《2.1.2求曲線的方程》課件3.ppt

1、2.1.2 求曲線的方程,1.坐標法和解析幾何研究的主要問題 (1)坐標法:借助于_，通過研究方程的性質間接地來研 究曲線性質的方法. (2)解析幾何研究的主要問題: 曲線研究方程:根據(jù)已知條件，求出_. 方程研究曲線:通過曲線的方程，研究_.,坐標系,表示曲線的方程,曲線的性質,2.求曲線方程的一般步驟 (1)建立適當?shù)淖鴺讼?，用有序實?shù)對_表示曲線上任意 一點M的坐標. (2)寫出適合條件p的點M的集合P=_. (3)用坐標表示條件p(M)，列出方程_. (4)化方程f(x，y)=0為最簡形式. (5)說明以化簡后的方程的解為坐標的點都在_.,(x，y),M|p(M),f(x，y)=0,曲

2、線上,1.判一判(正確的打“”，錯誤的打“”) (1)在求曲線方程時，對于同一條曲線，坐標系的建立不同，所得到的曲線方程也不一樣.() (2)化簡方程“|x|=|y|”為“y=x”是恒等變形.() (3)按照求曲線方程的步驟求解出的曲線方程不用檢驗.(),提示:(1)正確.對于曲線上同一點，由于坐標系不同，該點的坐標就不一樣，因此方程也不一樣. (2)錯誤.|x|=|y|化簡的形式為y=x. (3)錯誤.一般情況下，化簡前后方程的解集是相同的，但是在求解、化簡過程中極易產生增解或漏解，檢驗這一步驟是應該有的，故此說法不正確. 答案:(1)(2)(3),2.做一做(請把正確的答案寫在橫線上) (

3、1)在平面直角坐標系內，到原點距離為2的點M的軌跡方程 是. (2)直角坐標平面xOy中，若定點A(1，2)與動點P(x，y)滿足 =4，則點P的軌跡方程是. (3)已知點O(0，0)，A(1，-2)，動點P滿足|PA|=3|PO|，則點P的軌跡方程是.,【解析】(1)設M(x，y)，由|MO|=2，得 =2，所以x2+y2=4. 答案:x2+y2=4 (2)由 =4知，x+2y=4x+2y-4=0， 所以P點的軌跡方程是x+2y-4=0. 答案:x+2y-4=0,(3)設P(x，y)，則|PA|=3|PO|可化為 化簡得:8x2+2x+8y2-4y-5=0. 答案:8x2+2x+8y2-4y

4、-5=0,【要點探究】 知識點 坐標法與曲線方程的求解 1.平面直角坐標系的選取方法 (1)若條件中只出現(xiàn)一個定點，常以定點為原點建立直角坐標系. (2)若已知兩定點，常以兩定點的中點為原點，兩定點所在的直線為x軸建立直角坐標系.,(3)若已知兩條互相垂直的直線，則以它們?yōu)樽鴺溯S建立直角坐標系. (4)若已知一定點和一定直線，常以點到直線的垂線段的中點為原點，以點到直線的垂線的反向延長線為x軸建立直角坐標系.,2.求曲線方程時應注意的四個問題 (1)在第一步中，如果原題中沒有確定坐標系，首先選取適當?shù)淖鴺讼担ǔ＿x取特殊位置為原點，相互垂直的直線為坐標軸. (2)第二步要仔細分析曲線的特征，注

5、意揭示其隱含的條件，抓住與曲線上任意一點M有關的等量關系，列出等式，此步驟有時也可以省略，而直接將幾何條件用動點的坐標表示.,(3)在第三步化簡的過程中，注意運算的合理性與準確性，盡量避免“失解”或“增解”. (4)第四步的說明可以省略不寫，若有特殊情況，可以適當說明，如某些點雖然其坐標滿足方程，但不在曲線上，可以通過限定方程中x(或y)的取值予以剔除.,3.對求曲線方程的三點說明 (1)求曲線方程時，坐標系建立的不同，同一曲線方程也不相同. (2)一般地，求哪個點的軌跡方程，就設哪個點的坐標是(x，y)，而不設成其他字母. (3)求軌跡方程與求軌跡是有區(qū)別的，求軌跡方程得出方程即可，而求軌跡

6、在得出方程后還要指出方程的曲線是什么圖形.,【知識拓展】軌跡方程與軌跡的辨析,【微思考】 (1)曲線(或軌跡)是軸對稱圖形或中心對稱圖形，如何選取坐標系？ 提示:若曲線(或軌跡)為軸對稱圖形，通常以對稱軸為坐標軸(x軸或y軸)；若曲線(或軌跡)是中心對稱圖形，通常以對稱中心為原點.,(2)求解曲線方程時一定要按各步驟操作嗎？ 提示:不一定，若有坐標系，第一步可省略，第二步雖重要，但只要能把條件轉化為方程即可，故也可省略.若化簡前后方程的解集相同，步驟(5)也可省略，如有特殊情況可以適當說明. (3)求得曲線方程后，如何避免出現(xiàn)“增解”或“漏解”？ 提示:可根據(jù)曲線與方程的定義從曲線的方程與方程

7、的曲線兩個方面進行檢驗.,【即時練】 在RtABC中，|AB|=2a(a0)，求直角頂點C的軌跡方程. 【解析】如圖，以AB所在直線為x軸，以線段 AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標系，則 A(-a，0)，B(a，0). 設C(x，y)是平面內的任意一點，連接CO，則由 直角三角形的性質知:|OC|=|AB|=2a=a. 因而點C的軌跡是以坐標原點為圓心，以a為半徑的圓(除去與x軸的交點)，其軌跡方程為x2+y2=a2(xa).,【題型示范】 類型一 直接法求曲線的方程 【典例1】 (1)(2014南昌高二檢測)已知兩點M(-2，0)，N(2，0)，點P滿足 =0，則點P的軌跡方程為. (2)

8、一個動點到直線x=8的距離是它到點A(2，0)的距離的2倍， 求動點的軌跡方程.,【解題探究】1.題(1)條件 =0如何轉化？ 2.題(2)中條件可用式子如何表示？ 【探究提示】1.寫出向量的坐標和向量的坐標，轉化 為向量的坐標運算. 2.設動點P到直線x=8的距離為d，則條件的幾何表示為:d=2|PA|.,【自主解答】(1)設P的坐標為P(x，y)，由 =(-2-x，-y)(2-x，-y)=x2-4+y2=0， 得x2+y2=4，所以點P的軌跡方程為x2+y2=4. 答案:x2+y2=4,(2)設動點P坐標為(x，y)，則動點P到直線x=8的距離d=|x-8|， 到點A的距離|PA|= 由已

9、知d=2|PA|得: |x-8|=2 化簡得: 3x2+4y2=48. 故動點的軌跡方程為3x2+4y2=48.,【方法技巧】直接法求動點軌跡的關鍵及方法 (1)關鍵:建立恰當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担?找出所求動點滿足的幾何條件. (2)方法:求曲線的方程遵循求曲線方程的五個步驟，在實際求解時可簡化為三大步驟:建系、設點；根據(jù)動點滿足的幾何條件列方程；對所求的方程化簡、說明.,【變式訓練】(2014寶雞高二檢測)如圖，圓O1和圓O2的半徑 都等于1，O1O2=4，過動點P分別作圓O1，圓O2的切線PM，PN(M，N分 別為切點)，使得PM= PN，建立平面直角坐標系，并求動點P的 軌跡方程.,【解析

10、】以O1O2的中點O為坐標原點，O1O2所在直線為x軸，建立直角坐標系如圖所示，則O1(-2，0)，O2(2，0).,由已知PM=PN，得PM2=2PN2， 因為圓的半徑為1，所以PO12-1=2(PO22-1)， 設P(x，y)，則(x+2)2+y2-1=2(x-2)2+y2-1， 即(x-6)2+y2=33. 故所求動點P的軌跡方程為(x-6)2+y2=33.,【補償訓練】已知點M到x軸的距離等于到y(tǒng)軸的距離的2倍，求點M的軌跡方程. 【解析】設動點M的坐標為(x，y)，則點M到x軸、y軸的距離分別為|y|，|x|.由題意知|y|=2|x|，整理得y=2x. 所以點M的軌跡方程為y=2x.

11、,類型二 代入法求曲線的方程 【典例2】 (1)(2014吉林高二檢測)已知動點P在曲線2x2-y=0上移動，則點A(0，-1)與點P連線中點M的軌跡方程是() A.y=2x2B.y=8x2 C.2y=8x2-1D.2y=8x2+1 (2)設定點M(-3，4)，動點N在圓x2+y2=4上運動，以OM，ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點P的軌跡方程.,【解題探究】1.題(1)若已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則線段P1P2中點P的坐標是什么？ 2.題(2)哪些點的坐標已知，哪些點滿足已知曲線的方程，借助什么方法可用這些點表示點P的坐標？,【探究提示】1.據(jù)中點坐標公式知中點P的坐標

12、為 2.從題目的已知條件可知，點M與點O的坐標已知，點N滿足已知 曲線的方程，可借助中點坐標公式，OP的中點坐標與MN的中點 坐標相同表示出點P的坐標.,【自主解答】(1)選C.設M點坐標為(x，y)，點P坐標為(x0，y0)，則2x02-y0=0. 因為M為AP的中點，所以得 解得 代入式得 2(2x)2-(2y+1)=0，即2y=8x2-1.,(2)如圖所示，設P(x，y)，N(x0，y0)，,則線段OP的中點坐標為 線段MN的中點坐標為 因為平行四邊形的對角線互相平分，所以 從而 由N(x+3，y-4)在圓上，得(x+3)2+(y-4)2=4. 因此所求P點的軌跡方程為(x+3)2+(y

13、-4)2=4，但應除去兩點: 和,【延伸探究】若把題(2)中MN的中點記為Q，試求點Q的軌跡方程. 【解題指南】采用代入法求解. 【解析】設Q(x，y)，N(x0，y0)， 所以 則 由N在圓x2+y2=4上運動， 所以(2x+3)2+(2y-4)2=4. 故點Q的軌跡方程為 +(y-2)2=1.,【方法技巧】 1.代入法求軌跡方程的適用條件 已知一個點在已知曲線上運動，并帶動另一個點M運動，在求動點M的軌跡方程時，往往用代入法. 2.代入法求曲線方程的四個步驟,【變式訓練】動點M在曲線x2+y2=1上移動，M和定點B(3，0) 連線的中點為P，求P點的軌跡方程. 【解析】設P(x，y)，M(

14、x0，y0)， 因為P為MB的中點，所以 即 又因為M在曲線x2+y2=1上，所以(2x-3)2+4y2=1. 所以P點的軌跡方程為(2x-3)2+4y2=1.,【補償訓練】已知直線l:2x+4y+3=0，P為l上的動點，O為坐標原點，點Q分線段OP為12兩部分，則Q點的軌跡方程是() A.2x+4y+1=0B.2x+4y+3=0 C.2x+4y+2=0D.x+2y+1=0,【解析】選A.設Q點的坐標為(x，y)，P點坐標為(x，y)， 又Q分OP所成的比為 ，即= 所以(x，y)= (x-x，y-y)， 所以 得 又P(x，y)在2x+4y+3=0上， 所以2(3x)+4(3y)+3=0，

15、即2x+4y+1=0. 故點Q的軌跡方程是2x+4y+1=0.,【易錯誤區(qū)】求動點軌跡方程時對動點滿足的條件考慮 不全致誤 【典例】已知ABC中，A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a，c，b成等差數(shù)列，acb，|AB|=2，則頂點C的軌跡方程為.,【解析】以直線AB為x軸，線段AB的中點為原點，建立直角 坐標系，如圖，則A(-1，0)，B(1，0)， 設C(x，y)， 因為a，c，b成等差數(shù)列， 所以a+b=2c，即|AC|+|BC|=2|AB|， 故 =4， 化簡整理得:3x2+4y2=12. 由于ab，即,解不等式得x0， 又C不能在x軸上，所以x-2， 所以3x2+4y2=12(x0且x-2)是所求的軌跡方程. 答案:3x2+4y2=12(x0且x-2),【常見誤區(qū)】,【防范措施】 重視題目中的隱含條件 求軌跡方程時雖能寫出方程，但易產生增點或丟點現(xiàn)象，進而求錯.所以在求動點的軌跡時，一定要注意題目中的限制條件，特別是隱含條件.如本例易忽略隱含條件C不在x軸上而致錯.另外三角形的三個頂點不共線；直線斜率不存在的情況；點到坐標軸的距離為|