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1、第四節(jié) 差商與Newton插值公式,優(yōu)點(diǎn): 具有嚴(yán)格的規(guī)律性,便于記憶. 缺點(diǎn): 不具有承襲性,即每當(dāng)增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí),不僅要增加求和的項(xiàng)數(shù),而且以前的各項(xiàng)也必須重新計(jì)算. 為了克服這一缺點(diǎn),本講將建立具有承襲性的插值公式Newton插值公式. 本講主要內(nèi)容: 差商的定義及性質(zhì) Newton插值多項(xiàng)式的構(gòu)造,Lagrange插值多項(xiàng)式:,且,同樣,承襲性:,為實(shí)數(shù),而且有:,這樣:,2.4.1 差商及其基本性質(zhì),定義1 稱,為 f (x)在x0、x1點(diǎn)的一階差商.,稱為函數(shù)f (x)在x0、x1 、xk 點(diǎn)的二階差商.,一階差商的差商,一般地,k-1階差商的差商,稱為f (x)在x0 , x1
2、, , xk點(diǎn)的 k階差商,一般f(xi) 稱為f(x) 在xi點(diǎn)的零階差商,記作fxi。,fxi,xj,xk是指,fxi , xj , xk=,fxi , xk- fxi , xj,xk- xj,一般的,可定義區(qū)間xi, xi+1 , xi+n上的n階差商為,它表明差商與節(jié)點(diǎn)的排列次序無關(guān),即,fx0 , x1 , x2 , ., xn= fx1 , x0 , x2 , ., xn= = fx1 , x2 , ., xn , x0 ,性質(zhì)1 差商可以表示為函數(shù)值的線性組合,即,稱之為差商的對(duì)稱性(也稱為對(duì)稱性質(zhì))。,性質(zhì)2 由性質(zhì)1立刻得到,性質(zhì)3 若f(x)在a,b上存在n階導(dǎo)數(shù), 且節(jié)點(diǎn)
3、x0 , x1 , xna,b ,則至少存在一點(diǎn) a, b 滿足下式,例1 f (x)=6x8+7x510, 求f 1,2, ,9及f 1,2, ,10.,解 f 1,2, ,9=-6,f 1,2, ,10=0.,差商表,計(jì)算原則:,任意一個(gè)k(k=1)階差商的數(shù)值等于一個(gè)分式的值,分子為該數(shù)左側(cè)的數(shù)減去左上側(cè)的數(shù)之差,分母為同行最左側(cè)的插值節(jié)點(diǎn)值減去這一行往上數(shù)第k個(gè)插值節(jié)點(diǎn)值之差。,2.4.2 牛頓插值公式,英1642-1727,構(gòu)造差商表,利用差商表的最外一行,構(gòu)造Newton插值多項(xiàng)式,且有如下遞推形式,設(shè)x是a,b上一點(diǎn),由一階差商定義得,同理,由二階差商定義,如此繼續(xù)下去,可得一系列等式,得,得,牛頓插值公式推導(dǎo)二:,依次把后式代入前式,最后得,Rn(x)稱為牛頓型插值余項(xiàng)。,由插值多項(xiàng)式的唯一性知,它與拉格朗日插值多項(xiàng)式 是等價(jià)的,即 Ln(x) Nn(x),由此即得性質(zhì)1。,余項(xiàng)公式,由此即得性質(zhì)3。,例2 已知f(x)=shx的數(shù)表,求4次牛頓插值多項(xiàng)式,并由 此計(jì)算f(0.596)的近似值。,解 由上表可得過前5點(diǎn)的4次牛頓插值多項(xiàng)式為,1.11600,1.51533,1.18600,1.27573,1.38410,0.43348,0.52493,0.28000,0.35893,0.2
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