工程力學(xué)37-d20b(例題).ppt

1、工程力學(xué)（C）,北京理工大學(xué)理學(xué)院力學(xué)系 韓斌,( 37),（下冊(cè)）,20 動(dòng)量原理,20.5 動(dòng)量矩,20.5.1.質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩,質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)某點(diǎn)之矩,(20.17),若在點(diǎn)O建立直角坐標(biāo)系Oxyz，則,x，y，z為質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)，,， ， 分別為質(zhì)點(diǎn)的速度 在x，y，z軸上的投影。,(20.18),（類比于力對(duì)點(diǎn)之矩、力對(duì)軸之矩）,其中，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量對(duì)x，y，z軸之矩分別為：,(20.18),(20.19),質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量對(duì)任意 l 軸之矩：,其中O為l 軸上任意一點(diǎn)。,(20.20),顯然，質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的動(dòng)量矩是一個(gè)定位矢量，而質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸的動(dòng)量矩是一個(gè)代數(shù)量。,當(dāng)質(zhì)點(diǎn)作平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)量對(duì)平面內(nèi)某點(diǎn)O之矩或?qū)?/p>

2、Oz軸之矩均為：,（20.21）,20.5.2. 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩,設(shè)質(zhì)點(diǎn)系中質(zhì)點(diǎn) 相對(duì)于某一固定點(diǎn)O的矢徑為 ，,動(dòng)量為 。,(20.22),質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩 為：,1.質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)、固定軸的動(dòng)量矩,質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某一固定軸 l 的動(dòng)量矩 為：,(20.23),（20.24）,同理，質(zhì)點(diǎn)系平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量對(duì)平面內(nèi)某點(diǎn)O之矩或?qū)z軸之矩均為：,2. 質(zhì)點(diǎn)系對(duì)動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)量矩,設(shè)在慣性參考系中有任意一動(dòng)點(diǎn)A，其速度為 。,固連于動(dòng)點(diǎn)A建立平移直角坐標(biāo)系 ，,(20.25),(20.26),將質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的絕對(duì)動(dòng)量 對(duì)動(dòng)點(diǎn)A的矩的矢量和定義為質(zhì)點(diǎn)系對(duì)動(dòng)點(diǎn)A的絕對(duì)動(dòng)量矩，用 表示，即：,將

3、質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)動(dòng)量 對(duì)動(dòng)點(diǎn)A的矩的矢量和定義為質(zhì)點(diǎn)系對(duì)動(dòng)點(diǎn)A的相對(duì)動(dòng)量矩，用 表示，即：,(20.27),質(zhì)點(diǎn)系對(duì)動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)動(dòng)量矩和相對(duì)動(dòng)量矩的關(guān)系：,將式(20.25)代入式(20.26):,(20.28),由質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心C相對(duì)于動(dòng)點(diǎn)A 的矢徑公式 可得：,故質(zhì)點(diǎn)系對(duì)動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)動(dòng)量矩和相對(duì)動(dòng)量矩的關(guān)系為：,其中 為質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心C在動(dòng)系中的相對(duì)坐標(biāo)， 為動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)速度。,(20.29),(20.30),質(zhì)點(diǎn)系對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩，無論是在固定坐標(biāo)系還是在質(zhì)心平移坐標(biāo)系中計(jì)算都是相同的。,故質(zhì)點(diǎn)系對(duì)不同的A，O兩點(diǎn)的動(dòng)量矩的關(guān)系為：,（20.31）,質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某點(diǎn)的動(dòng)量矩不等于質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量對(duì)該點(diǎn)之矩！,

4、即,（見書上例22.4）,3.對(duì)慣性系中不同的A，O兩點(diǎn)的動(dòng)量矩之間關(guān)系,類比于力對(duì)不同兩點(diǎn)的力矩之間的關(guān)系，,力對(duì)A，O兩點(diǎn)之矩關(guān)系為,20.5.3 剛體的動(dòng)量矩,1. 平移剛體的動(dòng)量矩,當(dāng)剛體作平移時(shí)，建立質(zhì)心平移坐標(biāo)系，各質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)速度 ，故,(20.32),平移剛體對(duì)任意固定點(diǎn)A的動(dòng)量矩為：,(20.33),平移剛體對(duì)任意確定點(diǎn)A的動(dòng)量矩等于將平移剛體的質(zhì)量視為全部集中在質(zhì)心C上時(shí)對(duì)點(diǎn)A的動(dòng)量矩。,當(dāng)平移剛體作平面曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，對(duì)該平面內(nèi)任一點(diǎn)的動(dòng)量矩可視為代數(shù)量 。,2. 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)量矩,定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)定點(diǎn)O的動(dòng)量矩為,(20.34),(20.34),故，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸上任

5、意點(diǎn)的動(dòng)量矩矢量一般不沿轉(zhuǎn)軸的方向。,特別，當(dāng)轉(zhuǎn)軸 z 軸為剛體的慣量主軸時(shí)，有,動(dòng)量矩矢量沿轉(zhuǎn)軸方向,也可用代數(shù)量表示：,例如，剛體作平面定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)軸垂直于剛體的質(zhì)量對(duì)稱面時(shí)。,3. 一般平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)量矩,建立慣性參考空間中的定系Oxyz和質(zhì)心平移坐標(biāo)系 ，,(20.36),使三對(duì)坐標(biāo)軸分別平行，且使 ， 軸垂直于剛體的運(yùn)動(dòng)平面，則一般平面運(yùn)動(dòng)剛體相對(duì)該平移坐標(biāo)系為繞 軸的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：,若一般平面運(yùn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)平面為其質(zhì)量對(duì)稱面，則 軸為剛體對(duì)點(diǎn)C的慣量主軸，即 ，上式變?yōu)?(20.37),式中 為一般平面運(yùn)動(dòng)剛體對(duì) 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。,(20.38),也可視為代數(shù)量,(20.37),若對(duì)該剛

6、體運(yùn)動(dòng)平面上的任意固定點(diǎn)A，則有：,對(duì)任意固定點(diǎn)A，則有：,(20.40),(20.39),例 題 20-6,20 動(dòng)量原理, 例題,求系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸O點(diǎn)的動(dòng)量矩。,解：,輪O定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，塊B平動(dòng)，,（負(fù)號(hào)表示轉(zhuǎn)向?yàn)椋?例 題 20-7,20 動(dòng)量原理, 例題,均質(zhì)圓柱，半徑為r，質(zhì)量為m，繞有細(xì)繩，A端固定，圓柱質(zhì)心C以速度vC向下運(yùn)動(dòng)，求圓柱對(duì)質(zhì)心C及定點(diǎn)A的動(dòng)量矩。,解：,圓柱作一般平面運(yùn)動(dòng),（）,若建立質(zhì)心平移坐標(biāo)系，則輪子的相對(duì)運(yùn)動(dòng)為繞質(zhì)心的定軸轉(zhuǎn)動(dòng),（負(fù)號(hào)表示）,例 題 20-8,20 動(dòng)量原理, 例題,圓盤O半徑為r，質(zhì)量m，以角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，均質(zhì)桿AB質(zhì)量為m，長為2r，滑塊B質(zhì)量為m，

7、在水平軌道內(nèi)運(yùn)動(dòng)，A，B處為鉸接，某瞬時(shí)桿AB處于水平位置，求此瞬時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)能，動(dòng)量，對(duì)O點(diǎn)的動(dòng)量矩。,例 題 20-8,20 動(dòng)量原理, 例題,解：,圓盤為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，滑塊為平動(dòng)，桿為一般平面運(yùn)動(dòng)，,桿AB此瞬時(shí)為平動(dòng),系統(tǒng)該時(shí)刻的動(dòng)能：,系統(tǒng)該時(shí)刻的動(dòng)量：,例 題 20-8,20 動(dòng)量原理, 例題,系統(tǒng)該瞬時(shí)對(duì)點(diǎn)O的動(dòng)量矩：,（）,注意：系統(tǒng)該瞬時(shí)的動(dòng)能、動(dòng)量、動(dòng)量矩都是特殊位置的量，不可求導(dǎo)！,20.6 動(dòng)量矩定理,20.6.1 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理,質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理,設(shè)質(zhì)量為 的質(zhì)點(diǎn)D對(duì)固定點(diǎn)O的矢徑為 ，作用其上的合力為,質(zhì)點(diǎn)對(duì)某一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用于其上的合力

8、對(duì)同一點(diǎn)的矩。,(20.41),20.6.2 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理,1. 質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理,(20.42),(20.43),質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用于其上的外力系對(duì)同一點(diǎn)的主矩。,質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某一固定軸的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用于其上的外力系對(duì)同一軸的矩。,式(20.43)為一矢量式，它可以向過點(diǎn)O的某一固定直角坐標(biāo)軸（如z軸）上投影：,(20.44),若質(zhì)點(diǎn)系作平面運(yùn)動(dòng)，O點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)， 可取為代數(shù)量：,均以逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正,質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定軸的動(dòng)量矩定理,(20.44),質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理,2. 質(zhì)點(diǎn)系對(duì)動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理,(20.46),任選動(dòng)點(diǎn)A，

9、建立定坐標(biāo)系及固連于動(dòng)點(diǎn)A的平移動(dòng)坐標(biāo)系，由對(duì)動(dòng)點(diǎn)A的絕對(duì)、相對(duì)動(dòng)量矩之關(guān)系式（20.29）：,求導(dǎo)：,求導(dǎo)：,又：,質(zhì)點(diǎn)系對(duì)動(dòng)點(diǎn)A的絕對(duì)、相對(duì)動(dòng)量矩導(dǎo)數(shù)之關(guān)系,設(shè)點(diǎn)O為慣性空間中某一固定點(diǎn)，,由O，A兩點(diǎn)的動(dòng)量矩之間關(guān)系：,其中,求導(dǎo)：,由對(duì)定點(diǎn)O的動(dòng)量矩定理,動(dòng)量定理的微分形式,及,得：,又,(20.47),由式(20.46)和(20.47)得到,(20.46),由此可見，質(zhì)點(diǎn)系對(duì)動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理形式復(fù)雜，通常，對(duì)動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理只用其特例：,（1）取動(dòng)點(diǎn)A為質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心C,（20.49),質(zhì)點(diǎn)系對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理,（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)A的加速度 時(shí)，即固連于動(dòng)點(diǎn)A的平移動(dòng)系也為一慣性系（A點(diǎn)在該

10、慣性系中為一定點(diǎn)）：,(20.50),如果動(dòng)點(diǎn)是任意選定的，動(dòng)點(diǎn)的速度、加速度一般未知，故對(duì)動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理的一般形式（20.47）和（20.48）并不常用，經(jīng)常使用的是質(zhì)點(diǎn)系對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理（20.49）。,對(duì)剛體、剛體系，動(dòng)量矩定理常取以下形式：,小結(jié),3. 有質(zhì)量對(duì)稱面的一般平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)量矩定理的表達(dá)式,若所研究的質(zhì)點(diǎn)系為一個(gè)具有質(zhì)量對(duì)稱面的剛體，作用了與質(zhì)量對(duì)稱面重合的平面力系，在其質(zhì)量對(duì)稱面內(nèi)作平面運(yùn)動(dòng)。,設(shè)A為剛體運(yùn)動(dòng)平面內(nèi)某一定點(diǎn)，則該剛體對(duì)A點(diǎn)的相對(duì)動(dòng)量矩為,(20.51),為剛體對(duì)Az軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，是一個(gè)常數(shù)； 為該剛體運(yùn)動(dòng)的角速度。,為剛體運(yùn)動(dòng)的角加速度。,由對(duì)動(dòng)點(diǎn)的

11、相對(duì)動(dòng)量矩定理,下面研究式(20.52)的幾種特殊情形：,（1）若點(diǎn)A固定不動(dòng)（記為O點(diǎn)），則剛體繞O軸作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，則有：,(20.53),（2）若點(diǎn)A取為剛體的質(zhì)心C , 則有 ：,(20.54),（3）若在某一瞬時(shí)，點(diǎn)A為該剛體的速度瞬心P，則有：,(20.55),(20.52),式(20.55)與式(20.53)的形式不同，反映了瞬時(shí)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)與定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的差別。,但若在不同瞬時(shí)，平面運(yùn)動(dòng)剛體的速度瞬心P與剛體質(zhì)心C的距離 恒等于某一常數(shù) ，則 ，,求導(dǎo)得 ，根據(jù)平面運(yùn)動(dòng)剛體的兩點(diǎn)加速度關(guān)系：,(20.56),(20.55),(20.53),對(duì)固定點(diǎn)O,對(duì)速度瞬心P,一般地說， ， ， 也不與 平行， 所以 故一般,將上式沿圖示 軸（其正向與 相同）投影得到,(20.57),因PC與 軸垂直，說明 ，于是,當(dāng)平面運(yùn)動(dòng)剛體的速度瞬心P與剛體質(zhì)心C的距離恒保持不變時(shí)，平面運(yùn)動(dòng)剛體對(duì)速度瞬心的動(dòng)量矩定理才具有定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩定理或?qū)|(zhì)心的動(dòng)量矩定理同樣簡單的形式。,(20.56),例如：均質(zhì)圓盤沿水平地面或固定不動(dòng)曲面作平面純滾動(dòng)；均質(zhì)直桿的兩端分別沿在同一平面內(nèi)相互垂直的兩條固定直線運(yùn)動(dòng)，剛體的速度瞬心與其質(zhì)心的距離恒保持不變。,在動(dòng)力學(xué)中，將一般平面運(yùn)動(dòng)剛體的基點(diǎn)選在