彎曲工程力學基礎（化工設備機械基礎）.ppt

1、第四章 彎曲,4-1 剪力和彎矩 4-2 剪力圖和彎矩圖 4-3 純彎曲時梁橫截面上的正應力 4-4 慣性矩的計算 4-5 彎曲正應力的強度條件,一、彎曲的概念和實例,彎曲桿件受到垂直于桿的軸線的外力即橫向力或受到位于桿軸平面內的外力偶作用時，桿的軸線由直線彎成曲線。,梁以彎曲為主要變形的桿件。,4-1 剪力和彎矩,臥式容器,工程中常見的梁，其橫截面均有對稱軸，例如：,M,彎曲后梁的軸線 （撓曲線）,平面彎曲梁的撓曲線與載荷作用面共面。,縱向對稱面通過梁軸線和截面對稱軸的平面。,均勻分布載荷,線性（非均勻）分布載荷,集中力偶 T,載荷集度 q(N/m),二、梁的類型,1、梁載荷的分類,固定鉸支

2、座 (pin support),滾動鉸支座 (roller support),固定支座（fixed support),支座種類,支座反力,2、靜定梁的種類,靜定梁：梁的所有支座反力均可由靜力平衡方程確定。 分類： 簡支梁 懸臂梁 外伸梁,車床主軸示意圖,三、剪力和彎矩,求彎曲內力（剪力和彎矩）的基本方法截面法,剪力Q 使截面不產生移動 彎矩M 使截面不產生轉動,設有一簡支梁AB，受集中力F 作用?，F(xiàn)分析距A端為x 處的橫截面m-m上的內力。,解：1、根據(jù)平衡條件求支座反力,2、截取m-m截面左段。,如截取m-m截面右段梁:由作用力與反作用力，得,3、根據(jù)變形規(guī)定內力符號：,同一位置處左、右側截

3、面上內力分量必須具有相同的正負號。, 內力正負號規(guī)則：,梁的左側截面上向上的剪力為正，梁的右側截面上向下的剪力為正，反之則為負。概括為“左上右下，剪力為正”。,剪力Q：,或者:,梁的左側截面上順時針方向轉動的彎矩或梁的右側截面上逆時針方向轉動的彎矩為正，反之則為負。概括為“左順右逆，彎矩為正”。,彎矩M：使梁彎曲呈凹形的彎矩為正，反之則為負。,例4-1 一簡支梁受力如圖所示。試求C截面（跨中截面）上的內力。,解： 1、根據(jù)平衡條件求支座反力,2、求C截面（跨中截面）上的內力,（剪力QC的實際方向與假設方向相反，為負剪力）,（彎矩M的實際方向與假設方向相同，為正彎矩）,如以右側梁作為研究對象，則

4、：,取左段梁為研究對象:,取右段梁為研究對象:,截面左側（或右側）梁上的所有外力向截面形心簡化所得到的主矢。,截面左側（或右側）梁上的所有外力（力和力偶）向截面形心簡化所得到的主矩。,取左段梁為研究對象:,取右段梁為研究對象:,梁任意橫截面上的剪力，數(shù)值上等于該截面任一側所有外力的代數(shù)和。,梁任意橫截面上的彎矩，數(shù)值上等于該截面任一側所有外力對該截面形心力矩的代數(shù)和。,另一種方法：,解： 1、根據(jù)平衡條件求支座反力,例4-2 一外伸梁受力如圖所示。試求C截面、B左 截面和B右 截面上的內力。,2、求指定橫截面上的剪力和彎矩,C截面：,B左 截面：,B右 截面：與B左截面相比，該截面的內力只增加

5、了約束反力FBy，故有：,練習：求A截面右側、B截面左右側的剪力和彎矩。,解：（1）計算支反力,(負號表明力方向與標注相反）,（2）計算各截面內力,A右截面,B左截面,B右截面,在一般情況下，梁橫截面上的剪力和彎矩隨截面的位置而變化。因此，剪力和彎矩均可表示為截面位置x 的函數(shù)，即,稱為剪力方程和彎矩方程。,4-2剪力圖和彎矩圖,一、剪力圖和彎矩圖,* 在載荷無突變的一段桿的各截面 上內力按相同的規(guī)律變化。,因此，必須分段列出梁的剪力方程和彎矩方程，各段的分界點為各段梁的控制截面。,控制截面的概念：外力規(guī)律發(fā)生變化的截面集中力、集中力偶作用點、分布載荷的起點和終點處的橫截面。,剪力圖和彎矩圖用

6、圖示方法形象地表示剪力和彎矩沿梁軸線的變化情況。,注意：必須標明控制截面上的內力值,例4-3 懸臂梁受力如圖所示。試列出梁的剪力方程和彎矩方程，作出梁的剪力圖和彎矩圖，并求出梁的|Q|max 和|M|max 及其所在截面位置。,解：取參考坐標系Axy。,1、列出梁的剪力方程和彎矩方程,AB段:,BC段:,2、作梁的剪力圖和彎矩圖,3、求|Q|max 和|M|max,|Q|max =P（在BC段的各截面）,|M|max=Pa （在AB段的各截面）,注意：,1、在列梁的剪力方程和彎矩方程時，參數(shù)x可以從坐標原點算起，也可從另外的點算起，僅需要寫清楚方程的適用范圍（x的區(qū)間）即可。 2、剪力、彎矩方

7、程的適用范圍，在集中力（包括支座反力）作用處，Q(x)應為開區(qū)間，因在該處剪力圖有突變；而在集中力偶作用處，M(x)應為開區(qū)間，因在該處彎矩圖有突變。 3、若所得方程為x的二次或二次以上方程時，則在作圖時除計算控制截面的值外，應注意曲線的凹凸向及其極值。,例4-4 外伸簡支梁受力如圖所示。試列出梁的剪力方程和彎矩方程，作出梁的剪力圖和彎矩圖。,解：1、取參考坐標系Cxy。根據(jù)平衡條件求支座反力,2、列出梁的剪力方程和彎矩方程,CA段:,AB段 :,3、作梁的剪力圖和彎矩圖,彎矩、剪力和分布載荷集度之間的關系,由此式知：剪力圖曲線上一點處的斜率等于梁上相應點處的載荷集度q。,AB段：,彎矩、剪力

8、和分布載荷集度之間的關系,AB段：,由此式知：彎矩圖曲線上一點的斜率等于梁上相應截面處的剪力Q 。,彎矩、剪力和分布載荷集度之間的關系,由此式知：彎矩圖曲線上某點處的凹凸方向由梁上相應點處的載荷集度q的符號決定。,彎矩、剪力和分布載荷集度之間的關系,內力Q 、M 的變化規(guī)律,歸納如下：,載荷,水平直線,or,or,上斜直線,上凸 拋物線,下凸 拋物線,下斜直線,(剪力圖 無突變),F處有尖角,斜直線,彎矩、剪力和分布載荷集度之間的關系,例4- 5 一外伸梁受力如圖所示。試作梁的剪力圖、彎矩圖。,解： 1、根據(jù)平衡條件求支座反力,2、由微分關系判斷各段的Q、M形狀。,載荷,CA,DB,AD,斜直

9、線,斜直線,3、作Q-圖。,4、作M-圖。,(-),-3kN,4.2kN,-3.8kN,(+),(-),-3kNm,(-),E,x,-2.2kNm,(-),3.8kNm,(+),(+),例4-6 已知靜定組合梁受力如圖所示。試作梁的剪力圖、彎矩圖。,斜直線,斜直線,例4-7 試求如圖所示臥式容器在物料重量和自重作用下的彎矩圖，并討論支座位置對最大彎矩的影響。設該容器全長為l，兩支座距兩端封頭的距離為a。,解：由兩個鞍座支承的臥式容器可簡化為一外伸梁，由于物料重和容器自重基本上是均勻分布在容器全長上，所以可將它們簡化為均布載荷，其載荷集度設為q。,1、求支座反力由于梁受力對稱，故,2、列彎矩方程

10、,(-),(-),(+),3、作彎矩圖,4、支座位置對最大彎矩的影響,欲使容器受力情況最好，就必須適當選擇a與l的比例，顯然應使外伸段和中間段的兩個最大彎矩的絕對值相等，也就是支座處截面的彎矩與梁跨中點截面處彎矩應相等，即,可知，當a=0.207l時，支座處與梁跨中點處彎矩相等，同為危險截面，其最大彎矩為,當a0.207l，危險截面將位于x=a處，即兩支座處，其最大彎矩為 當a0.207l，危險截面將位于x=l/2處，即梁跨中點截面處，其最大彎矩為 其極端情況是支座移至兩端，即a=0，外伸梁轉化為簡支梁，此時跨中點處的最大彎矩為 比a=0.207l時的最大彎矩增大約6倍。,習題: 一靜定組合梁

11、受力如圖所示。試作梁的剪力圖、彎矩圖。,4-3 純彎曲時梁橫截面上的正應力,純彎曲梁彎曲變形時，橫截面上只有彎矩而無剪力（M0，Q=0）。,橫力彎曲梁彎曲變形時，橫截面上既有彎矩又有剪力（M0， Q0 ）。,純彎曲和橫力彎曲, 正應力分析方法,1. 外力分析（確定約束反力） 2. 內力分析（繪剪力圖、彎矩圖） 3. 平面假定與變形協(xié)調方程 4. 應變分布與應力分布 5. 應用靜力學方程確定待定常數(shù) 6. 正應力表達式,一、平面假設和變形幾何關系,1、實驗觀察: 研究對象：等直細長對稱截面梁 前提：(a)小變形在彈性變形范圍內， (b)滿足平面彎曲條件， （c）純彎曲。,橫線仍是直線，但發(fā)生相對

12、轉動，仍與縱線正交 縱線彎成曲線，且梁的下側伸長，上側縮短,凹邊縮短,凸邊伸長,中性層桿件彎曲變形時，其縱向線段既不伸長又不縮短的曲面。 中性軸中性層與橫截面的交線。,中性軸,中性層,中性軸,2、假設推論,平面假設橫截面變形后保持為平面，只是繞中性軸旋轉了一角度，且仍垂直于梁變形后的軸線。 纖維互不擠壓假設縱向纖維只是受到拉伸或壓縮，互相間無擠壓作用。 推論： 純彎曲時梁的變形本質上是拉伸或壓縮變形，而非剪切變形。 橫截面上只有正應力無剪應力。, 中性層O1O2的曲率半徑， O 曲率中心， y 任意縱向纖維至中性層的距離,縱向纖維bb:,變形前,變形后,3、變形幾何關系,所以縱向纖維bb的應變

13、為:,橫截面上距中性軸為y處的軸向變形規(guī)律。,(a),在線彈性范圍內，應用虎克定律,(b),對一定材料、一定截面，E、為常數(shù)，,橫截面上某點處的應力與此點距中性軸的距離y成正比。,二、物理關系和應力分布,將(b)式代入，得,因此 z 軸通過截面形心，即中性軸通過形心。,(c),三、靜力學關系,微內力dA對z軸之矩的總合構成了橫截面上的彎矩，故,(d),橫截面對z軸的慣性矩,EIz， ，梁愈不易變形， 故EIz稱為梁的抗彎剛度。,正應力的計算公式為,橫截面上最大正應力為,表明，正應力沿截面高度線性分布，在中性軸上各點的正應力為零，在中性軸一側受拉，一側受壓。,截面的抗彎截面模量，反映了截面的幾何

14、形狀、尺寸對強度的影響。,注意：,（1）在計算正應力前，必須弄清楚所要求的是哪個截面上的正應力，從而確定該截面上的彎矩及該截面對中性軸的慣性矩；以及所求的是該截面上哪一點的正應力，并確定該點到中性軸的距離。 （2）要特別注意正應力在橫截面上沿高度呈線性分布的規(guī)律，在中性軸上為零，而在梁的上下邊緣處正應力最大。,（3）梁在中性軸的兩側分別受拉或受壓，正應力的正 負號（拉或壓）可根據(jù)彎矩的正負及梁的變形狀態(tài)來 確定。 （4）必須熟記矩形截面、圓形截面對中性軸的慣性矩的計算式。,彎曲正應力公式的適用范圍：,當梁的寬高比 l/h5 時，剪力影響很小，工程上常用梁往往 l/h5，故橫力彎曲仍可適用。 完

15、全適用于具有縱向對稱面的其它截面形狀的梁。注：若中性軸不是橫截面的對稱軸，如槽形截面，則橫截面將有兩個Wz值。 只有當梁的材料服從虎克定律，而且在拉伸或壓縮時的彈性模量相等的條件下才能應用。,1、矩形截面,豎放：,平放：,4-4 慣性矩的計算,一、簡單截面圖形的慣性矩,2、圓形及圓環(huán)形截面,圓形：,圓環(huán)形：,二、組合截面的慣性矩、平行移軸公式,對組合截面，設其面積為A，各組成部分的面積為A1、A2、A3，則由慣性矩定義：,平行移軸公式,z軸通過截面形心C，故yc=0，因此,同理,平行移軸公式，表示截面對任一軸的慣性矩，等于它對平行于該軸的形心軸的慣性矩，加上截面面積與兩軸間距離平方的乘積。,平

16、行移軸公式,注意：,（1）兩平行軸中，必須有一軸為形心軸，截面對任意兩平行軸的慣性矩間的關系，應通過平行的形心軸慣性矩來換算; （2）截面圖形對所有平行軸的慣性矩中，以對通過形心軸的慣性矩最小。,C,例4-8 T字形截面，求其對形心軸 z 的慣性矩。,解: 可將T字形截面看作由兩個矩形組成，它們對各自形心軸的慣性矩分別為：,按平行移軸定理，分別求出每個矩形對z軸的慣性矩Izi，然后求和，就得到T字形截面對z軸的慣性矩Iz。,用Iz1 和Iz2 分別表示水平矩形和豎直矩形對z軸的慣性矩，可得：,可解決三方面問題： (1)強度校核，即已知Mmax，Wz，檢驗梁是否安全； (2)設計截面，即已知Mm

17、ax，可由 確定截面的尺寸； (3)求許可載荷，即已知，可由 MmaxWz 確定Wz 。,4-5 彎曲正應力的強度條件,注意：,（1）如橫截面不對稱于中性軸時，將產生兩個抗彎截面模量Wz1和Wz2，抗彎截面模量越小，正應力就越大。所以，應取兩者中的小值代入計算。 （2）當材料拉壓強度不同時（如鑄鐵等脆性材料），則應分別列出抗拉強度和抗壓強度條件，即,式中Wz1和Wz2分別是相應于最大拉應力smax拉 和最大壓應力smax壓 的抗彎截面模量。,例4-9 一簡支梁受力如圖示。已知=12MPa，空心圓截面的內外徑之比a = d/D=0.8 ，試選擇截面直徑 D；若外徑 D增加一倍，比值 不變，則載荷 q 可增加到多大？,(+),解：,由強度條件,若外徑D 增加一倍，則 ，由強度條件，得,例4-10 圖示T 形截面外伸梁，用鑄鐵制成，已知：試校核梁的強度。,解：（1）梁的內力分析，找出危險截面,10kNm,20kNm,(-),(+),包含反力的全部外載荷,畫彎矩圖,危險截面： B, D？,（2）找出危險截面上的危險點,危險點： a, b, d,（3）計算危險點應力、校核強度,最