2-單自由度自由振動.ppt

1、,第2章 單自由度系統(tǒng)自由振動,單自由度系統(tǒng): 可以用一個獨立坐標來確定系統(tǒng)的位置及其運動規(guī)律的振動系統(tǒng); 單自由度線性系統(tǒng)的振動是最簡單的振動系統(tǒng); 許多實際問題可以足夠精確地簡化為單自由度振動系統(tǒng); 單自由度振動系統(tǒng)的一些概念、特征和研究方法，是研究復雜振動系統(tǒng)的基礎(chǔ)。,2.1 引 言,根據(jù)振動系統(tǒng)結(jié)構(gòu)形式的不同，建立振動微分方程的方法也不同，主要采用牛頓定律、動力學基本定理（動量定理、動能定理、動量矩定理）以及拉格朗日方程等。,振動微分方程 (P6-20),2.2 自由振動系統(tǒng),2.2 自由振動系統(tǒng),m-k系統(tǒng)的自由振動 (P6) m-k系統(tǒng)雖然非常簡單，但卻是許多實際結(jié)構(gòu)振動問題的力學

2、模型。 已知質(zhì)量為m，彈簧的剛度系數(shù)為k。取質(zhì)量的靜平衡位置為坐標原點, 當重物偏離 x 時,利用牛頓定律可得到運動微分方程：,2.2 自由振動系統(tǒng),扭轉(zhuǎn)振動 (P9) 圓盤在軸的彈性恢復力矩作用下在平衡位置附近作扭轉(zhuǎn)振動。設(shè)q為圓盤相對靜平衡位置轉(zhuǎn)過的角度, J為圓盤對軸的轉(zhuǎn)動慣量, kt為使軸產(chǎn)生單位轉(zhuǎn)角所需施加的扭矩(即軸的扭轉(zhuǎn)剛度)。則,2.2 自由振動系統(tǒng),復擺(P12) 設(shè)物體對懸掛點O的轉(zhuǎn)動慣量為JO，利用定軸轉(zhuǎn)動微分方程可得到用轉(zhuǎn)角f表示的轉(zhuǎn)動微分方程:,2.2 自由振動系統(tǒng),純滾動圓盤(P15) 已知m、r、R，利用功率方程(動能定理)或拉格郎日方程可得到用角度f 表示的運動

3、微分方程:,2.2 自由振動系統(tǒng),梁的橫向振動 質(zhì)量為m的重物放在簡支梁的中部，不計梁的質(zhì)量。設(shè)梁長為l，材料的彈性模量為E，截面慣性矩為I。則利用材料力學的概念可得到：,2.2 自由振動系統(tǒng),dst,振動微分方程的統(tǒng)一形式 比較前面幾種不同系統(tǒng)的振動微分方程,2.2 自由振動系統(tǒng),可以寫成統(tǒng)一的數(shù)學形式,meq和keq分別稱為等效質(zhì)量和等效剛度，x為廣義坐標。為方便起見，以后將等效質(zhì)量和等效剛度直接寫為m和k。則方程變?yōu)椋?因此只討論此方程的解即可。,2.2 自由振動系統(tǒng),1. 方程的解 設(shè),振動微分方程的解(P6),則方程變?yōu)?通解為,或,2.2 自由振動系統(tǒng),設(shè)系統(tǒng)的初始條件為：t0時，

4、xx0，,則可確定上述解中的常數(shù)為：,2.2 自由振動系統(tǒng),2. 概念與名詞(P6-7) 一階線性振動微分方程的解是時間 t 的簡諧函數(shù)，因此這種振動為簡諧振動。 方程的解中wn只決定于系統(tǒng)本身的參數(shù)m和k，而與系統(tǒng)的初始條件無關(guān)，是系統(tǒng)本身所固有的特性，所以稱為固有頻率，或稱圓頻率或角頻率。 方程解中的A稱為振幅，是質(zhì)量偏離靜平衡位置的最大距離; f 稱為初相位。,2.2 自由振動系統(tǒng),從方程的解中還可以看出，系統(tǒng)屬于周期振動，振動的周期為,周期是系統(tǒng)振動一次所需要的時間，單位為秒（s）。 周期的倒數(shù)稱為頻率，是系統(tǒng)每秒鐘振動的次數(shù),單位為1/秒(1/s)或赫茲(Hz)。記作 f,2.2 自

5、由振動系統(tǒng),固有頻率wn和頻率 f 只相差常數(shù)2p，因此經(jīng)常通稱為固有頻率。是振動分析中極其重要的參數(shù)。 顯然,2.2 自由振動系統(tǒng),因此wn的物理意義是在2p時間內(nèi)振動的次數(shù)，單位為弧度/秒(rad/s)。 圓有頻率、振幅和初相位是簡諧振動的三個重要特征量。,1. 直接計算法 即直接利用固有頻率的公式進行計算。 求出振動系統(tǒng)微分方程后，利用等效剛度和等效質(zhì)量，即可求出固有頻率：,固有頻率的計算,2.2 自由振動系統(tǒng),2. 靜位移方法(P7) m-k系統(tǒng)是所有一階線性微振動系統(tǒng)的模型，利用此模型得出的結(jié)論具有一般性。 質(zhì)量在靜平衡位置時彈簧的位移為,則固有頻率為,2.2 自由振動系統(tǒng),復擺系統(tǒng)

6、的固有頻率 用轉(zhuǎn)角f表示的轉(zhuǎn)動微分方程:,mg,則固有頻率:,2.2 自由振動系統(tǒng),純滾動圓盤系統(tǒng) 用角度f 表示的運動微分方程:,則固有頻率:,2.2 自由振動系統(tǒng),扭轉(zhuǎn)振動系統(tǒng) 轉(zhuǎn)動方程為,則固有頻率:,2.2 自由振動系統(tǒng),梁的橫向振動系統(tǒng) 利用振動方程,固有頻率:,或利用材料力學公式計算出靜位移:,固有頻率:,2.2 自由振動系統(tǒng),dst,對無阻尼自由振動系統(tǒng)，能量（機械能）是守恒的。設(shè)系統(tǒng)的動能和勢能分別用 T 和 V 表示，則能量方程為 T+V常數(shù) 或,2.3 能量法,2.3 能量法,系統(tǒng)在靜平衡位置的速度最大，動能也最大，勢能取為0位置; 在質(zhì)量偏離靜平衡位置最大時，速度為0，動

7、能也為0，而勢能達到最大，利用能量守恒關(guān)系得到 TmaxVmax 同時還有下面的關(guān)系 利用上面兩式可以直接求固有頻率。,2.3 能量法,例 利用能量法求純滾動圓盤系統(tǒng)作微幅振動的固有頻率。,2.3 能量法,一般不考慮彈性元件的質(zhì)量對振動系統(tǒng)的影響，當這些質(zhì)量不可忽略的時候，“瑞利法”的思想是：將這些彈性元件所具有的多個集中質(zhì)量或分布質(zhì)量簡化到系統(tǒng)的集中質(zhì)量上去，從而變成典型的單自由度振動系統(tǒng)。 遵循的原則是：簡化后系統(tǒng)的動能與原系統(tǒng)的動能相等，但并不考慮重力勢能的影響。這種簡化只是一種近似方法，但誤差不大。,2.4 瑞利法,2.4 瑞利法,P17例2-4-1 質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)，集中質(zhì)量為m，彈簧

8、長度為l，剛度為k，質(zhì)量為m1，求考慮彈簧質(zhì)量影響時的固有頻率。,2.4 瑞利法,題2.13(a) 求圖示系統(tǒng)的固有頻率。,舉 例,單 自 由 度 自 由 振 動 舉 例,題2.15 求圖示系統(tǒng)微幅振動的微分方程（m2視為均質(zhì)圓盤）。,作業(yè)：T2.1，4，13,舉 例,單 自 由 度 自 由 振 動 舉 例,無阻尼系統(tǒng)振動過程中能量守恒，振幅保持不變。而實際情況并非如此，必須考慮阻力對振動過程的影響。 實際阻力的形式很多，有滑動摩擦表面的阻力、空氣或流體阻力、彈性材料的內(nèi)摩擦阻力等，因此阻力的大小變化規(guī)律也各不相同。 阻力大小與速度成正比的阻尼稱為粘性阻尼或線性阻尼。這是最簡單的情況。,2.5

9、 具有黏性阻尼的振動系統(tǒng),2.5 具有黏性阻尼的振動系統(tǒng),1. 振動微分方程及其解（P21） 以靜平衡位置為坐標原點建立坐標系，可得系統(tǒng)的運動微分方程,其中c為粘性阻尼的比例常數(shù)，稱為粘性阻尼系數(shù)。,mg,Fk,Fc,2.5 具有黏性阻尼的振動系統(tǒng),令阻尼比為,則方程可寫為,令其解為,代入方程得到,此特征方程的兩個根是,2.5 具有黏性阻尼的振動系統(tǒng),不同的阻尼比x，對應的解的形式不同，運動性質(zhì)也不同。 2. 解及運動形式的討論（P22-26） （1）x 1（大阻尼情況） 此時特征方程有兩個不同的實根，通解為,2.5 具有黏性阻尼的振動系統(tǒng),給出初始條件：t0時,則可確定系數(shù)B和D,2.5 具

10、有黏性阻尼的振動系統(tǒng),這種情況對應的運動是一種衰減運動，但不是我們所關(guān)心的振動形式。設(shè)x00，v00，則運動圖形大致如下。,2.5 具有黏性阻尼的振動系統(tǒng),（2）x1（臨界阻尼情況） 此時特征方程有重根，通解為,利用初始條件確定常數(shù)為,此時的阻尼系數(shù)稱為臨界阻尼系數(shù)，記為cc,2.5 具有黏性阻尼的振動系統(tǒng),臨界阻尼情況也是一種非振動形式的衰減運動，按不同的初始條件其運動圖形如下。,2.5 具有黏性阻尼的振動系統(tǒng),（3）0 x 1（小阻尼情況） 此時特征方程有一對共軛復根，通解為,或?qū)憺?利用初始條件確定出常數(shù),2.5 具有黏性阻尼的振動系統(tǒng),解中有兩個因子，一個是衰減的指數(shù)函數(shù) ,它將使振幅

11、越來越小，直至振動最終消失;,2.5 具有黏性阻尼的振動系統(tǒng),另一個是正弦函數(shù) ， 它表示系統(tǒng)以相同的周期通過平衡位置。 因此系統(tǒng)呈現(xiàn)為一種衰減形式的等周期振動形式。,2.5 具有黏性阻尼的振動系統(tǒng),單自由度粘性阻尼系統(tǒng)在小阻尼情況下的衰減振動是我們最為關(guān)心的振動形式。這種衰減振動具有下列特性： （1）振幅衰減 由前面的解可以看出，振幅不再是常量，而是以幾何級數(shù) 快速衰減; （2）等時性 系統(tǒng)仍以相同的周期通過平衡位置;,2.5 具有黏性阻尼的振動系統(tǒng),（3）振動頻率變小，周期變長 此時系統(tǒng)振動的頻率和周期為：,因此：衰減振動的固有頻率比無阻尼系統(tǒng)的固有頻率小，振動周期變大，但影響不大，特別是

12、當阻尼很小（x1）時，可以忽略阻尼對振動頻率和周期的影響。,2.5 具有黏性阻尼的振動系統(tǒng),振幅衰減的快慢程度可用相鄰振幅的比值來表示，稱為衰減率或減幅率或減縮率；也可以用衰減率的自然對數(shù)來表示，稱為對數(shù)衰減率。,2.6 對數(shù)衰減率,2.6 對數(shù)衰減率,利用前面給出的解,可得到衰減率為,對數(shù)衰減率為,2.6 對數(shù)衰減率,若用X0表示系統(tǒng)最初的振幅，經(jīng)過n次循環(huán)后的振幅為Xn，則對數(shù)衰減率又可以表示為,證明：,相乘得,則,即,2.6 對數(shù)衰減率,1.4 衰減振動和對數(shù)衰減率,題2-16 求圖示系統(tǒng)振動的微分方程和固有頻率（不計桿的質(zhì)量，c為黏性阻尼）。,1.4 衰減振動和對數(shù)衰減率,題2-18

13、圖示系統(tǒng)，在空氣中振動周期為T1，在液體中振動周期為T2。試證明液體的粘性阻尼系數(shù)為,作業(yè)：T2-8、17,小 結(jié),1. 名詞與概念 固有頻率,振幅,周期,相位角；線性阻尼系數(shù),臨界阻尼系數(shù)，阻尼比；衰減率與對數(shù)衰減率；等效質(zhì)量,等效剛度。 2. 建立振動微分方程的方法 牛頓定律、動能定理（功率方程、機械能守恒）、定軸轉(zhuǎn)動微分方程等。,本 章 小 結(jié),小 結(jié),3. 無阻尼自由振動方程的解 方程,或,通解為,或,小 結(jié),（2）靜位移法,4. 固有頻率的確定 （1）按定義直接計算,（3）能量法 （無阻尼自由振動系統(tǒng)）,以及,小 結(jié),5. 考慮彈性元件質(zhì)量時的等效質(zhì)量 將這些彈性元件所具有的多個集中質(zhì)量或分布質(zhì)量簡化到系統(tǒng)的集中質(zhì)量上去，簡化后系