七年級數(shù)學(xué)下冊 1.7 平方差公式教案（一） 北師大版

1、1.7平方差公式（一） 本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習了單項式乘法、單項式與多項式乘法及多項式乘法之后的一節(jié)課。從知識上來講，實際上不是新知識，而是上一節(jié)整式乘法的一個特例。因而可以引導(dǎo)學(xué)生在已有整式乘法知識的基礎(chǔ)上，歸納這一乘法結(jié)果的普遍性，讓學(xué)生明確這一公式來源于整式乘法。除了從代數(shù)角度來認識這個公式之外，還要引導(dǎo)學(xué)生理解這個乘法公式的幾何背景，可以加深學(xué)生對這個乘法公式的直觀印象，體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法。學(xué)生前面已經(jīng)學(xué)習了整式乘法，對多項式乘法法則的形成及幾何意義有一定的了解，這對學(xué)習本節(jié)課的知識有一定的幫助。相信，在問題的引導(dǎo)下，學(xué)生應(yīng)該和樂意用自己已學(xué)的知識來發(fā)現(xiàn)新的結(jié)論，學(xué)習新的知識。這一

2、點是與新課程標準中讓學(xué)生經(jīng)歷知識形成過程的要求相符的。但是對學(xué)生來說，如何從項的角度來理解平方差公式的特征，以區(qū)別與其他多項式相乘的算式會有一定的困難，再加上要學(xué)生用圖形來解釋所得的乘法公式，要求有點高，估計學(xué)生會需要老師的幫助。義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)新課程標準明確指出：數(shù)學(xué)教學(xué)活動必須建立在認識發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗的基礎(chǔ)之上。強調(diào)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，創(chuàng)設(shè)有助于學(xué)生自主學(xué)習的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生通過實踐、思考、探索、交流、獲得知識，從而更好地理解數(shù)學(xué)知識的意義，掌握必要的基礎(chǔ)知識與基本技能，發(fā)展應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的意識和能力，增強學(xué)好數(shù)學(xué)的信。平方差公式第一課時教學(xué)設(shè)計說明一、教學(xué)任務(wù)分析一方面

3、由于本課內(nèi)容的特點所決定，運用平方差公式的關(guān)鍵是認清兩個多項式相乘是否具有(a+b)(a-b)的形式，由于兩個多項式相乘的形式復(fù)雜多變，學(xué)生較易被假象所述惑，另一方面學(xué)生初學(xué)公式只有原始的換元思想，有些同學(xué)多項式相乘還不夠熟練，我校生源不夠好. 由此，根據(jù)課標要求，我確定本節(jié)課的目的如下：(1)知識與技能：經(jīng)歷探索平方差公式的過程，進一步發(fā)展符號感和推理能力;會推導(dǎo)平方差公式，并能運用公式進行簡單的計算。(2)過程與方法：通過創(chuàng)設(shè)問題情境，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)活動中建立平方差公式模型，感受數(shù)學(xué)公式的意義和作用。(3)情感與態(tài)度：讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)既來源于生活實際，又是解決生活中許多問題的工具，從而促使學(xué)

4、生熱愛數(shù)學(xué).二、教學(xué)設(shè)計分析本節(jié)課的設(shè)計理念是：遵循“教學(xué)、學(xué)習、研究”同步協(xié)調(diào)的原則，重組教材，恰當?shù)貏?chuàng)設(shè)情境、激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的好奇心和求知欲，通過獨立思考，不斷發(fā)現(xiàn)和提出問題，分析并創(chuàng)造性地解決問題，教師為學(xué)生構(gòu)建開放的學(xué)習環(huán)境引導(dǎo)學(xué)生體驗探索、研究的過程，通過學(xué)生的再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造活動，體驗“數(shù)學(xué)化”的過程，使學(xué)生在領(lǐng)悟數(shù)學(xué)對象本質(zhì)的同時，真正經(jīng)歷知識的“生長過程”.讓學(xué)生在探究合作交流的過程中，展示思維過程，讓學(xué)生的思維全過程得到充分暴露，學(xué)生在再發(fā)現(xiàn)、再發(fā)明的過程中，思維火花發(fā)生強烈碰撞，數(shù)學(xué)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)、生成為自然的事情.第一環(huán)節(jié) 發(fā)現(xiàn)特征、探索規(guī)律，親歷建構(gòu)過程。活動內(nèi)容：我們已經(jīng)學(xué)

5、過了多項式的乘法，兩個二項式相乘，在合并同類項前應(yīng)該有幾項?合并同類項以后，積可能會是三項嗎?積可能是二項嗎?請舉出例子讓學(xué)生動腦、動筆進行探討，并發(fā)表自己的見解，教師根據(jù)學(xué)生的回答，引導(dǎo)學(xué)生進一步思考：兩個二項式相乘，乘式具備什么特征時，積才會是二項式?為什么具備這些特點的兩個二項式相乘，積會是兩項呢?而它們的積又有什么特征?(當乘式是兩個數(shù)之和以及這兩個數(shù)之差相乘時，積是二項式這是因為具備這樣特點的兩個二項式相乘，積的四個項中，會出現(xiàn)互為相反數(shù)的兩項，合并這兩項的結(jié)果為零，于是就剩下兩項了而它們的積等于乘式中這兩個數(shù)的平方差)學(xué)生思考后出示題目，看誰算得快：(1) (x+2)(x-2)(2

6、) (1+3a)(1-3a)(3) (x+5y)(x-5y)(4) (-m+n)(-m-n)提出問題：你們能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？在多項式的乘法中，對于某些特殊形式的多項式相乘，我們把它寫成公式，并加以熟記，以便遇到類似形式的多項式相乘時就可以直接運用公式進行計算以后經(jīng)常遇到(a+b)(a-b)這種乘法，所以把(a+b)(a-b)a2-b2作為公式，叫做乘法的平方差公式在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生用語言敘述公式.總結(jié)公式結(jié)構(gòu)特征: (1) 公式左邊兩個二項式必須是相同兩數(shù)的和與差相乘；相同兩數(shù)的和與差相乘；且左邊兩括號內(nèi)的第一項相等、第二項符號相反互為相反數(shù)(式);(2) 公式右邊是這兩個數(shù)的平方差；即右邊是左

7、邊括號內(nèi)的第一項的平方減去第二項的平方. (3) 公式中的 a和b 可以代表數(shù)，也可以是代數(shù)式活動目的：在這設(shè)計過程中，我充分考慮發(fā)揮的學(xué)生主體作用。首先，這節(jié)課的主題兩數(shù)和與兩數(shù)差的積等于兩數(shù)的平方差及其特點，應(yīng)該由學(xué)生發(fā)現(xiàn)得出結(jié)論。其次，學(xué)生的活動不能停留在簡單的、機械的操作活動上，而是要立足于復(fù)雜的思維活動，學(xué)生根據(jù)公式特點，自己去尋找對象，發(fā)散性大，這樣學(xué)生的創(chuàng)造的自由度大，使得在這過程中，學(xué)生一方面要動用他全部的知識經(jīng)驗；另一方面，要運用許多思維操作，如比較、類比、觀察、想象、分析、綜合等等。第三，教師隨著學(xué)生的思路，及時的加以引導(dǎo)，而不是把學(xué)生的思路、想法，強拉到自己的思路上來，這

8、也是由數(shù)學(xué)教學(xué)的特點決定的。將“兩個二項式相乘，積可能有幾項”的問題作為課題引入，目的是激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣，使學(xué)生能在兩個二項式相乘其積可能為四項、三項、兩項中找出積為兩項的特征，上升到一定的理論認識，加以實踐檢驗，從而培養(yǎng)學(xué)生觀察、概括的能力第二環(huán)節(jié) 運用知識，解決問題，形成數(shù)學(xué)意識?；顒觾?nèi)容：（1）直接運用新知，解決第一層次問題。例1計算：(2x +3 ) (2x3) (2 a +3b ) (2 a3b) （ 1 + 2a ） ( 1 2a)（2）間接運用新知，解決第二層次問題。例2計算：(2x +3 ) (3+2x) (3b+2a) (2 a3 b) 例3計算：(-4a-1)(-4a+1

9、)活動目的：教學(xué)不僅使學(xué)生掌握在日常生活和進一步學(xué)習所必需的最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)知識和基本技能，還要在學(xué)生獲取知識和技能的同時，激發(fā)學(xué)習數(shù)學(xué)的興趣，養(yǎng)成良好的學(xué)習習慣，并使智力得到發(fā)展，能力得到培養(yǎng)。但是，知識的掌握，技能的形成，智力的開發(fā)，能力的培養(yǎng)，以及良好學(xué)風的養(yǎng)成，必須通過一定量的練習才能實現(xiàn)。練習的設(shè)計要遵循：由易到難，由簡到繁，由基本到變式，由低級到高級的發(fā)展順序；要從數(shù)量和質(zhì)量這兩個方面去考慮，盡力做到在有限的時間里，取得最佳的練習效果，這是我們優(yōu)化課堂教學(xué)始終要追求的一個目標。第三環(huán)節(jié) 鞏固深化，拓展思維活動內(nèi)容：例4 計算：(1)(xyz)(xyz)；(2)(abc)(abc)活動目

10、的：讓學(xué)生認識到平方差公式中的a、b可以是單項式，也可以是多項式，在平方時，應(yīng)把單項式或多項式加括號；學(xué)會靈活運用平方差公式。實際教學(xué)效果：(1)題中可利用整體思想，把xy看作一個整體，則此題中相同項是(xy)，相反項是z和z；(2)題中的每個因式都可利用加法交換律寫成(acb)(acb)的形式，則(ac)是相同項，相反項是b和b第四環(huán)節(jié) 感受問題、體驗探索成功?；顒觾?nèi)容：練習11(+) (-) = _2(+3) (-3) = ( ) 2( )= _3(+) (-) = ( ) 2( )= _4(-) (1+)=( ) 2( ) = _5 (2a+5b) (2a-5b) = ( ) 2( )

11、= _6 (-2b-5) (-2b+5) = ( ) 2( ) = _7 (-1+4x) (-1-4x) = ( ) 2( ) = _練習2 下列式子可用平方差公式計算嗎? 為什么? 如果能夠，怎樣計算? (1) (a+b)(-ab) ； (2) (ab)(ba) ;(3) (a+2b)(2b+a); (4) -(ab)(a+b) ;(5) (-2x+y)(y2x). 練習3 填空(1) ( x+2y) ( -x+2y) =_(2) (3m-5n)(5n+3m)=_(3) ( -1 + x) (-1- x ) = _(4) (-2b- 5) (2b -5) =_練習4 提高題（1）（m+2）(m-2)(m2+4) （2）（a+b+2）(a+b-2)活動目的：由于初學(xué)公式等原因出錯是正?，F(xiàn)象，但在問題討論，引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)，鞏固訓(xùn)練的過程中，學(xué)生與學(xué)生積極交流，討論、思維活躍，師生的信息交流暢通，反饋評價及時，第五環(huán)節(jié) 歸納總結(jié)，形成知識網(wǎng)絡(luò)活動內(nèi)容：小結(jié)1 敘述公式（B，C組學(xué)生回答） 2公式中的字母可以代表什么？（A組學(xué)生回答）（數(shù)字、單項式、多項式） 只要習題符合平方差公式的結(jié)構(gòu)，都可應(yīng)用其計算?；顒幽康模汗膭顚W(xué)生結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習，談自己的收獲與感想。第六環(huán)節(jié) 布置作業(yè)四、教學(xué)設(shè)計反思本節(jié)課從學(xué)生練習情況上來看，學(xué)生掌握的很好。但從教學(xué)過程中來看，并沒有完全達到新課標中所要求的應(yīng)