高等數(shù)學(xué)部分習(xí)題答案摘錄

1、次序不定積分基本積分公式不定積分第一換元法(湊微分法)不定積分第二換元法不定積分的倒數(shù)換元法不定積分分部積分法不定積分有理函數(shù)積分法不定積分三角有理式的特殊情形定積分的定義定積分變上限積分定積分的性質(zhì)定積分的換元法定積分的分部積分法利用對稱性求定積分定積分的應(yīng)用向量代數(shù)其他類型習(xí)題簡稱上冊：高等數(shù)學(xué)上冊 南開大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 劉光旭 張效成 賴學(xué)堅 編下冊：高等數(shù)學(xué)下冊 南開大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 劉光旭 張效成 賴學(xué)堅 編講義：高等數(shù)學(xué)習(xí)題課講義（第三版）上冊 薛運華 趙志勇編著提示在文檔中可以用Ctrl+F搜索關(guān)鍵字，例如“利用對稱性求定積分”，“231頁B1”等，這樣能更快地查找。不定積分基本

2、積分公式不定積分第一換元法(湊微分法)1.如果被積函數(shù)中明顯含有復(fù)合函數(shù)，就能順藤摸瓜，找到中間變量，也就是找到湊微分的對象。只要在被積函數(shù)中再找出，就可以湊微分了（允許差一個常倍數(shù)）。2.如果復(fù)合函數(shù)不明顯，但被積函數(shù)中有一個因子適合看成，也可以先湊微分，再看剩余部分能否理解成的函數(shù).3.有些題則需要主動進行恒等變形，將被積函數(shù)中分解成與的乘積。講義112頁14.2(9)006解題思路如下008分子分母同時乘以x，xdx湊微分也可以直接令t= 如果把x換成tant呢？估計也行。011012上冊200頁A1(62)013022先通分，然后注意到是的導(dǎo)數(shù)，是f的導(dǎo)數(shù)于是可以通過商的導(dǎo)數(shù)公式湊出來

3、 不定積分第二換元法以去掉根號，簡化運算為最終目的，其他的都是手段總結(jié)規(guī)律是為了提高嘗試的成功率熟練掌握后，什么招好使就使什么招，規(guī)律也有例外003028上冊198頁A1(16)上面的解答有點小問題還可以這樣因為不定積分是在某個區(qū)間內(nèi)求原函數(shù)，兩種區(qū)間只能取其中一個（也可以是子區(qū)間），所以也可以不討論。假設(shè)換個題，被積函數(shù)處處有定義，就得注意討論了。但是中，x0最后再求極限逼近030上冊219頁A10033上冊211頁B1定積分變上限積分（參見習(xí)題課講義134-136頁）注：f連續(xù)，且被積函數(shù)不含參變量x，才能用以上公式。求導(dǎo)：換元，令u=x-t，再求導(dǎo)即可019上冊219頁A1(4)求導(dǎo)02

4、6上冊211頁A8定積分的性質(zhì)005016上冊220頁B5 ,B66題見習(xí)題課講義129頁例16.85題方法與6類似 036積分中值定理即可021上冊211頁B7025上冊211頁B6老師第六題可以用柯西中值定理嗎?g(x)有時可能=0，不滿足柯西中值定理的條件029上冊211頁A7042上冊219頁A4定積分的換元法020上冊211頁B2方法一方法二031上冊230頁A8037上冊231頁B7040上冊229頁A2(4)上面是用三角換元，和處理二次根式的方法一樣。于是把分母都變成一個整體，而不是幾項相加。本題也可以看成第四種部分分式，那樣有點麻煩。043上冊229頁A2(3)045上冊229

5、頁A2(11)解法一sinx+cosx的導(dǎo)數(shù)是cosx-sinx可以用a(cosx-sinx)+b(sinx+cosx)=sinx解a，b拆成兩個分式 解法二換元t=pai/2-x也可以定積分的分部積分法利用對稱性求定積分038上冊219頁A3(3)017上冊219頁A3(5)046上冊231頁B4解法一丟個dx解法二被積函數(shù)是中心對稱函數(shù)和軸對稱函數(shù)乘積，且對稱中心在對稱軸上044上冊231頁B1解題思路如下023上冊229頁A2(5)解法一解題思路如下（含解法二）可以像第一個解法那樣分兩個區(qū)間，也可以像第二個解法，不分割區(qū)間換元時，x和t是對稱點，f(x)=f(t)相當(dāng)于把對稱點處的兩個被積函數(shù)值相加，x+=是常數(shù)可以提出去了剩下的積分就好求了解法三解法四解法五