河南省駐馬店市2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題 理（含解析）（通用）

1、河南省駐馬店市2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題 理（含解析）本試題卷分為第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分。考生作答時(shí)，將答案答在答題卡上，在本試題卷上答題無效。注意事項(xiàng)：1答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫（涂）在答題卡上，考生要認(rèn)真核對(duì)答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)、姓名”與考生本人準(zhǔn)考證號(hào)、姓名是否一致。2第卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)；第卷用黑色墨水簽字筆在答題卡書寫作答，在試題上作答，答案無效。3考試結(jié)束，監(jiān)考教師將答題卡收回。第I卷（選擇題共60分）、選擇題：本大題共12小題，每小題5

2、分，共60分。在每小題給出的代號(hào)為ABCD的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.己知復(fù)數(shù)，若為純虛數(shù)，則A. -1B. 1C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和純虛數(shù)的概念求得.【詳解】由已知得： ，所以 解得： 故選B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和純虛數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.2.焦點(diǎn)為且與雙曲線有相同的漸近線的雙曲線方程是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題目要求解的雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，且焦點(diǎn)在y軸上可知，設(shè)雙曲線的方程為，將方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，求解出的值，即可求出答案。【詳解】由題意知，設(shè)雙曲線的方程為，化簡(jiǎn)得。解得

3、。所以雙曲線的方程為，故答案選A?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了共漸近線的雙曲線方程求解問題,共漸近線的雙曲線系方程與雙曲線有相同漸近線的雙曲線方程可設(shè)為，若，則雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，若，則雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上。3.設(shè)，若，則的最小值為A. B. 8C. 9D. 10【答案】C【解析】分析】根據(jù)題意可知，利用“1”的代換，將化為，展開再利用基本不等式，即可求解出答案?！驹斀狻坑深}意知，且，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，的最小值為9，故答案選C?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了利用基本不等式性質(zhì)求最值的問題，若不滿足基本不等式條件，則需要?jiǎng)?chuàng)造條件對(duì)式子進(jìn)行恒等變形，如構(gòu)造“1”的代換等。4.設(shè)某大學(xué)的女生體重y（單位：

4、kg）與身高x（單位：cm）具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)（xi，yi）（i=1，2，n），用最小二乘法建立的回歸方程為=0.85x-85.71，則下列結(jié)論中不正確的是A. y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B. 回歸直線過樣本點(diǎn)的中心（，）C. 若該大學(xué)某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kgD. 若該大學(xué)某女生身高為170cm，則可斷定其體重比為58.79kg【答案】D【解析】根據(jù)y與x的線性回歸方程為 y=0.85x85.71，則=0.850，y 與 x 具有正的線性相關(guān)關(guān)系，A正確；回歸直線過樣本點(diǎn)的中心（），B正確；該大學(xué)某女生身高增加 1cm，預(yù)測(cè)其體重約增加 0.85kg，C

5、正確；該大學(xué)某女生身高為 170cm，預(yù)測(cè)其體重約為0.8517085.71=58.79kg，D錯(cuò)誤故選：D5.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為，若，則的形狀為A. 正三角形B. 等腰三角形或直角三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題目分別為角A，B，C的對(duì)邊，且可知，利用邊化角的方法，將式子化為，利用三角形的性質(zhì)將化為，化簡(jiǎn)得，推出，從而得出的形狀為直角三角形?！驹斀狻坑深}意知，由正弦定理得又展開得，又角A，B，C是三角形的內(nèi)角又綜上所述，的形狀為直角三角形，故答案選C。【點(diǎn)睛】本題主要考查了解三角形的相關(guān)問題，主要根據(jù)正余弦定理，利用邊化角或角化邊，若轉(zhuǎn)化

6、成角時(shí)，要注意的應(yīng)用。6.下列判斷錯(cuò)誤的是A. 若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則B. “R，”的否定是“R，”C. 若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布：，則D. “”是“ab”的必要不充分條件【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題目可知，利用正態(tài)分布的對(duì)稱性、含有一個(gè)量詞的命題的否定、二項(xiàng)分布的變量的期望值公式以及不等式的基本性質(zhì)逐項(xiàng)分析，得出答案?！驹斀狻浚?）隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，故選項(xiàng)正確。（2）已知原命題是全稱命題，故其否定為特稱命題，將換為，條件不變，結(jié)論否定即可，故B選項(xiàng)正確。（3）若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布：，則，故C選項(xiàng)正確。（4）當(dāng)時(shí)，“ab”不能推出“”，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤。綜上所述，故答案選D?！军c(diǎn)睛】本

7、題是一個(gè)跨章節(jié)綜合題，考查了正態(tài)分布的對(duì)稱性、含有一個(gè)量詞的命題的否定、二項(xiàng)分布的變量的期望值公式以及不等式的基本性質(zhì)四個(gè)知識(shí)點(diǎn)。7.曲線在點(diǎn)處的切線方程為A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意可知，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，求出點(diǎn)處的切線斜率 ，再根據(jù)點(diǎn)斜式即可求出切線方程?！驹斀狻坑深}意知，因此，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，故答案選C。【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，一般利用點(diǎn)斜式構(gòu)造直線解析式。8.在的展開式中，的冪指數(shù)是整數(shù)的共有A. 3項(xiàng)B. 4項(xiàng)C. 5項(xiàng)D. 6項(xiàng)【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題目，寫出二次項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，即可求

8、出的冪指數(shù)是整數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)?！驹斀狻坑深}意知，要使的冪指數(shù)是整數(shù)，則必須是的倍數(shù)，故當(dāng)滿足條件。即的冪指數(shù)是整數(shù)的項(xiàng)共有項(xiàng)，故答案選D?！军c(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是熟記二項(xiàng)展開式的公式。9.命題“對(duì)任意實(shí)數(shù)，關(guān)于的不等式恒成立”為真命題的一個(gè)必要不充分條件是A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可知，利用參數(shù)分離的方法求出使命題“對(duì)任意實(shí)數(shù)，關(guān)于的不等式恒成立”為真命題的的取值范圍，的取值范圍構(gòu)成的集合應(yīng)為正確選項(xiàng)的真子集，從而推出正確結(jié)果?！驹斀狻棵}“對(duì)任意實(shí)數(shù)，關(guān)于的不等式恒成立”為真命題根據(jù)選項(xiàng)滿足是的必要不充分條件只有，故答案選B?！军c(diǎn)睛】本題

9、主要考查了簡(jiǎn)單的不等式恒成立問題以及求一個(gè)命題的必要不充分條件。10.某班有6名班干部，其中4名男生，2名女生.從中選出3人參加學(xué)校組織的社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，在男生甲被選中的情況下，女生乙也被選中的概率為A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題目可知，分別求出男生甲被選中的概率和男生甲女生乙同時(shí)被選中的概率，根據(jù)條件概率的公式，即可求解出結(jié)果。【詳解】由題意知，設(shè)“男生甲被選中”為事件A，“女生乙被選中”為事件B，則，所以，故答案選A?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了求條件概率方法：利用定義計(jì)算，特別要注意的求法。11.已知函數(shù)對(duì)于任意的滿足（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），則下列不等式成立的是A. B

10、. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題目條件，構(gòu)造函數(shù)，求出的導(dǎo)數(shù)，利用“任意的滿足”得出的單調(diào)性，即可得出答案?！驹斀狻坑深}意知，構(gòu)造函數(shù)，則。當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，恒成立在單調(diào)遞增，則，化簡(jiǎn)得，無法判斷A選項(xiàng)是否成立；，化簡(jiǎn)得，故B選項(xiàng)不成立；，化簡(jiǎn)得，故C選項(xiàng)不成立；，化簡(jiǎn)得，故D選項(xiàng)成立；綜上所述，故選D?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了構(gòu)造函數(shù)法證明不等式，常利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性證明不等式，是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合中的一個(gè)難點(diǎn)。12.己知點(diǎn)A是拋物線的對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，點(diǎn)B為拋物線的焦點(diǎn)，P在拋物線上且滿足，當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)P恰好在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線上，則雙曲線的離心率為

11、A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題目可知，過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則由拋物線的定義，結(jié)合，可得，設(shè)的傾斜角為，當(dāng)取得最大值時(shí)，最小，此時(shí)直線與拋物線相切，即可求出的的坐標(biāo)，再利用雙曲線的定義，即可求得雙曲線得離心率?！驹斀狻坑深}意知，由對(duì)稱性不妨設(shè)P點(diǎn)在y軸的右側(cè)，過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則根據(jù)則拋物線的定義，可得，設(shè)的傾斜角為，當(dāng)取得最大值時(shí)，最小，此時(shí)直線與拋物線相切，設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立，得，令，解得可得，又此時(shí)點(diǎn)P恰好在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線上雙曲線的實(shí)軸故答案選B?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線與拋物線的性質(zhì)的應(yīng)用，在解決圓錐曲線相關(guān)問題時(shí)常用到方程思想以及數(shù)形

12、結(jié)合思想。第卷（非選擇題共90分）二、填空題本大題共4小題，每小題5分，共20分13.己知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則_.【答案】7【解析】【分析】根據(jù)題目是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，建立兩個(gè)含有、的方程并求解，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解出的值?！驹斀狻坑深}意得，解得，所以，故答案為7。【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的基本運(yùn)算，在等差數(shù)列中，五個(gè)基本量“知三求二”，基本量中公差是聯(lián)系數(shù)列中各項(xiàng)的關(guān)鍵，是解題的關(guān)鍵。14.若向量，且，則等于_.【答案】6【解析】【分析】根據(jù)題目，可知，根據(jù)空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律，即可求解出的值?！驹斀狻坑深}意知，向量，即解得，故答案

13、為6。【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)向量的垂直關(guān)系，結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算求參數(shù)。15.太極圖被稱為“中華第圖”，從孔廟大成殿梁柱至白外五觀的標(biāo)識(shí)物；從道袍、卦攤、中醫(yī)、氣功、武術(shù)到南韓國(guó)旗、新加坡空軍機(jī)徽，太極圖無不躍其上，這種廣為人知的太極圖，其形狀如陰陽兩魚互抱在起，因而被稱為“陰陽魚太極圖”.在如圖所示的陰陽魚圖案中，陰影部分的區(qū)域可用不等式組或來表示，設(shè)是陰影中任點(diǎn)，則的最大值為_.【答案】3【解析】【分析】根據(jù)題目可知，平移直線，當(dāng)直線與陰影部分在上方相切時(shí)取得最大值，根據(jù)相切關(guān)系求出切點(diǎn)，代入，即可求解出答案?！驹斀狻坑深}意知，與相切時(shí)，切點(diǎn)在上方時(shí)取得最大值，如圖;此時(shí)，且，解得所以的最大

14、值為3，故答案為3。【點(diǎn)睛】本題主要考查了線性規(guī)劃中求目標(biāo)函數(shù)的最值問題，形如題目中所示的目標(biāo)函數(shù)常化歸為求縱截距范圍或極值問題。16.在中，是角A，B，C的對(duì)邊，己知，現(xiàn)有以下判斷：的外接圓面積是；可能等于16；作A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)，則的最大值是.請(qǐng)將所有正確的判斷序號(hào)填在橫線上_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題目可知，利用正弦定理與三角恒等變換逐個(gè)分析即可判斷每個(gè)命題的真假?！驹斀狻吭O(shè)的外接圓半徑為，根據(jù)正弦定理，可得，所以的外接圓面積是，故正確。根據(jù)正弦定理，利用邊化角的方法，結(jié)合，可將原式化為，故正確。，故錯(cuò)誤。設(shè)到直線的距離為，根據(jù)面積公式可得，即，再根據(jù)中的結(jié)論，可得，故正確。綜上

15、，答案為?！军c(diǎn)睛】本題是考查三角恒等變換與解三角形結(jié)合的綜合題，解題時(shí)應(yīng)熟練掌握運(yùn)用三角函數(shù)的性質(zhì)、誘導(dǎo)公式以及正余弦定理、面積公式等。三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.已知數(shù)列滿足，且.（I）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（II）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（I）見解析（II）【解析】【分析】（I）根據(jù)題意，對(duì)于，變形可得，根據(jù)等差數(shù)列的定義分析可得結(jié)論；（II）由（1）中的結(jié)論，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，即可得出，再根據(jù)錯(cuò)位相減法即可求解出結(jié)果?！驹斀狻拷猓海↖）由，可得所以得為等差數(shù)列，公差為1；（II），-得【點(diǎn)睛】本題主要考查了構(gòu)利用定義法證明

16、等差數(shù)列以及錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和，證明時(shí)采用了構(gòu)造的方法，錯(cuò)位相減法主要用于數(shù)列的形式為等差乘等比。18.如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，且，E為PD中點(diǎn).（I）求證：平面ABCD；（II）求二面角B-AE-C的正弦值.【答案】（I）見解析（II）【解析】【分析】（I）根據(jù)題目所給條件，利用直線與平面垂直的判定方法分別證明出平面PAB以及平面，進(jìn)而得到和，從而推得線面垂直。（II）根據(jù)已知條件，以A為原點(diǎn)，AB為軸，AD為軸，AP為軸建立直角坐標(biāo)系，分別求出平面ABE和平面AEC的法向量，最后利用向量法求出二面角B-AE-C的正弦值?！驹斀狻拷猓海↖）證明：底面

17、ABCD為正方形，又，平面PAB，同理，平面ABCD（II）建立如圖的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則，易知設(shè)為平面ABE的一個(gè)法向量，又，令，得設(shè)為平面AEC的一個(gè)法向量，又令，得.二面角B-AE-C的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了通過證明直線與平面垂直來推出直線與直線垂直，以及利用向量法求二面角的問題，解題時(shí)要注意根據(jù)圖形特征或者已知要求確定二面角是銳角或鈍角，從而得出問題的結(jié)果。19.近年來，共享單車已經(jīng)悄然進(jìn)入了廣大市民的日常生活，并慢慢改變了人們的出行方式.為了更好地服務(wù)民眾，某共享單車公司在其官方中設(shè)置了用戶評(píng)價(jià)反饋系統(tǒng)，以了解用戶對(duì)車輛狀況和優(yōu)惠活動(dòng)的評(píng)價(jià).現(xiàn)從評(píng)價(jià)系統(tǒng)中選出條較為

18、詳細(xì)的評(píng)價(jià)信息進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，車輛狀況的優(yōu)惠活動(dòng)評(píng)價(jià)的列聯(lián)表如下：對(duì)優(yōu)惠活動(dòng)好評(píng)對(duì)優(yōu)惠活動(dòng)不滿意合計(jì)對(duì)車輛狀況好評(píng)對(duì)車輛狀況不滿意合計(jì)（1）能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為優(yōu)惠活動(dòng)好評(píng)與車輛狀況好評(píng)之間有關(guān)系？（2）為了回饋用戶，公司通過向用戶隨機(jī)派送每張面額為元，元，元的 三種騎行券.用戶每次使用掃碼用車后，都可獲得一張騎行券.用戶騎行一次獲得元券，獲得元券的概率分別是，且各次獲取騎行券的結(jié)果相互獨(dú)立.若某用戶一天使用了兩次該公司的共享單車，記該用戶當(dāng)天獲得的騎行券面額之和為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)：參考公式：，其中【答案】(1) 在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下，不能認(rèn)為優(yōu)惠活動(dòng)

19、好評(píng)與車輛狀況好評(píng)有關(guān)系.(2)分布列見解析；（元）.【解析】試題分析：（1）由題意求得 的值，然后即可確定結(jié)論；（2）由題意首先求得分布列，然后求解數(shù)學(xué)期望即可試題解析（1）由列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，有 .因此，在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下，不能認(rèn)為優(yōu)惠活動(dòng)好評(píng)與車輛狀況好評(píng)有關(guān)系.（2）由題意，可知一次騎行用戶獲得元的概率為.的所有可能取值分別為，.， ， ， ，的分布列為：的數(shù)學(xué)期望為 （元）. 20.已知平面內(nèi)點(diǎn)到點(diǎn)的距離和到直線的距離之比為，若動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C（I）求曲線C的方程；（II）過F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn).證明：【答案】（I）（II）見解析【解析】【

20、分析】（I）根據(jù)題目點(diǎn)到點(diǎn)的距離和到直線的距離之比為，列出相應(yīng)的等式方程，化簡(jiǎn)可得軌跡C的方程；（II）對(duì)直線分軸、l與x軸重合以及l(fā)存在斜率且斜率不為零三種情況進(jìn)行分析，當(dāng)l存在斜率且斜率不為零時(shí)，利用點(diǎn)斜式設(shè)直線方程，與曲線C的方程進(jìn)行聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，可推得，從而推出?！驹斀狻拷猓海↖）到點(diǎn)的距離和到直線的距離之比為.，.化簡(jiǎn)得：故所求曲線C的方程為：.（II）分三種情況討論：1、當(dāng)軸時(shí)，由橢圓對(duì)稱性易知：2、當(dāng)l與x軸重合時(shí)，由直線與橢圓位置關(guān)系知：3、設(shè)l為：，且，由化簡(jiǎn)得：，設(shè)MA,MB，所在直線斜率分別為：，則此時(shí)，綜上所述：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用定義法求軌跡方程以及直線

21、與圓錐曲線的綜合問題。解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系中常用的數(shù)學(xué)方法思想有方程思想，數(shù)形結(jié)合思想以及設(shè)而不求的整體代入的技巧與方法。21.已知函數(shù).（I）討論極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).（II）若是的一個(gè)極值點(diǎn)，且，證明：.【答案】（I）答案不唯一，具體見解析（II）見解析【解析】【分析】（I） 根據(jù)題目條件，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求得函數(shù)的極值的個(gè)數(shù)。（II）根據(jù)是的一個(gè)極值點(diǎn)，得出，再根據(jù)，求出的范圍，再利用（）中的結(jié)論，得出的單調(diào)性，觀察得出，對(duì)與的大小關(guān)系進(jìn)行分類討論，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，即可證明?！驹斀狻浚↖），或1、當(dāng)，即時(shí)，若，則，單調(diào)遞增；若，則，單調(diào)遞減；若，則，單調(diào)遞增；此時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)：，2、當(dāng)，即時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，此時(shí)無極值點(diǎn).3、當(dāng)，即時(shí)，若，則，單調(diào)遞增；若，則，單調(diào)遞減；若，則，單調(diào)遞增；此時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)：，故當(dāng)時(shí)，無極值點(diǎn)：當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn).（II）由（）知，且，由（1）中3知：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增又（這一步是此題的