概率論與數(shù)理統(tǒng)計第九章區(qū)間估計.ppt

1、第九章 區(qū)間估計,概率論與數(shù)理統(tǒng)計,單個正態(tài)總體均值與方差的置信區(qū)間,2,兩個正態(tài)總體均值與方差的置信區(qū)間,3,置信區(qū)間,1,第九章 區(qū)間估計,第一節(jié) 置信區(qū)間,1,2,置信區(qū)間,置信區(qū)間求解步驟,一、置信區(qū)間概念,定義1 設(shè)總體X的分布函數(shù) 含有一個未知參數(shù) （ 的可能取值范圍），對于給定值 如果由樣本 確定的兩個統(tǒng)計量 和 （ ），對于任意 滿足 則稱隨機區(qū)間 是 的置信水平為1-a的置信區(qū)間(Confidence interval)。,一、置信區(qū)間概念,和 分別稱為 的置信水平為1-a的雙側(cè)置信區(qū)間的置信下限和置信上限，1-a稱為置信度，或置信水平(Confidence level)。,

2、二、置信區(qū)間求解步驟,1.求出 的一個點估計（通常為最大似然估計） 2.通過 的分布，構(gòu)造一個隨機變量函數(shù) ，此函數(shù)除了含有未知參數(shù) 外，不含有其它的未知參數(shù)，并且它的分布是已知的或可確定的；,二、置信區(qū)間求解步驟,3.確定 ，使得 4. 將 等價變形為 ， 其中 和 只與 有關(guān)，則 就是 的1-a置信區(qū)間。,第二節(jié) 單個正態(tài)總體均值與方差 的置信區(qū)間,1,2,單個正態(tài)總體 均值 的置信區(qū)間,單個正態(tài)總體 方差 的置信區(qū)間 （ 未知）,一、單個正態(tài)總體 均值 的置信區(qū)間,1. 已知 由于樣本均值 ，故 根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布上側(cè)分位點的定義有,一、單個正態(tài)總體 均值 的置信區(qū)間,從而有 所以， 的一

3、個置信水平為1-a的置信區(qū)間為,一、單個正態(tài)總體 均值 的置信區(qū)間,例1 某燈泡廠生產(chǎn)的燈泡的壽命服從正態(tài)分布 ,某天從生產(chǎn)的燈泡中抽取10只進(jìn)行壽命試驗，得數(shù)據(jù)如下： 1050，1100，1080，1120，1200， 1250，1040，1130，1300，1200。 求該天生產(chǎn)的燈泡平均壽命 的置信水平為99%的置信區(qū)間。,一、單個正態(tài)總體 均值 的置信區(qū)間,解：1-a=0.99，a=0.01 ， , 而 =1147，n=10, 故 的置信水平為95%的置信區(qū)間為 （1144.70，1149.30）。,一、單個正態(tài)總體 均值 的置信區(qū)間,2. 未知 當(dāng) 未知時，可以用其無偏估計量 代替

4、，而 T= 由t分布的上側(cè)分位點可得,一、單個正態(tài)總體 均值 的置信區(qū)間,即 因此均值 的置信水平為1-a的置信區(qū)間為,一、單個正態(tài)總體 均值 的置信區(qū)間,例2 有一大批糖果，現(xiàn)從中隨機地抽取16袋，稱得重量（以克計）如下： 506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496 設(shè)袋裝糖果的重量近似地服從正態(tài)分布，求總體均值 的置信水平為0.95的置信區(qū)間。,一、單個正態(tài)總體 均值 的置信區(qū)間,解： 1-a=0.95，a/2=0.025，n-1=15， 由給出的數(shù)據(jù)算得 =503.75 ，s=6.2022，得到均值 的置

5、信水平為0.95的置信區(qū)間為 這說明估計袋裝糖果重量均值在500.4克與507.1克之間的可信程度為95%，若以此區(qū)間內(nèi)的任一值作為 的近似值，其誤差不大于 (克) ，這個誤差估計的可信程度為95%。,二、單個正態(tài)總體 方差 的置信區(qū)間（ 未知）,因為 為 的無偏估計，且 由 分布的上側(cè)分位點可得,二、單個正態(tài)總體 方差 的置信區(qū)間（ 未知）,即 因此 的置信水平為1-a的置信區(qū)間為,二、單個正態(tài)總體 方差 的置信區(qū)間（ 未知）,例3 求例1中總體標(biāo)準(zhǔn)差 的置信水平為0.95的置信區(qū)間。 解：由（3）得 的置信水平為0.95的置信區(qū)間為 從而總體標(biāo)準(zhǔn)差 的置信水平為0.95的置信區(qū)間為,第三節(jié)

6、 兩個正態(tài)總體均值與方差 的置信區(qū)間,1,2,均值差 的置信區(qū)間,方差比 的置信區(qū)間,一、均值差 的置信區(qū)間,1 均為已知 因為 所以 從而可得 的置信水平為1-a置信區(qū)間為,一、均值差 的置信區(qū)間,2. 但是 為未知， 由 其中 得 的置信水平為1-a置信區(qū)間為,一、均值差 的置信區(qū)間,例4 為比較，兩種型號的步槍子彈的槍口速度，隨機地取型子彈10發(fā)，得到槍口速度的平均值為 =500(m/s)，標(biāo)準(zhǔn)差 =1.10(m/s), 隨機地取型子彈20發(fā), 得到槍口速度的平均值為 =496(m/s)，標(biāo)準(zhǔn)差 =1.20(m/s),假設(shè)兩總體都可認(rèn)為近似地服從正態(tài)分布。且由生產(chǎn)過程可認(rèn)為方差相等。求兩

7、總體均值差 - 的置信水平為0.95的置信區(qū)間。,一、均值差 的置信區(qū)間,解：根據(jù)實際情況，可認(rèn)為分別來自兩個總體的樣本是相互獨立的。又因為假設(shè)兩總體的方差相等，但數(shù)值未知，故可用（5）式來求均值差的置信區(qū)間。 由于 1-a=0.95， 故所求的兩個體樣本均值差 的置信水平為0.95置信區(qū)間為 即,二、.方差比 的置信區(qū)間,由F= 由F分布上側(cè)分位點，可得 即 因此方差比 的置信水平為1-a置信區(qū)間為,二、.方差比 的置信區(qū)間,例5 研究由機器A和機器B生產(chǎn)的鋼管的內(nèi)徑，隨機抽取機器A生產(chǎn)的管子18只，測得樣本方差 =0.34( )； 抽取機器B生產(chǎn)的管子13只，測得樣本方差 =0.29( )，設(shè)兩樣本相互獨立，且設(shè)由機器A和機器B