數(shù)學建模層次分析法

1、層次分析法,Analytic Hierarchy Process AHP,T.L.saaty,層次分析法建模,一 問題的提出 日常生活中有許多決策問題。決策是指在面臨多種 方案時需要依據(jù)一定的標準選擇某一種方案。 例1 購物 買鋼筆，一般要依據(jù)質量、顏色、實用性、價格、 外形等方面的因素選擇某一支鋼筆。 買飯，則要依據(jù)色、香、味、價格等方面的因素選 擇某種飯菜。 例2 旅游 假期旅游，是去風光秀麗的蘇州，還是去迷人的北 戴河，或者是去山水甲天下的桂林，一般會依據(jù)景色、費用、食宿條件、旅途等因素選擇去哪個地方。,例3 擇業(yè) 面臨畢業(yè)，可能有高校、科研單位、企業(yè)等單位可以去 選擇，一般依據(jù)工作環(huán)境

2、、工資待遇、發(fā)展前途、住房條 件等因素擇業(yè)。 例4 科研課題的選擇 由于經(jīng)費等因素，有時不能同時開展幾個課題，一般依 據(jù)課題的可行性、應用價值、理論價值、被培養(yǎng)人才等因素 進行選題。,面臨各種各樣的方案，要進行比較、判斷、評價、最后 作出決策。這個過程主觀因素占有相當?shù)谋戎亟o用數(shù)學方法 解決問題帶來不便。T.L.saaty等人20世紀在七十年代提出了 一種能有效處理這類問題的實用方法。 層次分析法（Analytic Hierarchy Process, AHP)這是 一種定性和定量相結合的、系統(tǒng)化的、層次化的分析方法。 過去研究自然和社會現(xiàn)象主要有機理分析法和統(tǒng)計分析法兩 種方法，前者用經(jīng)典的

3、數(shù)學工具分析現(xiàn)象的因果關系，后者 以隨機數(shù)學為工具，通過大量的觀察數(shù)據(jù)尋求統(tǒng)計規(guī)律。近 年發(fā)展的系統(tǒng)分析是又一種方法，而層次分析法是系統(tǒng)分析 的數(shù)學工具之一。,選擇鋼筆,層次分析法的基本思路：,與人們對某一復雜決策問題的思維、判斷過程大體一致。,質量、顏色、價格、外形、實用,鋼筆1、鋼筆2、鋼筆3、鋼筆4,質量、顏色、價格、外形、實用進行排序 將各個鋼筆的質量、顏色、價格、外形、實用進行排序 經(jīng)綜合分析決定買哪支鋼筆,二 層次分析法的基本步驟,1 建立層次結構模型 一般分為三層，最上面為目標層，最下面為方案層，中 間是準則層或指標層。 例1 的層次結構模型,準則層,方案層,目標層,例2 層次結

4、構模型,準則層A,方案層B,目標層Z,若上層的每個因素都支配著下一層的所有因素，或被下一層所 有因素影響，稱為完全層次結構，否則稱為不完全層次結構。,設某層有個因素，,2 構造成對比較矩陣,要比較它們對上一層某一準則（或目標）的影響程度，確定 在該層中相對于某一準則所占的比重。（即把個因素對上 層某一目標的影響程度排序）,用 表示第個因素相對于第個因素的比較結果，則,則稱為成對比較矩陣。,上述比較是兩兩因素之間進行的比較，比較時取19尺度。,尺度,第 個因素與第 個因素的影響相同,第 個因素比第 個因素的影響稍強,第 個因素比第 個因素的影響強,第 個因素比第 個因素的影響明強,第 個因素比第

5、 個因素的影響絕對地強,含義,比較尺度：（19尺度的含義）,2,4,6,8表示第個因素相對于第個因素的影響介于上述 兩個相鄰等級之間。不難定義以上各尺度倒數(shù)的含義， 根據(jù)。,標度法 10. 心理學研究表明，人們通過感覺思維比較判斷兩個對象的相對差別是可能的。 20. 同時比較時能區(qū)別差異的心理學極限為72個。,30. 實驗表明 9 級標度法是可行的。 光源四面放四個物體, 距離為 27, 45, 63, 84。 可算得它們的相對亮度為 0.607, 0.219, 0.111, 0.063。 記 W：較亮，S：亮，D：很亮，A：絕對亮。 由人進行相對比較, 得 (c1-c2): W-S, (c1

6、-c3): S-D, (c1-c4): D, (c2-c3): W, (c2-c4): W-S, (c3-c4): W,由上述定義知，成對比較矩陣,則稱為正互反陣。 比如，例2的旅游問題中，第二層A的各因素對目標層Z 的影響兩兩比較結果如下：,滿足一下性質,1,1/2,4,3,3,2,1,7,5,5,1/4,1/7,1,1/2,1/3,1/3,1/5,2,1,1,1/3,1/5,3,1,1,分別表示 景色、費用、 居住、飲食、 旅途。,由上表，可得成對比較矩陣,旅游問題的成對比較矩陣共有6個（一個5階，5個3階）。,問題：兩兩進行比較后，怎樣才能知道，下層各因素對上 層某因素的影響程度的排序結

7、果呢？,3 層次單排序及一致性檢驗,層次單排序：確定下層各因素對上層某因素影響程度的過程。 用權值表示影響程度，先從一個簡單的例子看如何確定權值。 例如 一塊石頭重量記為1，打碎分成 各小塊，各塊的重量,分別記為：,則可得成對比較矩陣,由右面矩陣可以看出，,即，,在正互反矩陣 中，若 ,則稱 為一致陣。,但在例2的成對比較矩陣中，,一致陣的性質：,5. 的任一列(行)都是對應于特征根 的特征向量。,一致性判斷矩陣各列均是判斷矩陣的特征向量 若特征向量為 w = (w1,wn), 則有 aij = aik/ ajk = wi / wj 表示wi 與 wj之間的比值, 是這兩者重要性之間的一個判斷

8、. w 就是各對象之間的一個排序. 即:各列均表示被判斷元素之間的排序。,若成對比較矩陣是一致陣，則我們自然會取對應于最 大特征根 的歸一化特征向量 ，且,定理： 階互反陣 的最大特征根 ，當且僅 當 時， 為一致陣。,表示下層第 個因素對上層某因素影響程度的權值。,若成對比較矩陣不是一致陣，Saaty等人建議用其最大 特征根對應的歸一化特征向量作為權向量 ，則,這樣確定權向量的方法稱為特征根法.,定義一致性指標,其中 為 的對角線元素之和，也為 的特征根之和。,隨機一致性指標 固定 n, 令 A 的上三角從1/9,1,2,9中隨機取值, 構成正互反矩陣。計算它的 CI。 對每個 n = 1,

9、 2, , 9 分別隨機地抽取 n=100500 個樣本, 得到 Ank 和 CInk (不一致判斷矩陣的指標)。取 則 CI RI 時, 判斷矩陣明顯不具有一致性。 取 1 , 則當 CI RI 時, A 在水準下有滿意的一致性.,則可得一致性指標,隨機構造500個成對比較矩陣,隨機一致性指標 RI 的數(shù)值：,一致性檢驗：利用一致性指標和一致性比率0.1 及隨機一致性指標的數(shù)值表，對 進行檢驗的過程。,一般，當一致性比率,的不一致程度在容許范圍之內(nèi)，可用其歸一化特征向量 作為權向量，否則要重新構造成對比較矩陣，對 加 以調整。,時，認為,4 層次總排序及其一致性檢驗 確定某層所有因素對于總目

10、標相對重要性的排序權值過程， 稱為層次總排序 從最高層到最低層逐層進行。設：,對總目標Z的排序為,的層次單排序為,即 層第 個因素對 總目標的權值為：,層的層次總排序為：,A,B,層次總排序的一致性檢驗,設 層 對上層( 層)中因素 的層次單排序一致性指標為 ，隨機一致性指為 ， 則層次總排序的一致性比率為：,當 時，認為層次總排序通過一致性檢驗。到 此，根據(jù)最下層（決策層）的層次總排序做出最后決策。,1.建立層次結構模型 該結構圖包括目標層，準則層，方案層。,層次分析法的基本步驟歸納如下,3.計算單排序權向量并做一致性檢驗,2.構造成對比較矩陣,從第二層開始用成對比較矩陣和19尺度。,對每個

11、成對比較矩陣計算最大特征值及其對應的特征向量，利用一致性指標、隨機一致性指標和一致性比率做一致性檢驗。若檢驗通過，特征向量（歸一化后）即為權向量；若不通過，需要重新構造成對比較矩陣。,計算最下層對最上層總排序的權向量。,4.計算總排序權向量并做一致性檢驗,進行檢驗。若通過，則可按照總排序權向量表示的結果進行決策，否則需要重新考慮模型或重新構造那些一致性比率 較大的成對比較矩陣。,利用總排序一致性比率,三 層次分析法建模舉例,旅游問題 (1)建模,分別分別表示景色、費用、 居住、飲食、旅途。,分別表示蘇杭、北戴河、桂林。,（2）構造成對比較矩陣,(3)計算層次單排序的權向量和一致性檢驗,成對比較

12、矩陣 的最大特征值,表明 通過了一致性驗證。,故,則,該特征值對應的歸一化特征向量,對成對比較矩陣 可以求層次 總排序的權向量并進行一致性檢驗，結果如下：,計算 可知 通過一致性檢驗。,對總目標的權值為：,（4）計算層次總排序權值和一致性檢驗,又,決策層對總目標的權向量為：,同理得， 對總目標的權值分別為：,故，層次總排序通過一致性檢驗。,可作為最后的決策依據(jù)。,故最后的決策應為去桂林。,又 分別表示蘇杭、北戴河、桂林，,即各方案的權重排序為,四 層次分析法的優(yōu)點和局限性,1 系統(tǒng)性 層次分析法把研究對象作為一個系統(tǒng)，按照分解、比較判斷、綜合的思維方式進行決策 ，成為繼機理分析、統(tǒng)計分析之后發(fā)

13、展起來的系統(tǒng)分析的重要工具。,2 實用性 層次分析法把定性和定量方法結合起來，能處理許多用 傳統(tǒng)的最優(yōu)化技術無法著手的實際問題，應用范圍很廣，同 時，這種方法使得決策者與決策分析者能夠相互溝通，決策 者甚至可以直接應用它，這就增加了決策的有效性。,3 簡潔性 具有中等文化程度的人即可以了解層次分析法的基本 原理并掌握該法的基本步驟，計算也非常簡便，并且所得 結果簡單明確，容易被決策者了解和掌握。,以上三點體現(xiàn)了層次分析法的優(yōu)點，該法的局限 性主要表現(xiàn)在以下幾個方面：,第一 只能從原有的方案中優(yōu)選一個出來，沒有辦法得出更好的新方案。,第二 該法中的比較、判斷以及結果的計算過程都是粗糙 的，不適用

14、于精度較高的問題。 第三 從建立層次結構模型到給出成對比較矩陣，人主觀 因素對整個過程的影響很大，這就使得結果難以讓 所有的決策者接受。當然采取專家群體判斷的辦法 是克服這個缺點的一種途徑。,思考：多名專家的綜合決策問題,五 正互反陣最大特征值和特征向量實用算法,用定義計算矩陣的特征值和特征向量相當困難，特別是階數(shù)較高時； 成對比較矩陣是通過定性比較得到的比較粗糙的結果，對它的精確計算是沒有必要的。 尋找簡便的近似方法。,定理,對于正矩陣 A （A的所有元素為正）,1） A 的最大特征根為正單根 ；,2） 對應正特征向量 w（w的所有分量為正）；,3）,其中,是對應 的歸一化特征向量。,1 冪法 步驟如下,a) 任取 n 維歸一化初始向量,b) 計算,c) 歸一化,，即令,d) 對于預先給定的精度 ，當下式成立時,即為所求的特征向量；否則返回b；,e) 計算最大特征值,這是求特征根對應特征向量的迭代方法，其收 斂性由定理的3）保證。,2 和法 步驟如下,a) 將A的每一列向量歸一化得,b) 對,c) 歸一化,按行求和得,