免費(fèi)--高中理科數(shù)學(xué)--解題方法--28.3--（值域與最值3）.ppt

1、第二單元 函 數(shù),新課標(biāo)高中一輪總復(fù)習(xí),第8講,函數(shù)的值域與最值,理解函數(shù)的單調(diào)性、值域和最值的概念；掌握求函數(shù)的值域和最值的常用方法與變形手段.,1.函數(shù)y=3x(-1x3，且xZ)的值域是 .,-3,0,3,6,9,由-1x3，且xZx=-1,0,1,2,3, 代入y=3x，得所求值域?yàn)?3,0,3,6,9.,2.函數(shù)f(x)= (xR)的值域是( ),A.(0,1) B.（0，1 C.0，1) D.0,1,B,函數(shù)f(x)= (xR),所以1+x2,所以原函數(shù)的值域是(0,1.,3.函數(shù)f(x)=x2-2x(x0,4)的最大值是 ，最小值是 .,8,-1,f(x)=(x-1)2-1. 當(dāng)

2、x=1時(shí),f(x)min=-1; 當(dāng)x=4時(shí)，f(x)max=42-24=8.,4.函數(shù)f(x)= (x-12)的值域是 .,(-,-2,當(dāng)x=-1時(shí)， 取最大值-2.,5.已知x0，y0，且x+2y=1，則2x+3y2的最小值為 .,因?yàn)閤+2y=1，x0，y0， 所以02y10i ， 2x+3y2=3y2+2-4y=3(y- )2+ ， 所以當(dāng)y= 時(shí)， (2x+3y2)min=3( - )2+ = .,1.函數(shù)的值域與最值 (1)函數(shù)的值域是 的集合,它是由定義域和對應(yīng)法則共同確定的，所以求值域時(shí)應(yīng)注意函數(shù)的 . (2)函數(shù)的最值. 設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：(

3、)對于任意的xI,都有f(x)M;()存在x0I,使得f(x0)=M,則稱M是函數(shù)y=f(x)的 .類似地可定義f(x)的最小值.,函數(shù)值,定義域,最大值,2.基本初等函數(shù)的值域 (1)一次函數(shù)y=kx+b(k0)的值域?yàn)?. (2)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的值域： 當(dāng)a0時(shí)，值域?yàn)?; 當(dāng)a0且a)的值域?yàn)?.,R, ,+),-, ),y|y0,(0,+),(5)對數(shù)函數(shù)y=logax(a0且a)的值域?yàn)?. (6)正、余弦函數(shù)y=sinx(xR)、y=cosx(xR)的值域?yàn)?;正切函數(shù)y=tanx(xk+ ,kZ)的值域?yàn)?.,R,-1,1,R,3.求函數(shù)的值域（最值）常用的

4、方法 (1)二次函數(shù)用配方法. (2)單調(diào)性法. (3)導(dǎo)數(shù)法. (4)復(fù)合函數(shù)的值域由中間變量的范圍確定. 此外還有換元法、數(shù)形結(jié)合法、基本不等式法等. 4.若f(x)為閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)，則f(x)在a,b上一定有最大、最小值.,已知函數(shù)y=f(x)的值域?yàn)榧螪，函數(shù)y=f(x)的最大值、最小值分別為M、N，則M、N、D的關(guān)系是( ),題型一 值域與最值的關(guān)系,例1,A.D=N，M B.MDN C.D N，M D.M、ND,D,不妨設(shè)f(x)=3x(-1x3，且xZ)，可知D=-3,0,3,6,9，M=9，N=-3，可知，A、B、C錯(cuò)誤，選D.,1.函數(shù)的值域是函數(shù)值的集合，函數(shù)的

5、最值是該集合中的元素. 2.當(dāng)函數(shù)y=f(x)在其定義域上是連續(xù)函數(shù)時(shí)，D=N，M，其中N=f(x)min，M=f(x)max.,題型二 函數(shù)值域的求法,例2,求函數(shù)f(x)=cosx+lg(1-x2)的值域.,由1-x20，得f(x)的定義域?yàn)閤|-1x1，且f(x)為偶函數(shù)，故可考慮0 x1時(shí)的情況，此時(shí)，f(x)為減函數(shù)，故f(x)f(0)=1，所以f(x)的值域?yàn)閥|y1.,1.函數(shù)的值域由定義域和對應(yīng)法則一并確定,故應(yīng)特別注意定義域?qū)ζ渲涤虻闹萍s. 2.求值域的常用方法有： 1觀察法：一看定義域；二看函數(shù)性質(zhì)；三列舉. 2函數(shù)單調(diào)性法（見例2）.,3轉(zhuǎn)換法. 轉(zhuǎn)換為基本函數(shù)（或條件基

6、本函數(shù)）， 如y= 與y= 的關(guān)系,y= 與Ax2+Bx+C=0. 轉(zhuǎn)換為幾何問題，數(shù)形結(jié)合. 轉(zhuǎn)換為三角函數(shù)問題,利用三角函數(shù)的有界性. 4不等式法. 5導(dǎo)數(shù)法.,求下列函數(shù)的值域： (1) y=2x2-4x+1; (2) y=log ; (3) y= .,這些都是求復(fù)合函數(shù)的值域，可通過中間變量的取值范圍結(jié)合簡單函數(shù)的值域來求.,(1)因?yàn)閠=x2-4x+1=(x-2)2-3-3， 所以2t2-3= ,所以該函數(shù)的值域?yàn)?,+). (2)因?yàn)?0, 從而y1, 所以該函數(shù)的值域?yàn)?-，-1)（1,+）.,已知函數(shù)f(x)=x2-4ax+2a+6(aR). （1）若函數(shù)f(x)的最小值為0，

7、求a的值； （2）若函數(shù)f(x)0對任意xR都恒成立，求函數(shù)g(a)=2-a|a+3|的最大值.,題型三 函數(shù)的值域與最值的綜合問題,例2,（1）因?yàn)閒(x)=(x-2a)2+2a+6-4a2, 且f(x)min=0，所以2a+6-4a2=0， 所以a=-1或a= . （2）因?yàn)閒(x)0,由知,2a+6-4a20， 解得-1a . 所以g(a)=2-a|a+3|=2-a(a+3)= -(a+ )2+ (a-1, ), 所以當(dāng)a=-1時(shí)，g(a)max=4.,1.因?yàn)槎魏瘮?shù)f(x)在R上連續(xù)，所以f(x)的最小值為0，即f(x)的值域?yàn)?,+). 2.由于函數(shù)的最值不過是函數(shù)值域中的一個(gè)元素

8、而已，故求值域的方法都適用于求函數(shù)的最值.,已知函數(shù)f(x)=|1- |(x0). (1)當(dāng)0ab,且f(a)=f(b)，求證: + =2; (2)是否存在實(shí)數(shù)a、b(ab)使得函數(shù)y=f(x)的定義域、值域都是a,b；若存在，則求出a、b的值；若不存在，請說明理由.,首先化簡函數(shù)解析式，判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性求解，注意思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和敏捷性，要數(shù)形結(jié)合，分類討論.,(1)證明:因?yàn)閒(x)=|1- |= -1(01), 故f(x)在(0,1上是減函數(shù)，而在(1,+)上是增函數(shù)， 由0ab和 -1=1- ,得 + =2. (2)假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)a、b（ab）使得函數(shù)y=f(x)的定義域、

9、值域都是a,b.,當(dāng)0ab1時(shí)， 函數(shù)f(x)= -1在(0,1上是減函數(shù)， 則f(a)=b f(b)=a,即 -1=b -1=a， 解得a=b，與0ab1矛盾， 故此時(shí)不存在滿足條件的實(shí)數(shù)a、b. 當(dāng)1ab時(shí)， 函數(shù)f(x)=1- 在(1,+)上是增函數(shù)，,則 f(a)=a f(b)=b 此時(shí)實(shí)數(shù)a、b為方程x2-x+1=0的兩根，但方程x2-x+1=0無實(shí)根，因此不存在滿足條件的實(shí)數(shù)a、b. 當(dāng)0),故此時(shí)不存在滿足條件的實(shí)數(shù)a、b. 綜合可得,滿足條件的實(shí)數(shù)a、b不存在.,1- =a 1- =b,即,1.配方法：主要適用于二次函數(shù)或利用換元技巧轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，要特別注意自變量和新變量的范圍. 2.均值不等式法:利用基本不等式或均值不等式求最值時(shí),一定要注意等號(hào)成立的條件. 3.函數(shù)單調(diào)性法. 4.導(dǎo)數(shù)法. 5.數(shù)形結(jié)合法：常用于條件及要求最值的表達(dá)式有明顯的幾何意義.,因?yàn)?0, 所以y=2tanx+ ,當(dāng)且僅當(dāng)tanx= 時(shí)“=”成立.,(2009湖南卷)函數(shù)y=2tanx+tan( -x)(0x )的 最小值是 .,(2009海南/寧夏卷)用mina,b,c表示a,b,c