡上的點。,例4-3設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： 試求實軸上的根軌跡。,解：零極點分布如下：,紅線所示為實軸上根軌跡，為：-10，-5和-2，-1 。注意在原點有兩個極點，雙重極點用“ ”表示。,實軸上的根軌跡例題,5、根軌跡的會合點和分離點：,若干根軌跡在復(fù)平面上某一點相遇后又分開，稱該點為分離點或會合點。,實軸上的會合點和分離點,如圖所示某系統(tǒng)的根軌跡，由開環(huán)極點

6、 出發(fā)的兩支根軌跡，隨著 的增大在實軸上A點相遇再分離進(jìn)入復(fù)平面。隨著 的繼續(xù)增大，又在實軸上B點相遇并分別沿實軸的左右兩方運動。當(dāng) 時，一支根軌跡終止于 另一支走向 。A、B點稱為根軌跡在實軸上的分離點和會合點。,5、根軌跡的會合點和分離點：,若干根軌跡在復(fù)平面上某一點相遇后又分開，稱該點為分離點或會合點。,一般說來，若實軸上兩相鄰開環(huán)極點之間有根軌跡，則這兩相鄰極點之間必有分離點； 如果實軸上相鄰開環(huán)零點（其中一個可為無窮遠(yuǎn)零點）之間有根軌跡，則這相鄰零點之間必有會合點。 如果實軸上根軌跡在開環(huán)零點與開環(huán)極點之間，則它們之間可能既無分離點也無會合點，也可能既有分離點也有會合點。,實軸上的會

7、合點和分離點,分離點和會合點的求法：重根法和求極值法。,重根法：根軌跡在實軸上的分離點或會合點表示這些點是閉環(huán)特征方程的重根點。,設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：,即,分離角：在分離點或會合點上，根軌跡的切線和實軸的夾角稱為分離角 。 與相分離的根軌跡的支數(shù)k有關(guān)： 。,實軸上的會合點和分離點的求法,因閉環(huán)特征方程為：,設(shè) 時，特征方程有重根 ，則必同時滿足,由此得：,即：,實軸上的會合點和分離點的求法,注意：由上式可求得的點是分離點和會合點必要條件，還需求出這些點對應(yīng)的增益，若增益為大于零的實數(shù)，則所求出的點為分離會合點。,極值法：若以Kg為縱坐標(biāo)，以實軸為橫坐標(biāo)，在根軌跡的分離點和會合點上，Kg具有

8、極值。,實軸上的會合點和分離點的求法,即,實軸上根軌跡區(qū)間是：,注意：分離點和會合點也可能出現(xiàn)在復(fù)平面上，由于根軌跡對稱于實軸，所以，復(fù)平面上的分離點和會合點必對稱于實軸。,顯然，分離回合點為-0.4725，而-3.5275不是分離回合點。,閉環(huán)特征方程為：,6、根軌跡的出射角和入射角：,當(dāng)開環(huán)零、極點處于復(fù)平面上時，根軌跡離開的出發(fā)角稱為出射角；根軌跡趨于復(fù)零點的終止角成為入射角。,圖中有四個開環(huán)極點，一個開環(huán)零點。 為共軛極點，現(xiàn)計算 的出射角。設(shè)為 。,在離開 附近的根軌跡上取一點s1,則s1點應(yīng)滿足相角條件：,當(dāng) 時， 即為離開根軌跡上 的出射角， ，則：,根軌跡的出射角和入射角,式中

9、： 為除了 以外的開環(huán)極點到 的矢量的相角； 為開環(huán)零點到 的矢量的相角。,同樣，進(jìn)入復(fù)零點 的根軌跡入射角 為：,式中： 為除了 以外的開環(huán)零點到 的矢量相角； 為各開環(huán)極點到 的矢量相角。,的出射角應(yīng)與 的出射角關(guān)于實軸對稱。,根軌跡的出射角和入射角,例4-5如圖，試確定根軌跡離開復(fù)數(shù)共軛極點的出射角。,解：,根據(jù)對稱性，可知 點的出射角為：,請根據(jù)相角條件自行計算。,7、根軌跡和虛軸的交點：,根軌跡和虛軸相交時，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。則閉環(huán)特征方程至少有一對共軛虛根。這時的增益 稱為臨界根軌跡增益。,交點和 的求法：,在閉環(huán)特征方程中令 ，然后使特征方程的實、虛部為零即可求出 和 。,由

10、勞斯穩(wěn)定判據(jù)求解。,根軌跡和虛軸的交點,方法一：閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：,將 代入得：,例4-6開環(huán)傳遞函數(shù)為： ，試求根軌跡與虛軸的交點和 。,當(dāng) 時， 為根軌跡的起點（開環(huán)極點）,當(dāng) 時， ，即根軌跡與虛軸的交點為 。,方法二：用勞斯穩(wěn)定判據(jù)確定 的值。,勞斯陣列為：,勞斯陣列中某一行全為零時，特征方程可出現(xiàn)共軛虛根。勞斯陣列中可能全為零的行有二。,共軛虛根為輔助方程 的根。,1、令 ，得臨界增益為：,2、令 ，得 （開環(huán)極點）。,8、閉環(huán)系統(tǒng)極點之和與之積：,開環(huán)傳遞函數(shù)為：,閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為： ，即：,(1),設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的極點為： ，則,(2),閉環(huán)系統(tǒng)極點之和與之積,比較（1）、（

11、2）式得：,當(dāng)n-m=2時， ，即：,閉環(huán)極點之積為：,根據(jù)上述8個性質(zhì)（或準(zhǔn)則），可以大致畫出根軌跡的形狀。為了準(zhǔn)確起見，可以用相角條件試探之。,閉環(huán)系統(tǒng)極點之和與之積,當(dāng)有為零的開環(huán)極點：,根軌跡作圖步驟,一、標(biāo)注開環(huán)極點和零點，縱橫坐標(biāo)用相同的比例尺； 二、實軸上的根軌跡； 三、n-m條漸近線； 四、根軌跡的出射角、入射角； 五、根軌跡與虛軸的交點； 六、根軌跡的分離點、會合點； 結(jié)合根軌跡的連續(xù)性、對稱性、根軌跡的支數(shù)、起始點和終點，閉環(huán)極點與閉環(huán)極點之和及之積等性質(zhì)畫出根軌跡。,漸近線,例開環(huán)傳遞函數(shù)為： ，畫根軌跡。,出射角 ，,求與虛軸的交點，此時特征方程為,解：求出開環(huán)零極點，

12、即：,實軸上的根軌跡：(，0,將 代入得：,求分離會合點：由特征方程,由圖知這兩點并不在根軌跡上，所以并非分離會合點，這也可將 代入得 為復(fù)數(shù)。,漸近線,例開環(huán)傳遞函數(shù)為： ，畫根軌跡。,出射角 ，,求與虛軸的交點，此時特征方程為,解：求出開環(huán)零極點，即：,實軸上的根軌跡：(，0,將 代入得：,求分離會合點：由特征方程,由圖知這兩點都在根軌跡上，所以都是分離會合點。,例開環(huán)傳遞函數(shù)為： ，畫根軌跡。,實軸上根軌跡區(qū)間是：-2，0；,漸進(jìn)線傾角： 與實軸的交點為：,解 ：標(biāo)出四個開環(huán)極點：0，-2， 。有四條根軌跡。,-3+4j處的出射角 ：,根據(jù)對稱性，可知-3-j4處的出射角 為：,當(dāng)勞斯陣某一行全為零時，有共軛虛根。這時， 。,會合點與分離點（重根點）：分離角為,由 得：,由上式可求出分離點。但高階方程求解困難，可采用下述近似方法：,我們知道，分離點在負(fù)實軸-2，0區(qū)間上，所以當(dāng)s在實數(shù)范圍內(nèi)變化時， 最大時為分離點。,可見分離點在-0.8-1.0之間，近似取-0.9。,繪制根軌跡，如下圖所示。,實軸上根軌跡區(qū)間：,繪制根軌