隨機變量及其分布.ppt

1、第二章 隨機變量及其分布,1. 隨機變量的定義,定義1,隨機變量通常用大寫字母X,Y,Z,或希臘字母, , ,.等表示.,2.1、隨機變量的概念,隨機變量隨著試驗的結(jié)果不同而取不同的值, 由于試驗的各個結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率, 因此隨機變量的取值也有一定的概率規(guī)律.,(2)隨機變量的取值具有一定的概率規(guī)律,隨機變量是一個函數(shù) , 但它與普通的函數(shù)有著本質(zhì)的差別 ,普通函數(shù)是定義在實數(shù)軸上的,而隨機變量是定義在樣本空間上的 (樣本空間的元素不一定是實數(shù)).,2.說明,(1)隨機變量與普通的函數(shù)不同,實例 1 擲一個硬幣, 觀察出現(xiàn)的結(jié)果 , 共有兩種 情況:,若用 X 表示擲一個硬幣出現(xiàn)正面的

2、次數(shù), 則有,即 X (e) 是一個隨機變量.,若用 X 表示該家女孩子的個數(shù)時 , 則有,可得隨機變量 X(e),實例 2 在有兩個孩子的家庭中,考慮 其性別 , 共有 4 個樣本點:,3.隨機變量的分類,離散型,(1)離散型 隨機變量所取的可能值是有限多個或 無限多個(可列個), 叫做離散型隨機變量.,觀察擲一個骰子出現(xiàn)的點數(shù).,隨機變量 X 的可能值是 :,隨機變量,連續(xù)型,實例1,1, 2, 3, 4, 5, 6.,非離散型,其它,實例2 若隨機變量 X 記為 “連續(xù)射擊, 直至命中時的射擊次數(shù)”, 則 X 的可能值是:,實例3 設(shè)某射手每次射擊打中目標的概率是0.8, 現(xiàn)該射手射了3

3、0次,則隨機變量 X 記為“擊中目標 的次數(shù)”,則 X 的所有可能取值為:,則 X 的取值范圍為,2.2 離散隨機變量,定義1 若隨機變量X只能取得有限個數(shù)值x1,x2,.,xn,或可列無窮多個數(shù)值x1,x2,.,xn,.,則稱X為離散隨機變量,概率分布：離散隨機變量X取得任一可能值xi的概率P(X=xi)，記作P(X=xi)=pi,i=1,2,3,n,，稱為離散隨機變量X的概率函數(shù)，或概率分布或分布律,離散型隨機變量的分布律也可表示為,或,概率分布的性質(zhì)：,注：當X取有限個可能值時，表示有限項和； 當X取可列無窮多個可能值時，表示收斂 級數(shù)的和,例1：袋中有個白球和個黑球，每次從其中任取個球

4、直到取得白球為止，求取球次數(shù)的概率分布,假定：（）每次取出的黑球不再放回去； （）每次取出的黑球仍放回去,解：（）設(shè)隨機變量X是取球次數(shù)，因每次取出的球 不放回去，所以X的可能值是1,2,3,4易知,（）設(shè)隨機變量Y是取球次數(shù)，因為每次取出的黑球 仍放回去，所以Y的可能值是一切正整數(shù)易知,幾何分布：一次試驗中只考慮事件A出現(xiàn)或不出現(xiàn),做獨立重復試驗直到事件A出現(xiàn)為止，設(shè)試驗次數(shù)為X, 則X的可能取值為1,2,3,其概率分布為：,2.3 常見離散隨機變量的概率分布,設(shè)隨機變量 X 只可能取0與1兩個值 , 它的分布律為,2.兩點分布(0-1分布）,1.退化分布,若隨機變量X取常數(shù)值C的概率為1,

5、即,則稱X服從退化分布.,實例1 “拋硬幣”試驗,觀察正、反兩面情況.,隨機變量 X 服從 (0-1) 分布.,則稱 X 服從 (0-1) 分布或兩點分布.記為Xb(1,p),兩點分布是最簡單的一種分布,任何一個只有兩種可能結(jié)果的隨機現(xiàn)象, 比如新生嬰兒是男還是女、明天是否下雨、種籽是否發(fā)芽等, 都屬于兩點分布.,說明,.超幾何分布,設(shè)X的分布律為,超幾何分布在關(guān)于廢品率的計件檢驗中常用 到.,說明,例1：設(shè)一批產(chǎn)品中有N件，其中M件次品，現(xiàn)從中任取 n件（nN),則此n件產(chǎn)品中的次品數(shù)X是一離散隨機變 量X的可能值是0,1,2,.,min(n,M),其概率分布為：,4.二項分布,若X的分布律

6、為：,稱隨機變量X服從參數(shù)為n,p的二項分布。 記為,其中q1p,例如 在相同條件下相互獨立地進行 5 次射擊,每次射擊時擊中目標的概率為 0.6 ,則擊中目標的次數(shù) X 服從 B (5,0.6) 的二項分布.,分析,這是不放回抽樣.但由于這批元件的總數(shù)很大, 且抽查元件的數(shù)量相對于元件的總數(shù)來說又很小,因而此抽樣可近似當作放回抽樣來處理.,例2,解,圖示概率分布,解,因此,例3,注：1、一批產(chǎn)品N個，其中M個次品，即次品率p=M/N進行 放回抽樣，連續(xù)抽取n次，則次品數(shù)服從二項分布B (n,p). 2、如果不放回抽樣，則連續(xù)抽取n次，次品數(shù)服從超幾何分布 3、當一批產(chǎn)品的總數(shù)N很大，而抽取樣

7、品的個數(shù)n遠遠小于N，則放回抽樣與不放回抽樣實際上沒有多大的差別,. 泊松分布,泊松分布的圖形,定理：(泊松定理),上面我們提到,設(shè)1000 輛車通過, 出事故的次數(shù)為 X , 則,可利用泊松定理計算,所求概率為,解,例4 有一繁忙的汽車站, 每天有大量汽車通過, 設(shè)每輛汽車,在一天的某段時間內(nèi)出事故的概率 為0.0001,在每天的該段時間內(nèi)有1000 輛汽車通 過,問出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少?,離散型隨機變量的分布,兩點分布,二項分布,泊松分布,幾何分布,二項分布,小結(jié),超幾何分布,退化分布,例1 從一批含有10件正品及3件次品的產(chǎn)品中一 件、一件地取產(chǎn)品.設(shè)每次抽取時, 所面對的各

8、件 產(chǎn)品被抽到的可能性相等.在下列三種情形下, 分 別求出直到取得正品為止所需次數(shù) X 的分布律. (1)每次取出的產(chǎn)品經(jīng)檢定后又放回 這批產(chǎn)品中去在取下一件產(chǎn)品;(2)每 次取出的產(chǎn)品都不放回這批產(chǎn)品中; (3)每次取出一件產(chǎn)品后總以一件正 品放回這批產(chǎn)品中.,附加題,解,(1) X 所取的可能值是,(2) 若每次取出的產(chǎn)品都不放回這批產(chǎn)品中時,X 所取的可能值是,(3) 每次取出一件產(chǎn)品后總以一件正品放回這批 產(chǎn)品中.,故 X 的分布律為,X 所取的可能值是,例2 為了保證設(shè)備正常工作, 需配備適量的維修 工人 (工人配備多了就浪費 , 配備少了又要影響生 產(chǎn)),現(xiàn)有同類型設(shè)備300臺,各

9、臺工作是相互獨立的, 發(fā)生故障的概率都是0.01.在通常情況下一臺設(shè)備 的故障可由一個人來處理(我們也只考慮這種情況 ) ,問至少需配備多少工人 ,才能保證設(shè)備發(fā)生故障 但不能及時維修的概率小于0.01?,解,合理配備維修工人問題,由泊松定理得,故有,即,例3 (人壽保險問題)在保險公司里 有2500個同年齡同社會階層的人參加了人壽保險,在每一年里每個人死亡的概率為0.002,每個參加保險的人在1月1日付12元保險費,而在死亡時,家屬可在公司里領(lǐng)取200元.問 (1)保險公司虧本的概率是多少? (2) 保險公司獲利不少于一萬元的概率是多少?,保險公司在1月1日的收入是 250012=30000

10、元,解 設(shè)X表示這一年內(nèi)的死亡人數(shù),則,保險公司這一年里付出200X元.假定 200X30000,即X 15人時公司虧本.,于是,P公司虧本=P X 15=1-PX 14,由泊松定理得,P公司虧本,(2) 獲利不少于一萬元,即 30000 -200X 10000,即X10,P獲利不少于一萬元=PX10,2.4 連續(xù)隨機變量,說明：、當X是一個連續(xù)隨機變量時，比如 X 為 “燈泡的壽命”這時，X=100小時雖然是一個可 能事件但它的概率為零，也就是說我們討論 壽命等于小時已經(jīng)沒有任何現(xiàn)實意義 這時，我們考慮更實際的問題是X100或者是 100X200 、通常采用直方圖來表示連續(xù)隨機變量落入某個

11、區(qū)間的頻率。如書上49頁的例子,2.5 隨機變量的分布函數(shù),為了對離散型和連續(xù)型隨機變量以及更廣泛類型的隨機變量給出一種統(tǒng)一的描述方法，下面引進了分布函數(shù)的概念.,如果將X看作數(shù)軸上隨機點的坐標,則分布函數(shù)F(x)的值就表示X落在區(qū)間-, x的概率.,問： 在上 式中，X, x 皆為變量. 二者有什 么區(qū)別？ x 起什么作用？ F(x) 是不是概率？,X是隨機變量, x是參變量.,F(x) 是r.v X取值不大于 x 的概率.,由定義，對任意實數(shù) x1x2，隨機點落 在區(qū)間（ x1 , x2 的概率為：,P x1X x2 = P X x2 - P X x1 = F(x2)-F(x1),因此，只

12、要知道了隨機變量X的分布函數(shù)， 它的統(tǒng)計特性就可以得到全面的描述.,說明,(1) 分布函數(shù)主要研究隨機變量在某一區(qū)間內(nèi)取值的概率情況.,(2) 分布函數(shù)是一個普通的函數(shù)，正是通過它，我們可以用數(shù)學分析的工具來研究 隨機變量.,證明,2.分布函數(shù)的性質(zhì),(單調(diào)不減性),證明,所以,即任一分布函數(shù)處處右連續(xù).,反過來,如果一個函數(shù)具有上述性質(zhì)，則一定是某個r.v X 的分布函數(shù). 也就是說，性質(zhì)(1)-(4)是鑒別一個函數(shù)是否是某r.v的分布函數(shù)的充分必要條件.,分布函數(shù),分布律,注（）離散型隨機變量的分布函數(shù)是階梯函數(shù),離散型隨機變量分布律與分布函數(shù)的關(guān)系,（）連續(xù)隨機變量的分布函數(shù)是連續(xù)的,重

13、要公式,證明,例題講解,請同學們思考,不同的隨機變量,它們的分布函數(shù)一定也不相同嗎?,例2 一個靶子是半徑為2米的圓盤,設(shè)擊中靶上任 一同心圓盤上的點的概率與該圓盤的面積成正比, 并設(shè)射擊都能中靶,以X表示彈著點與圓心的距離. 試求隨機變量 X 的分布函數(shù).,解,于是,故 X 的分布函數(shù)為,其圖形為一連續(xù)曲線,小結(jié),2. 隨機變量的分類:離散型,非離散型（以連續(xù)性為主）.,1. 概率論是從數(shù)量上來研究隨機現(xiàn)象內(nèi)在規(guī)律性的, 因此為了方便有力地研究隨機現(xiàn)象, 就需將隨機事件數(shù)量化,把一些非數(shù)量表示的隨機事件用數(shù)字表示時, 就建立起了隨機變量的概念. 因此隨機變量是定義在樣本空間上的一種特殊的函數(shù)

14、.,性質(zhì),證明,2.6 連續(xù)隨機變量的概率密度,1.定義,1,證明,x,x,p,0,),(,同時得以下計算公式,注意 對于任意可能值 a ,連續(xù)型隨機變量取 a 的概率等于零.即,證明,由此可得,連續(xù)型隨機變量的概率與區(qū)間的開閉無關(guān),設(shè)X為連續(xù)型隨機變量 ，X=a 是不可能 事件,則有,若 X 為離散型隨機變量,注意,連 續(xù) 型,離 散 型,解,例1,2.7 均勻分布和指數(shù)分布,1. 均勻分布,分布函數(shù),例1 設(shè)隨機變量 X 在 2, 5 上服從均勻分布, 現(xiàn) 對 X 進行三次獨立觀測 ,試求至少有兩次觀測值 大于3 的概率.,X 的分布密度函數(shù)為,設(shè) A 表示“對 X 的觀測值大于 3 的次

15、數(shù)”,解,即 A= X 3 .,因而有,設(shè)Y 表示3次獨立觀測中觀測值大于3的次數(shù),則,2. 指數(shù)分布,指數(shù)分布密度 函數(shù)圖形演示,某些元件或設(shè)備的壽命服從指數(shù)分布.例如無線電元件的壽命 , 電力設(shè)備的壽命, 動物的壽命等都服從指數(shù)分布.,應(yīng)用與背景,分布函數(shù),指數(shù)分布分布函數(shù)圖形演示,例2 設(shè)某類日光燈管的使用壽命 X 服從參數(shù)為 =1/2000的指數(shù)分布(單位:小時) (1)任取一只這種燈管, 求能正常使用1000小時以 上的概率. (2) 有一只這種燈管已經(jīng)正常使用了1000 小時以 上,求還能使用1000小時以上的概率.,X 的分布函數(shù)為,解,指數(shù)分布的重要性質(zhì) :“無記憶性”.,例3

16、,故有,解,(1) 因為 X 是連續(xù)型隨機變量,解,則有實根的概率為,例4,問題,2.8 隨機變量函數(shù)的分布,一、離散隨機變量函數(shù)的分布,Y 的可能值為,即 0, 1, 4.,解,例1,故 Y 的分布律為,由此歸納出離散型隨機變量函數(shù)的分布的求法.,離散型隨機變量函數(shù)概率分布的計算,Y 的分布律為,解,第一步 先求Y=2X+8 的分布函數(shù),解,二、連續(xù)型隨機變量的函數(shù)的分布,例3,第二步 由分布函數(shù)求概率密度.,解,例4,再由分布函數(shù)求概率密度.,當 Y=2X+3 時,有,請同學們思考,答,所以,2.9 二維隨機變量的聯(lián)合分布,一、二維隨機變量的定義,實例1 炮彈的彈著點的位置 (X,Y) 就

17、是一個二維隨機變量.,二維隨機變量 ( X, Y ) 的性質(zhì)不僅與X 、Y 有關(guān),而且還依賴于這兩個隨機變量的相互關(guān)系.,實例2 考查某一地 區(qū)學前兒童的發(fā)育情況 , 則兒童的身高 H 和體重 W 就構(gòu)成二維隨機變量(H,W).,說明,二、二維隨機變量的分布函數(shù),(1)分布函數(shù)的定義,(2) 分布函數(shù)的性質(zhì),且有,證明,若二維隨機變量 ( X, Y ) 所取的可能值是有限對或無限可列多對,則稱 ( X, Y ) 為二維離散型隨機變量.,三、二維離散型隨機變量,1. 定義,2. 二維離散型隨機變量的分布律,二維隨機變量 ( X,Y ) 的分布律也可表示為,解,且由乘法公式得,例1,( X,Y )

18、 所取的可能值是,解,抽取兩支都是綠筆,抽取一支綠筆,一支紅筆,例2 從一個裝有3支藍色、2支紅色、3支綠色 圓珠筆的盒子里, 隨機抽取兩支, 若 X、Y 分別 表示抽出的藍筆數(shù)和紅筆數(shù),求( X,Y )的分布律.,故所求分布律為,例3 一個袋中有三個球,依次標有數(shù)字 1, 2, 2, 從中任取一個, 不放回袋中 , 再任取一個, 設(shè)每 次取球時,各球被取到的可能性相等,以 X, Y 分 別記第一次和第二次取到的球上標有的數(shù)字 , 求 X, Y 的分布律.,( X,Y )的可能取值為,解,故 (X ,Y )的分布律為,說明,離散型隨機變量 ( X ,Y ) 的分布函數(shù)歸納為,1.定義,四、二維

19、連續(xù)型隨機變量,2.性質(zhì),表示介于 p(x, y)和 xOy 平面之間的空間區(qū)域的全部體積等于1.,3.說明,例4,解,(2) 將 ( X,Y )看作是平面上隨機點的坐標,即有,.均勻分布,定義 設(shè) D 是平面上的有界區(qū)域,其面積為 S,若二維隨機變量 ( X , Y ) 具有概率密度,則稱( X , Y )在 D 上服從 均勻分布.,解,例1,備份題,2.10 二維隨機變量的邊緣分布,一、定義,為隨機變量 ( X,Y )關(guān)于Y 的邊緣分布函數(shù).,二、離散型隨機變量的邊緣分布律,因此得離散型隨機變量關(guān)于X 和Y 的邊緣分布函數(shù)分別為,例1 已知下列分布律求其邊緣分布律.,注意,聯(lián)合分布,邊緣分

20、布,解,三、連續(xù)型隨機變量的邊緣分布,同理可得 Y 的邊緣分布函數(shù),Y 的邊緣概率密度.,解,例2,聯(lián)合分布,邊緣分布,四、小結(jié),解,例1,備份題,解,例2,一、隨機變量的相互獨立性,二、離散型隨機變量的條件分布,三、連續(xù)型隨機變量的條件分布,四、小結(jié),2.11 隨機變量的獨立性與條件分布,一、隨機變量的相互獨立性,隨機變量的獨立性是概率論中的一 個重要概念.兩隨機變量獨立的定義是：,兩事件A,B獨立的定義是： 若P(AB)=P(A)P(B) 則稱事件A,B獨立 .,1.定義,它表明，兩個r.v相互獨立時，它們的聯(lián)合 分布函數(shù)等于兩個邊緣分布函數(shù)的乘積 .,若 (X,Y)是連續(xù)型r.v ,則上

21、述獨立性的 定義等價于：,若 (X,Y)是離散型r.v ，則上述獨立性的定義等價于：,解,例1,(1)由分布律的性質(zhì)知,特別有,又,(2) 因為 X 與 Y 相互獨立, 所以有,x0,即：,對一切x, y, 均有： 故X,Y 獨立,y 0,解：,解,由于X 與Y 相互獨立,例3,于是,問題,二、離散型隨機變量的條件分布,定義,例5,解,由上述分布律的表格可得,定義,三、連續(xù)型隨機變量的條件分布,答,請同學們思考,說明,聯(lián)合分布、邊緣分布、條件分布的關(guān)系如下,聯(lián)合分布,條件分布函數(shù)與條件密度函數(shù)的關(guān)系,解,例6,四、小結(jié),1. 若離散型隨機變量 ( X,Y )的聯(lián)合分布律為,獨立性,條件分布,解,例1,備份題,于是 (X,Y)關(guān)于X 的邊緣概率密度為,解,因此,在 Y=1 的條件下 X 的分