第3章剛體力學(xué)基礎(chǔ)(完全版100).ppt

1、1,第 3 章,Dynamics of Rigid Body,2,本章的主要內(nèi)容是研究剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)，尤其是定軸 轉(zhuǎn)動(dòng)。,核心內(nèi)容：,定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定理,剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理及其守恒,定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功能原理,這些內(nèi)容同學(xué)們最不熟悉，請(qǐng)同學(xué)們先預(yù)習(xí)。,-力矩的瞬時(shí)效應(yīng),-力矩的時(shí)間積累效應(yīng),-力矩的空間積累效應(yīng),-質(zhì)點(diǎn)平動(dòng)的慣性質(zhì)量對(duì)應(yīng),-平動(dòng)中力的瞬時(shí)效應(yīng),-平動(dòng)中力的時(shí)間積累效應(yīng),-平動(dòng)中力的空間積累效應(yīng),3,剛體力學(xué)中物體的一種理想模型。,剛體：運(yùn)動(dòng)中形狀和大小都保持不變的物體。,實(shí)際問(wèn)題中，當(dāng)物體的形變很小可忽略時(shí)，就將物體 視為剛體。,(a)剛體上各質(zhì)點(diǎn)之間的距離保持不變。,(

2、b)剛體有確定的形狀和大小。,(c)剛體可看作是由許多質(zhì)點(diǎn)(質(zhì)元)組成的質(zhì)點(diǎn)系。,無(wú)論所受外力多大，不論轉(zhuǎn)動(dòng)多快，剛體的形狀都始終保持不變。,剛體的特征：,4,3-1 .1 剛體運(yùn)動(dòng)學(xué),一.剛體的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng),如果剛體在運(yùn)動(dòng)中,剛體內(nèi)任何兩點(diǎn)的連線在空間 的指向始終保持平行,這樣的運(yùn)動(dòng)就稱為平動(dòng)。,在平動(dòng)時(shí),剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)完全相同,因此 平動(dòng)剛體可視為質(zhì)點(diǎn)。通常是用剛體質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)來(lái) 代表整個(gè)剛體的平動(dòng)。,5,剛體的一般運(yùn)動(dòng)比較復(fù)雜。但可以證明,剛體一般運(yùn)動(dòng)可看作是平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的結(jié)合。,如果剛體內(nèi)的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)都繞同一直線(轉(zhuǎn)軸)作圓周運(yùn)動(dòng),這種運(yùn)動(dòng)便稱為轉(zhuǎn)動(dòng)。如果轉(zhuǎn)軸是固定不動(dòng)的,就稱為定軸轉(zhuǎn)

3、動(dòng)。,剛體在作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),由于各質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離不同,所以各質(zhì)點(diǎn)的線速度、加速度一般是不同的。,但由于各質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)位置保持不變, 所以描述各質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的角量,如角位移、 角速度和角加速度都是一樣的。,6,1 描述定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)的角量,角坐標(biāo)：,角位移：,單位：rad,角速度,方向：,與轉(zhuǎn)向成右手螺旋關(guān)系。,7,角加速度,角加速度為角速度對(duì)時(shí)間 t 的一次導(dǎo)數(shù)，或?yàn)榻亲鴺?biāo)對(duì)時(shí)間 t 的二次導(dǎo)數(shù)。,單位：弧度/秒2，rad/s2, s-2,方向：角速度變化的方向。,8,對(duì)于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)而言，可用角位移、角速度、角加速度來(lái)描寫，但對(duì)于剛體上的某一點(diǎn)來(lái)講是作曲線運(yùn)動(dòng)的，可用位移、速度、加速度來(lái)描寫。那么

4、描寫平動(dòng)的線量與描寫轉(zhuǎn)動(dòng)的角量之間有什么關(guān)系呢？,2 線量與角量之間的關(guān)系,剛體轉(zhuǎn)過(guò),剛體上的一點(diǎn)位移,線位移和角位移的關(guān)系,9,速度與角速度之間的關(guān)系,加速度與角加速度之間的關(guān)系,將質(zhì)點(diǎn)的加速度可分解為切向加速度和法向加速度.,將,式兩邊同除,10,由,若角加速度 =c(恒量)，則有,11,一.剛體的角動(dòng)量(質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量) 剛體的角動(dòng)量=剛體上各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量之和。,3-1.1.2 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng),式中: I=mi ri2 稱為剛體對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。,Li=miiri=mi ri2 剛體對(duì)z軸的角動(dòng)量就是 Lz=(mi ri2),=I,12,問(wèn)題：為何動(dòng)量的概念對(duì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)已失去意義？,剛

5、體對(duì)z軸的角動(dòng)量： Lz= I,13,質(zhì)量m物體平動(dòng)慣性大小的量度。 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度。,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的物理意義,I=mi ri2稱為剛體對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。,14,證明：剛體質(zhì)點(diǎn)系的一對(duì)內(nèi)力的力矩之和為零。,質(zhì)點(diǎn)系中的一對(duì)內(nèi)力的力矩之和為零。,質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力的力矩之和為零。,15,對(duì)各質(zhì)點(diǎn)求和，并注意到,二.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理,按質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理式，有,mi：,得,16,式的意義是:質(zhì)點(diǎn)系所受的合外力矩等于質(zhì)點(diǎn)系的總角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率。這個(gè)結(jié)論叫質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理。 顯然它也適用于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體這樣的質(zhì)點(diǎn)系。,17,上式稱為物體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)方程。 對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體, I為常量, d /dt=,

6、故式又可寫成,上式是一矢量式, 它沿通過(guò)定點(diǎn)的固定軸z方向上的分量式為,這就是剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理，它是剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程 。,(Lz=I),18, 式子表明, 剛體所受的合外力矩等于剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體角加速度的乘積。,恒與 方向相同.,物理意義:,1 受合外力矩作用,剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)將發(fā)生改變， 產(chǎn)生角加速度。,當(dāng)剛體的 一定時(shí)，,19,2 當(dāng) 一定時(shí)，,是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度。,注意：,1 改變剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)，產(chǎn)生角加速度的原因是 力矩，而不是力！,I表征剛體保持其原有轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的能力。,I是剛體的固有屬性，與剛體處于什么狀態(tài)無(wú)關(guān),20,2 為瞬間作用規(guī)律。,一旦 ，立刻 ，勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)。,

7、3 和 ，均對(duì)同一轉(zhuǎn)軸而言。,4 代表作用于剛體的合外力矩，,特別強(qiáng)調(diào)：系統(tǒng)所受合外力為零，,一對(duì)力偶產(chǎn)生的力矩不為零。,以上內(nèi)容的學(xué)習(xí)要點(diǎn)：掌握剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律及用隔離體法求解(剛體+質(zhì)點(diǎn))系統(tǒng)問(wèn)題的方法。,21,質(zhì)量m物體平動(dòng)慣性大小的量度。 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度。,3-1.2 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,一.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的物理意義,22,I=mi ri2 即：質(zhì)點(diǎn)體系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量乘以它到轉(zhuǎn)軸距離的平方的總和。 (2)質(zhì)量連續(xù)分布剛體,式中: r為剛體上的質(zhì)元dm到轉(zhuǎn)軸的距離。,(1)質(zhì)量離散分布質(zhì)點(diǎn)體系,二.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算,23,三.平行軸定理,Ic 通過(guò)剛體質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng) 慣量;,

8、M 剛體系統(tǒng)的總質(zhì)量; d 兩平行軸(o,c)間的距離。,24,平行軸定理的證明,25,o,通過(guò)o點(diǎn)且垂直于三角形平面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 IO=,(1)正三角形的各頂點(diǎn)處有一質(zhì)點(diǎn)m，用質(zhì)量不計(jì)的細(xì)桿連接,如圖。系統(tǒng)對(duì)通過(guò)質(zhì)心C且垂直于三角形平面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為,3,+ml2,=2ml2,=ml2+(3m)r2=2ml2,例題 質(zhì)量離散分布剛體: I=mi ri2,ml2,剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不僅依賴于質(zhì)量的大小，而且還依賴于質(zhì)量到轉(zhuǎn)軸的空間分布。,26,(2)用質(zhì)量不計(jì)的細(xì)桿連接的五個(gè)質(zhì)點(diǎn), 如圖所示。轉(zhuǎn)軸垂直于質(zhì)點(diǎn)所在平面且通過(guò)o點(diǎn), 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為,IO=m.02,=30ml2,+2m(2l2),+3

9、m(2l)2,+4ml2,+5m(2l2),27,記?。?(1)質(zhì)量為m、長(zhǎng)度為l的細(xì)直棒，可繞通過(guò)質(zhì)心C且垂直于棒的中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。,例題質(zhì)量連續(xù)分布剛體:,若棒繞一端o轉(zhuǎn)動(dòng)，由平行軸定理， 則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為,解 方法：將細(xì)棒分為若干微元dm=(m/l)dx ,然后積分得,28,(3)均質(zhì)圓盤(m,R)繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，可將圓盤劃分為若干個(gè)半徑r、寬dr的圓環(huán)積分 ：,(2)均質(zhì)細(xì)圓環(huán)(m, R)繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為,29,解 由 M=I, = o+t 有外力矩時(shí),例題 以20N.m的恒力矩作用在有固定軸的轉(zhuǎn)輪上，在10s內(nèi)該輪的轉(zhuǎn)速均勻地由零增大到100rev/min。此時(shí)撤去該

10、力矩,轉(zhuǎn)輪經(jīng)100s而停止。試推算此轉(zhuǎn)輪對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。,撤去外力矩時(shí), -Mr=I2 , 2=- /t2 (2) 代入t1=10s , t2=100s , =(1002)/60=10.5rad/s, 解式(1)、(2)得 I=17.3kg.m2 。,20=J1， 1= /t1 (因o=0),30,解 對(duì)柱體,由轉(zhuǎn)動(dòng)定律M=I有 mg.R=I 這式子對(duì)嗎？ 錯(cuò)！此時(shí)繩中張力Tmg。 正確的解法是用隔離體法。,例題 質(zhì)量為M、半徑為R的勻質(zhì)柱體可繞通過(guò)其中心軸線的光滑水平固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)；柱體邊緣繞有一根不能伸長(zhǎng)的細(xì)繩，繩子下端掛一質(zhì)量為m的物體，如圖所示。求柱體的角加速度及繩中的張力。,對(duì)m: m

11、g-T=ma 對(duì)柱： TR=I a=R 解得 =2mg/(2m+M)R, T=Mmg/(2m+M)。,31,m: mg-T2= ma a=R1=r2 , 2=2ah 求解聯(lián)立方程，代入數(shù)據(jù)，可得 =2m/s, T1=48N, T2=58N。,m1: T1R= m1R21,m2: T2r-T1r = m2r22,例題兩勻質(zhì)圓盤可繞水平光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)，質(zhì)量m1=24kg， m2=5kg。一輕繩纏繞于盤m1上，另一端通過(guò)盤m2后掛有m=10kg的物體。求物體m由靜止開(kāi)始下落h=0.5m時(shí)，物體m的速度及 繩中的張力。,解 各物體受力情況如圖所示。,32,小結(jié):,若一個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)包含物體平動(dòng)和剛體的轉(zhuǎn)動(dòng),

12、處理辦法：,對(duì)平動(dòng)的物體，分析受力，按照 列方程。,對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，分析力矩，按照 列方程。,補(bǔ)加轉(zhuǎn)動(dòng)與平動(dòng)的關(guān)聯(lián)方程,聯(lián)立求解各方程。,33,例題 一根質(zhì)量為m、長(zhǎng)為l的均勻細(xì)棒AB，可繞一水平光滑軸o在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，Ao= l/3。今使棒從水平位置由靜止開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，求棒轉(zhuǎn)過(guò)角 時(shí)的角加速度和角速度。,解 細(xì)棒AB受的重力可集中在質(zhì)心，故重力的力矩為,34,完成積分得,討論: (1)當(dāng)=0時(shí)， =3g/2l， =0 ； (2)當(dāng)=90時(shí)， =0，,又因,35,例題 勻質(zhì)圓盤：質(zhì)量m、半徑R，以o的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)?，F(xiàn)將盤置于粗糙的水平桌面上，摩擦系數(shù)為，求圓盤經(jīng)多少時(shí)間、轉(zhuǎn)幾圈將停下來(lái)？,解 將圓盤

13、分為無(wú)限多個(gè)半徑為r、寬為dr的圓環(huán)，用積分計(jì)算出摩擦力矩。,36,于是得,由= o+ t = 0得,又由2-o2=2 ， 所以停下來(lái)前轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)為,37,3-2 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律,上式的物理意義是：合外力矩的沖量(沖量矩)等于物體角動(dòng)量的增量。,定軸轉(zhuǎn)動(dòng)方程:,若物體所受的合外力矩為零(即0)時(shí)，則 I =常量,這表明：當(dāng)合外力矩為零時(shí)，物體的角動(dòng)量將保持 不變，這就是定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律。,38,當(dāng)系統(tǒng)所受的合外力力矩為零時(shí)，系統(tǒng)的總角動(dòng)量的矢量和就保持不變。 對(duì)比： 系統(tǒng)角動(dòng)量守恒是：,系統(tǒng)動(dòng)量守恒是：,在日常生活中,利用角動(dòng)量守恒的例子也是很多的。,系統(tǒng)角動(dòng)量守恒定律：,3

14、9,40,角動(dòng)量守恒在現(xiàn)代技術(shù)中有著非常廣泛的應(yīng)用。例如直升飛機(jī)在未發(fā)動(dòng)前總角動(dòng)量為零,發(fā)動(dòng)以后旋翼在水平面內(nèi)高速旋轉(zhuǎn)必然引起機(jī)身的反向旋轉(zhuǎn)。為了避免這種情況,人們?cè)跈C(jī)尾上安裝一個(gè)在豎直平面旋轉(zhuǎn)的尾翼,由此產(chǎn)生水平面內(nèi)的推動(dòng)力來(lái)阻礙機(jī)身的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。與此類似,魚(yú)雷尾部采用左右兩個(gè)沿相反方向轉(zhuǎn)動(dòng)的螺旋漿來(lái)推動(dòng)魚(yú)雷前進(jìn),也是為了避免魚(yú)雷前進(jìn)中的自旋。安裝在輪船、飛機(jī)、導(dǎo)彈或宇宙飛船上的回轉(zhuǎn)儀(也叫“陀螺”)的導(dǎo)航作用，也是角動(dòng)量守恒應(yīng)用的最好例證。,以上內(nèi)容的學(xué)習(xí)要點(diǎn)：掌握角動(dòng)量守恒的條件及用角動(dòng)量守恒定律求解問(wèn)題的方法。,41,解 (1)桿+子彈：豎直位置，外力(軸o處的力和重力)均不產(chǎn)生力矩，故

15、碰撞過(guò)程中角動(dòng)量守恒：,解得,例題 勻質(zhì)桿：長(zhǎng)為l、質(zhì)量M，可繞水平光滑固定軸o轉(zhuǎn)動(dòng)，開(kāi)始時(shí)桿豎直下垂。質(zhì)量為m的子彈以水平速度o射入桿上的A點(diǎn)，并嵌在桿中，oA=2l/3, 求:(1)子彈射入后瞬間桿的角速度;,42,解 (1)碰撞過(guò)程角動(dòng)量守恒:,例題 長(zhǎng)為2L、質(zhì)量為m的勻質(zhì)細(xì)桿，靜止在粗糙的水平桌面上，桿與桌面間的摩擦系數(shù)為。兩個(gè)質(zhì)量、速率均為m和的小球在水平面內(nèi)與桿的兩端同時(shí)發(fā)生完全非彈性碰撞(設(shè)碰撞時(shí)間極短), 如圖所示。求: (1)兩小球與桿剛碰后，這一系統(tǒng)的角速度為多少？ (2)桿經(jīng)多少時(shí)間停止轉(zhuǎn)動(dòng)？(不計(jì)兩小球的質(zhì)量引起的摩擦力矩）,43,解得,(2)摩擦力矩為,由= o+t

16、得：,44,例題 勻質(zhì)園盤(M、R)與人( m ,視為質(zhì) 點(diǎn))一起以角速度o繞通過(guò)其盤心的豎直光滑固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示。當(dāng)此人從盤的邊緣走到盤心時(shí)，圓盤的角速度是多少？,解 (1)系統(tǒng)(圓盤+人)什么量守恒？ 系統(tǒng)角動(dòng)量守恒：,45,減小,Io,=I,46,解 (1)系統(tǒng)(圓盤+人)什么量守恒？ 系統(tǒng)角動(dòng)量守恒：,上式正確嗎？,47,錯(cuò)！因?yàn)榻莿?dòng)量守恒定律只適用于慣性系。,角動(dòng)量守恒式子是：,所以應(yīng)代入人相對(duì)于慣性系(地面) 的角動(dòng)量。,48,解出：,人對(duì)地=,+,49,(2) 欲使盤靜止，可令,得,式中負(fù)號(hào)表示人的運(yùn)動(dòng)方向與盤的初始轉(zhuǎn)動(dòng)(o)方向一致。,50,剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為,1.剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)

17、動(dòng)能 =剛體上各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能之和。 設(shè)剛體繞一定軸以角速度 轉(zhuǎn)動(dòng)，第i個(gè)質(zhì)點(diǎn) mi到轉(zhuǎn)軸的距離為ri , mi的線速度i=ri , (各質(zhì)點(diǎn)的角速度相同)； 相應(yīng)的動(dòng)能,質(zhì)點(diǎn)的平動(dòng)動(dòng)能為,3-3定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的功和能,一.剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能,51,設(shè)物體在力F作用下，繞定軸oz轉(zhuǎn)動(dòng)，則力F的元功是 dA=Fdscos(90o- ),力矩的功率是,二.力矩的功,即：力矩的元功等于力矩M和角位移d的乘積。,=Frsind,=Md,52,上式說(shuō)明：合外力矩的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。這便是定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理。,三.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理,對(duì)比:質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理：,（I=恒量）,53,一個(gè)包括有剛體在內(nèi)的系統(tǒng),如果只

18、有保守內(nèi)力作功,則這系統(tǒng)的機(jī)械能也同樣守恒。,式中, hc為剛體質(zhì)心到零勢(shì)面的高度。,四.機(jī)械能守恒定律在剛體系統(tǒng)中的應(yīng)用,在計(jì)算剛體的重力勢(shì)能時(shí)，可將它的全部質(zhì)量集中 在質(zhì)心。,剛體的機(jī)械能為,54,例題 均勻細(xì)直棒：質(zhì)量m、長(zhǎng)為l，可繞水平光滑固定軸o轉(zhuǎn)動(dòng)。開(kāi)始時(shí)，棒靜止在豎直位置，求棒轉(zhuǎn)到與水平面成角時(shí)的角速度和角加速度。,解 棒在轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中，只有保守力(重力)作功，故機(jī)械能守恒。取水平面為零勢(shì)面，于是有,由上得,55,討論： 本題也可先由M=I求出，再用=d/dt積分求出，如例題5-6那樣。,角加速度：,56,例題 如圖所示，有一由彈簧、勻質(zhì)滑輪和重物M組成的系統(tǒng)，該系統(tǒng)在彈簧為原長(zhǎng)時(shí)被靜止釋放。運(yùn)動(dòng)過(guò)程中繩與滑輪間無(wú)滑動(dòng)。求:(1)重物M下落h時(shí)的速度；(2)彈簧的最大伸長(zhǎng)量。,，= r,解 (1)系統(tǒng)機(jī)械能守恒：,57,(2)求彈簧的最大伸長(zhǎng)量。,令=0，得彈簧的最大伸長(zhǎng)量為： hmax=2Mg/k。,58