n階行列式的定義

1、第三節(jié) n 階行列式的定義,第一章 行列式, n 階行列式的定義, 小結(jié) 思考題 作業(yè), 概念的引入,目錄,上頁,下頁, 概念的引入,上頁,下頁,目錄,引例 1 在布滿棋子的33棋盤上，從不同行、不同列取三個棋子(如下圖)，問共有幾種取法？,3,3,2,1,1,2,用(i, j)表示一個棋子所在的行、列,依次從第 1, 2, 3 行取一個棋子,三個棋子處于不同列,解,上頁,下頁,目錄,引例 1 在布滿棋子的33棋盤上，從不同行、不同列取三個棋子(如下圖)，問共有幾種取法？,3,3,2,1,1,2,用(i, j)表示一個棋子所在的行、列,依次從第 1, 2, 3 行取一個棋子,三個棋子處于不同列

2、,解,上頁,下頁,目錄,不同行、不同列的三個棋子：,(1, q1) (2, q2) (3, q3),舉一反三：,其中，列標(biāo) q1, q2, q3 取 1, 2, 3 的所有可能排列.,上頁,下頁,目錄,引例 2,問題(1) ：如上形式的乘積，共有幾種可能？,(行標(biāo)排列為231，列標(biāo)是 1, 2, 3 的所有可能排列),從不同行、不同列取三個元素相乘，并表示為：,設(shè)有一個 33 的數(shù)表：,上頁,下頁,目錄,問題(2) ：令乘積帶有符號 ，即,其中，t1 是行標(biāo)排列231的逆序數(shù)；,t2 是列標(biāo)排列q1q2q3的逆序數(shù).,寫出全部 6 個可能的乘積.,上頁,下頁,目錄,問題(3) ：將以上 6 項(xiàng)

3、的代數(shù)和與 3 階行列式的算式進(jìn)行比較，有何結(jié)論？,上頁,下頁,目錄,問題(4) ： 在代數(shù)和 中，,各項(xiàng)的符號 一半為“正”，一半為“負(fù)”，為什么？,上頁,下頁,目錄,問題(5) ： 在代數(shù)和 中，,如果改變?nèi)我庖豁?xiàng)中三個元素的相乘順序(這不會改變乘積結(jié)果)，問：會改變該項(xiàng)的符號 嗎？,上頁,下頁,目錄,結(jié)論,3 階行列式是若干項(xiàng)的代數(shù)和：, 每項(xiàng)都是不同行、不同的 3 個數(shù)相乘 (共 3! 項(xiàng))；,每項(xiàng)都帶有符號,，t1 是行標(biāo)排列的逆序數(shù)；,t2 是列標(biāo)排列的逆序數(shù).,(各項(xiàng)的符號一半是正的，一半是負(fù)的：符號取決于是哪 3 個數(shù)相乘，但與相乘的順序無關(guān)；).,上頁,下頁, n 階行列式的

4、定義,目錄,上頁,下頁,目錄,定義,由 n2 個數(shù) aij (i, j = 1, 2, , n) 組成的 n 階行列式,等于所有取自不同行、不同列的 n 個數(shù)的乘積的代數(shù)和，即,上頁,下頁,目錄,上頁,下頁,目錄,說明,(2) 根據(jù)定義，一階行列式 ，注意不要與絕對值記號相混淆.,(1) 兩種常用的定義表達(dá)式：,上頁,下頁,目錄,例 1 六階行列式中，含如下乘積的項(xiàng)帶什么符號.,解法一,列標(biāo)排列的逆序數(shù)為,行標(biāo)排列的逆序數(shù)為,所以該項(xiàng)應(yīng)帶“+”號.,上頁,下頁,目錄,解法二,此時(shí)，列標(biāo)排列的逆序數(shù)為,所以該項(xiàng)應(yīng)帶“+”號.,交換元素位置，使行標(biāo)排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列，即,此時(shí)，行標(biāo)排列的逆序數(shù)為,所

5、以該項(xiàng)應(yīng)帶“+”號.,上頁,下頁,目錄,例 2 試判斷 是否是六階行列式中的項(xiàng).,所以， 不是六階行列式中的項(xiàng).,交換元素位置，使行標(biāo)排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列,列標(biāo)排列的逆序數(shù) ，該項(xiàng)應(yīng)帶“+”號.,下面進(jìn)一步判斷乘積所應(yīng)帶有符號：,解,是6個不同行、不同列元素的乘積；,上頁,下頁,目錄,一些特殊行列式的計(jì)算公式,(1),(非主對角線元全為零，即，當(dāng) i j 時(shí)，aij=0),對角行列式,上頁,下頁,目錄,證,(1),記 ，其中,因此，,上頁,下頁,目錄,于是，,記 ，其中,(2),D 的展開式中只有一項(xiàng)可能不等于零，此時(shí),行列式的一般項(xiàng)為,上頁,下頁,目錄,(3) 下三角行列式,證,(主對角線以上的

6、元素全為零，即，當(dāng) i j 時(shí)，aij=0),行列式的一般項(xiàng)為,其中， ，否則該項(xiàng)為零.,上頁,下頁,目錄,即，各元素列標(biāo)可取值：,由于 q1 q2qn 是自然數(shù) 1,2,n 的某一排列，因此,于是，展開式中只有一項(xiàng)可能不等于零，得,(5),上頁,下頁,目錄,(4) 上三角行列式,上頁,下頁,目錄,(6),上頁,下頁,目錄,例 3 計(jì)算四階行列式,解,上頁,下頁,目錄,解,例 4 計(jì)算四階行列式,上頁,下頁,目錄,證明,例 5 設(shè),上頁,下頁,目錄,證,設(shè) ，其中,根據(jù)行列式的定義，有,由于,故,上頁,下頁,目錄, 小結(jié) 思考題 作業(yè),上頁,下頁,目錄,小結(jié),1. n 階行列式共有 n! 項(xiàng)，每項(xiàng)都是位于不同行、不同列的 n 個元素的乘積，并且?guī)в蟹?,2. n 階行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解含 n 個方程、n 個未知量的線性方程組的需要而定義的.,上頁,下頁,目錄,3. 特殊行列式的計(jì)算公式： 對角行列式、上(下)三角行列式、以及它們的左右 (或上下)翻轉(zhuǎn)形式,上頁,下頁,目錄,1. 寫出六階行列式中含因子 的項(xiàng),作業(yè),2. 根據(jù)行列式定義計(jì)算以下四