2 對稱信息情況下的最優(yōu)合同.ppt

1、2 對稱信息情況下的最優(yōu)合同,委托代理模型是為分析非對稱信息情況下的最優(yōu)合同而建立的。但作為分析的第一步，讓我們首先討論對稱信息情況下的最優(yōu)合同。，這種討論對我們理解委托代理關系問題的實質(zhì)是非常重要的。特別地，因為委托代理關系的中心問題被認為是“保險” 和“激勵” 的交替問題（trade-off），在對稱信息下，我們可以孤立的考慮最優(yōu)的風險分擔問題；在完成這一步再引入非對稱信息，我們就會明白為什么在存在激勵問題時，一般來說，帕累托最優(yōu)的風險分擔不能達到。,Cont,假定代理人的行動a（或自然狀態(tài)）時可觀測的。 此時，委托人可以根據(jù)觀測到的a對代理人實行懲， 就是說，激勵合同可以建立在行動上，從

2、而，激勵 相容約束時多余的，因為委托人可以涉及任意的“強制 合同” 如果你選擇a*，我將付你s(a*)=s*,否則我將付 你s s*，使得下列條件成立：,Cont,只要s足夠小，代理人絕不會選擇a不等于 a*。 我們分兩步討論對稱信息情況。首先假定行動a給定，討論什么是產(chǎn)出 的最優(yōu)分配方式；然后，我們再討論最優(yōu)的行動選擇a。我們將證明，在對稱信息下，帕雷托最有風險分擔和帕累托最優(yōu)努力水平都可以達到。,2-1 最優(yōu)風險分擔合同,給定努力水平a，產(chǎn)出是一個簡單的隨機變量，因此，問題簡化為一個典型的風險分擔問題:選擇s（ ）解下列最優(yōu)化問題,Cont,構造拉格朗日函數(shù)如下： 最優(yōu)化的一階條件是：,C

3、ont,這里拉格朗日乘數(shù) 是嚴格正的常數(shù)（因為參與約束的等式條件滿足）。上述最優(yōu)條件意味著，委托人和代理人收入的邊際效用之比應該等于一個常數(shù)，與產(chǎn)出 （和狀態(tài)變量）無關。如果1和2是任意的兩個收入水平，那么，下列等式應該滿足：,Cont,就是說，在最優(yōu)條件下，不同收入狀態(tài)下的邊際替代率對委托人和代理人是相同的。這是典型的帕雷托最優(yōu)條件。 一般地，因為最優(yōu)化條件（1）隱含地定義了最優(yōu)化支付合同s*（），通過使用隱函數(shù)定理，我們可以得出最優(yōu)支付合同與每一方風險規(guī)避度的關系。 就條件（1）對求導，我們有：,Cont,將=v/u代入上式解得： 這里,Cont,分別代表委托人和代理人的阿羅帕拉特絕對風險

4、規(guī)避量（Arrow-Pratt measure of absolute risk aversion）。 式（3）意味著，代理人的支付s*與產(chǎn)出的關系完全由絕對風險規(guī)避度的比率決定。給定 （即雙方均為風險規(guī)避者），代理人的支付s*隨的上升而上升，但上升的幅度小于上升的幅度。當 時，,Cont,ds*/d=1,s*的增幅與相同。特別地，如果委托人和代理人都具有不變的絕對風險規(guī)避度，即如果p和A與各自的收入水平無關，那么，最優(yōu)合同是線性的。對（3）積分得：,Cont,是積分常數(shù)項（可能取正值也可能取負值）。當然，不變的絕對風險規(guī)避度是非常特殊的。 一般來說，如果假定p和A隨收入的增加而遞減（即收入越

5、高越不害怕風險），最優(yōu)合同s*（）是非線性的，其具體形式依賴于風險規(guī)避者的相對變化。,2-2最優(yōu)風險分擔合同,在以上的討論中，我們假定代理人的努力水平給定?，F(xiàn)在我們來討論最優(yōu)努力水平的選擇。為了簡化我們使用狀態(tài)空間模型化方法。因為是可觀測的，委托人可以強化代理人選擇任意的，激勵相容約束是多余的。使用狀態(tài)控件模型化方法，委托人的問題是選擇和s（）解下列問題：,Cont,構造拉格朗日函數(shù)： 最優(yōu)化的兩個一階條件分別為,Cont,其中第一個等式是s（）的一階條件（與（1）相同），第二個等式是的一階條件。使用第一個一階條件=v/u,第二個一階條件可以化簡為： 或用期望值算子E：,Cont,其中v/可以

6、解釋為用委托人的效用單位度量的努力水平的邊際收益，c/可以解釋為用委托人的效用單位度量的的邊際成本。注意，因為是在外生變量實現(xiàn)之前選擇的，最優(yōu)的獨立于。 上述分析的一個基本結論時，當委托人可以觀測代理人的努力水平時，風險問題和激勵問題可以獨立解決，帕累托最優(yōu)風險分擔和帕累托最優(yōu)努力水平可以同時實現(xiàn)，最優(yōu)合同可以表述如下：,Cont,即委托人要求代理人選擇*，委托人根據(jù)s*（*，）支付代理人；否則，代理人得到s。只要s足夠小，代理人就不會選擇*)。,一個例子:信息對稱情況下的應用,本節(jié)討論一個參數(shù)化的委托代理模型，這個參數(shù)化的模型是霍姆斯特姆和米爾格羅姆（ Holmstrom and milgr

7、om,1987 ）模型的簡化 和擴張。 假定是一個一維努力變量，產(chǎn)出函數(shù)取如下線性形式：=+,其中是均值為0、方差為2的正態(tài)分布隨機變量，代表外生的不確定性因素。因此，E=E(+)=,var()= 2,即代理人的努力水平?jīng)Q定產(chǎn)出的均值，但不影響產(chǎn)出的方差。,Cont,假定委托人是風險中性的，代理人是風險規(guī)避的?？紤]線性合同s（）=+，其中是代理人的固定收入（與無關），是代理人分享的產(chǎn)出份額，即產(chǎn)出每增加一個單位，代理人的報酬增加單位。=0意味著代理人不承擔任何風險，=1意味著代理人承擔全部風險。因為委托人是風險中性的，給定s（）=+，委托人的期望效用等于期望收入,Cont,假定代理人的效用函數(shù)

8、具有不變絕對風險規(guī)避特征，即 ,其中是絕對風險規(guī)避度量，是實際貨幣收入。假定代理人努力的成本c()可以等價于貨幣成本；進一步，為簡化起見，假定c()=b2/2,這里b0代表成本系數(shù)；b越大，同樣的努力帶來的負效用越大。代理人的實際收入為：,Cont,確定性定價收入為： 其中，E是代理人的期望收入， 是代理人的風險成本；當=0時，風險成本為0。代理人最大化期望效用函數(shù) 等價于最大化上述確定性等價收入。,Cont,令0為代理人的保留收入水平。那么，如果確定性等價收入小于0,代理人將不接受合同。因此，代理人的參與約束可以表述如下： 首先考慮委托人可以觀測代理人努力水平的最優(yōu)合同。此時，激勵約束IC不

9、起作用，任何水平的都可以通過滿足參與約束IR的強制合同實現(xiàn)。,Cont,因此，委托人的問題是選擇（，）和解下列最優(yōu)化問題： 因為在最優(yōu)情況下，參與約束的等式成立（委托人沒有必要支付代理人更多），將參與約束通過固定項代入目標函數(shù)，,Cont,上述最優(yōu)化問題可以重新表述如下： 因為0是給定的，上述表述意味著委托人實際上是在最大化總的確定性收入減去努力的成本。最優(yōu)化的一階條件意味著：,Cont,將上述結果代入代理人的參與約束得： 這就是帕累托最優(yōu)合同。因為委托人是風險中性的，代理人是風險規(guī)避的，帕累托最優(yōu)風險分擔要求代理人不承擔任何風險（*=0），委托人支付給代理人的固定收入剛好等于代理人的保留工資

10、加上努力的成本；,Cont,最優(yōu)努力水平要求努力的邊際期望利潤等于努力的邊際成本，即1=b,因此，*=1/b。因為委托人可以觀測到代理人的選擇，只要委托人在觀測到代理人選擇了1/b時就支付 ，代理人就一定會選擇*=1/b ，最優(yōu)風險分擔與激勵沒有矛盾。,一個例子:信息不對稱情況下的應用,但是，如果委托人不能觀測到代理人的努力水平，上述帕累托最優(yōu)是不能實現(xiàn)的。這是因為，給定=0，代理人將選擇最大化自己確定性等價收入，一階條件意味著： =/b,于是a=0 就是說，如果代理人的收入與產(chǎn)出無關，代理人將選擇a=0 ，而不是=1/b 。 現(xiàn)在讓我們來考慮努力水平不可觀測時的最優(yōu)合同。因為給定（ ，），代

11、理人的激勵相容約束意味著=/b，委托人的問題是選擇（ ，）,解下列最優(yōu)化問題：,Cont,將參與約束IR和激勵相容約束IC代入目標函數(shù)，上述最優(yōu)化問題可以重新表述如下： 一階條件為：,Cont,上述條件意味著，代理人必須承擔一定的風險。特別地，是、2、和b的遞減函數(shù)。就是說，代理人越是風險規(guī)避，產(chǎn)出的方差越大代理人越是害怕努力工作，他應該承擔的風險就越小。極端地，如果代理人是風險中性的（=0），最優(yōu)合同要求代理人承擔完全的風險（=1）。,Cont,/0和/ 20結論是非常直觀的。最優(yōu)激勵合同要在激勵與保險之間求得平衡。對于給定的，越大（或2越大），風險成本越高，因此，最優(yōu)風險分擔要求越小。但/

12、b0有點“鞭打快?！钡奈兜?。 為什么代理人越是害怕努力工作，應該承擔的風險越小呢？這又兩方面的原因。 第一，從激勵角度看，即使沒有信息不對稱問題，b越大，最優(yōu)的越?。ㄒ驗?=1/b）； 第二，從風險分擔的角度看，b越大，為誘使代理人選擇同樣的努力水平要求的越大（因為=/b），委托人寧愿以較低的努力換取風險成本的節(jié)約。,Cont,當委托人不能觀測代理人的努力水平時，存在兩類在對稱信息下不存在的代理成本。 一類是上面提到的由帕累托最優(yōu)風險分擔無法達到而出現(xiàn)的風險成本， 另一類是由較低的努力水平導致的期望產(chǎn)出的凈損失減去努力成本的節(jié)約，簡稱為激勵成本。 因為委托人是風險中性的，努力水平可觀測時委托人承擔全部風險意味著風險成本為零。當委托人不能觀測代理人的努力水平時，代理人承擔的風險為=1/(1+b2)，風險成本為：,Cont,這是凈福利損失。 為了計算激勵成本，首先注意到，當努力水平可觀測時，最優(yōu)努力水平為=1/b；當努力水平不可觀測時，委托