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文檔簡介

1、工程力學(xué)(C),北京理工大學(xué)理學(xué)院力學(xué)系 韓斌,( 37),(下冊(cè)),20 動(dòng)量原理,20.5 動(dòng)量矩,20.5.1.質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩,質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)某點(diǎn)之矩,(20.17),若在點(diǎn)O建立直角坐標(biāo)系Oxyz,則,x,y,z為質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo),,, , 分別為質(zhì)點(diǎn)的速度 在x,y,z軸上的投影。,(20.18),(類比于力對(duì)點(diǎn)之矩、力對(duì)軸之矩),其中,質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量對(duì)x,y,z軸之矩分別為:,(20.18),(20.19),質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量對(duì)任意 l 軸之矩:,其中O為l 軸上任意一點(diǎn)。,(20.20),顯然,質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的動(dòng)量矩是一個(gè)定位矢量,而質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸的動(dòng)量矩是一個(gè)代數(shù)量。,當(dāng)質(zhì)點(diǎn)作平面運(yùn)動(dòng)時(shí),動(dòng)量對(duì)平面內(nèi)某點(diǎn)O之矩或?qū)?/p>

2、Oz軸之矩均為:,(20.21),20.5.2. 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩,設(shè)質(zhì)點(diǎn)系中質(zhì)點(diǎn) 相對(duì)于某一固定點(diǎn)O的矢徑為 ,,動(dòng)量為 。,(20.22),質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩 為:,1.質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)、固定軸的動(dòng)量矩,質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某一固定軸 l 的動(dòng)量矩 為:,(20.23),(20.24),同理,質(zhì)點(diǎn)系平面運(yùn)動(dòng)時(shí),質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量對(duì)平面內(nèi)某點(diǎn)O之矩或?qū)z軸之矩均為:,2. 質(zhì)點(diǎn)系對(duì)動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)量矩,設(shè)在慣性參考系中有任意一動(dòng)點(diǎn)A,其速度為 。,固連于動(dòng)點(diǎn)A建立平移直角坐標(biāo)系 ,,(20.25),(20.26),將質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的絕對(duì)動(dòng)量 對(duì)動(dòng)點(diǎn)A的矩的矢量和定義為質(zhì)點(diǎn)系對(duì)動(dòng)點(diǎn)A的絕對(duì)動(dòng)量矩,用 表示,即:,將

3、質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)動(dòng)量 對(duì)動(dòng)點(diǎn)A的矩的矢量和定義為質(zhì)點(diǎn)系對(duì)動(dòng)點(diǎn)A的相對(duì)動(dòng)量矩,用 表示,即:,(20.27),質(zhì)點(diǎn)系對(duì)動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)動(dòng)量矩和相對(duì)動(dòng)量矩的關(guān)系:,將式(20.25)代入式(20.26):,(20.28),由質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心C相對(duì)于動(dòng)點(diǎn)A 的矢徑公式 可得:,故質(zhì)點(diǎn)系對(duì)動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)動(dòng)量矩和相對(duì)動(dòng)量矩的關(guān)系為:,其中 為質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心C在動(dòng)系中的相對(duì)坐標(biāo), 為動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)速度。,(20.29),(20.30),質(zhì)點(diǎn)系對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩,無論是在固定坐標(biāo)系還是在質(zhì)心平移坐標(biāo)系中計(jì)算都是相同的。,故質(zhì)點(diǎn)系對(duì)不同的A,O兩點(diǎn)的動(dòng)量矩的關(guān)系為:,(20.31),質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某點(diǎn)的動(dòng)量矩不等于質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量對(duì)該點(diǎn)之矩!,

4、即,(見書上例22.4),3.對(duì)慣性系中不同的A,O兩點(diǎn)的動(dòng)量矩之間關(guān)系,類比于力對(duì)不同兩點(diǎn)的力矩之間的關(guān)系,,力對(duì)A,O兩點(diǎn)之矩關(guān)系為,20.5.3 剛體的動(dòng)量矩,1. 平移剛體的動(dòng)量矩,當(dāng)剛體作平移時(shí),建立質(zhì)心平移坐標(biāo)系,各質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)速度 ,故,(20.32),平移剛體對(duì)任意固定點(diǎn)A的動(dòng)量矩為:,(20.33),平移剛體對(duì)任意確定點(diǎn)A的動(dòng)量矩等于將平移剛體的質(zhì)量視為全部集中在質(zhì)心C上時(shí)對(duì)點(diǎn)A的動(dòng)量矩。,當(dāng)平移剛體作平面曲線運(yùn)動(dòng)時(shí),對(duì)該平面內(nèi)任一點(diǎn)的動(dòng)量矩可視為代數(shù)量 。,2. 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)量矩,定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)定點(diǎn)O的動(dòng)量矩為,(20.34),(20.34),故,定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸上任

5、意點(diǎn)的動(dòng)量矩矢量一般不沿轉(zhuǎn)軸的方向。,特別,當(dāng)轉(zhuǎn)軸 z 軸為剛體的慣量主軸時(shí),有,動(dòng)量矩矢量沿轉(zhuǎn)軸方向,也可用代數(shù)量表示:,例如,剛體作平面定軸轉(zhuǎn)動(dòng),轉(zhuǎn)軸垂直于剛體的質(zhì)量對(duì)稱面時(shí)。,3. 一般平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)量矩,建立慣性參考空間中的定系Oxyz和質(zhì)心平移坐標(biāo)系 ,,(20.36),使三對(duì)坐標(biāo)軸分別平行,且使 , 軸垂直于剛體的運(yùn)動(dòng)平面,則一般平面運(yùn)動(dòng)剛體相對(duì)該平移坐標(biāo)系為繞 軸的定軸轉(zhuǎn)動(dòng):,若一般平面運(yùn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)平面為其質(zhì)量對(duì)稱面,則 軸為剛體對(duì)點(diǎn)C的慣量主軸,即 ,上式變?yōu)?(20.37),式中 為一般平面運(yùn)動(dòng)剛體對(duì) 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。,(20.38),也可視為代數(shù)量,(20.37),若對(duì)該剛

6、體運(yùn)動(dòng)平面上的任意固定點(diǎn)A,則有:,對(duì)任意固定點(diǎn)A,則有:,(20.40),(20.39),例 題 20-6,20 動(dòng)量原理, 例題,求系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸O點(diǎn)的動(dòng)量矩。,解:,輪O定軸轉(zhuǎn)動(dòng),塊B平動(dòng),,(負(fù)號(hào)表示轉(zhuǎn)向?yàn)椋?例 題 20-7,20 動(dòng)量原理, 例題,均質(zhì)圓柱,半徑為r,質(zhì)量為m,繞有細(xì)繩,A端固定,圓柱質(zhì)心C以速度vC向下運(yùn)動(dòng),求圓柱對(duì)質(zhì)心C及定點(diǎn)A的動(dòng)量矩。,解:,圓柱作一般平面運(yùn)動(dòng),(),若建立質(zhì)心平移坐標(biāo)系,則輪子的相對(duì)運(yùn)動(dòng)為繞質(zhì)心的定軸轉(zhuǎn)動(dòng),(負(fù)號(hào)表示),例 題 20-8,20 動(dòng)量原理, 例題,圓盤O半徑為r,質(zhì)量m,以角速度轉(zhuǎn)動(dòng),均質(zhì)桿AB質(zhì)量為m,長為2r,滑塊B質(zhì)量為m,

7、在水平軌道內(nèi)運(yùn)動(dòng),A,B處為鉸接,某瞬時(shí)桿AB處于水平位置,求此瞬時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)能,動(dòng)量,對(duì)O點(diǎn)的動(dòng)量矩。,例 題 20-8,20 動(dòng)量原理, 例題,解:,圓盤為定軸轉(zhuǎn)動(dòng),滑塊為平動(dòng),桿為一般平面運(yùn)動(dòng),,桿AB此瞬時(shí)為平動(dòng),系統(tǒng)該時(shí)刻的動(dòng)能:,系統(tǒng)該時(shí)刻的動(dòng)量:,例 題 20-8,20 動(dòng)量原理, 例題,系統(tǒng)該瞬時(shí)對(duì)點(diǎn)O的動(dòng)量矩:,(),注意:系統(tǒng)該瞬時(shí)的動(dòng)能、動(dòng)量、動(dòng)量矩都是特殊位置的量,不可求導(dǎo)!,20.6 動(dòng)量矩定理,20.6.1 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理,質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理,設(shè)質(zhì)量為 的質(zhì)點(diǎn)D對(duì)固定點(diǎn)O的矢徑為 ,作用其上的合力為,質(zhì)點(diǎn)對(duì)某一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用于其上的合力

8、對(duì)同一點(diǎn)的矩。,(20.41),20.6.2 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理,1. 質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理,(20.42),(20.43),質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用于其上的外力系對(duì)同一點(diǎn)的主矩。,質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某一固定軸的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用于其上的外力系對(duì)同一軸的矩。,式(20.43)為一矢量式,它可以向過點(diǎn)O的某一固定直角坐標(biāo)軸(如z軸)上投影:,(20.44),若質(zhì)點(diǎn)系作平面運(yùn)動(dòng),O點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn), 可取為代數(shù)量:,均以逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正,質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定軸的動(dòng)量矩定理,(20.44),質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理,2. 質(zhì)點(diǎn)系對(duì)動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理,(20.46),任選動(dòng)點(diǎn)A,

9、建立定坐標(biāo)系及固連于動(dòng)點(diǎn)A的平移動(dòng)坐標(biāo)系,由對(duì)動(dòng)點(diǎn)A的絕對(duì)、相對(duì)動(dòng)量矩之關(guān)系式(20.29):,求導(dǎo):,求導(dǎo):,又:,質(zhì)點(diǎn)系對(duì)動(dòng)點(diǎn)A的絕對(duì)、相對(duì)動(dòng)量矩導(dǎo)數(shù)之關(guān)系,設(shè)點(diǎn)O為慣性空間中某一固定點(diǎn),,由O,A兩點(diǎn)的動(dòng)量矩之間關(guān)系:,其中,求導(dǎo):,由對(duì)定點(diǎn)O的動(dòng)量矩定理,動(dòng)量定理的微分形式,及,得:,又,(20.47),由式(20.46)和(20.47)得到,(20.46),由此可見,質(zhì)點(diǎn)系對(duì)動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理形式復(fù)雜,通常,對(duì)動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理只用其特例:,(1)取動(dòng)點(diǎn)A為質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心C,(20.49),質(zhì)點(diǎn)系對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理,(2)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)A的加速度 時(shí),即固連于動(dòng)點(diǎn)A的平移動(dòng)系也為一慣性系(A點(diǎn)在該

10、慣性系中為一定點(diǎn)):,(20.50),如果動(dòng)點(diǎn)是任意選定的,動(dòng)點(diǎn)的速度、加速度一般未知,故對(duì)動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理的一般形式(20.47)和(20.48)并不常用,經(jīng)常使用的是質(zhì)點(diǎn)系對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理(20.49)。,對(duì)剛體、剛體系,動(dòng)量矩定理常取以下形式:,小結(jié),3. 有質(zhì)量對(duì)稱面的一般平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)量矩定理的表達(dá)式,若所研究的質(zhì)點(diǎn)系為一個(gè)具有質(zhì)量對(duì)稱面的剛體,作用了與質(zhì)量對(duì)稱面重合的平面力系,在其質(zhì)量對(duì)稱面內(nèi)作平面運(yùn)動(dòng)。,設(shè)A為剛體運(yùn)動(dòng)平面內(nèi)某一定點(diǎn),則該剛體對(duì)A點(diǎn)的相對(duì)動(dòng)量矩為,(20.51),為剛體對(duì)Az軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,是一個(gè)常數(shù); 為該剛體運(yùn)動(dòng)的角速度。,為剛體運(yùn)動(dòng)的角加速度。,由對(duì)動(dòng)點(diǎn)的

11、相對(duì)動(dòng)量矩定理,下面研究式(20.52)的幾種特殊情形:,(1)若點(diǎn)A固定不動(dòng)(記為O點(diǎn)),則剛體繞O軸作定軸轉(zhuǎn)動(dòng),則有:,(20.53),(2)若點(diǎn)A取為剛體的質(zhì)心C , 則有 :,(20.54),(3)若在某一瞬時(shí),點(diǎn)A為該剛體的速度瞬心P,則有:,(20.55),(20.52),式(20.55)與式(20.53)的形式不同,反映了瞬時(shí)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)與定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的差別。,但若在不同瞬時(shí),平面運(yùn)動(dòng)剛體的速度瞬心P與剛體質(zhì)心C的距離 恒等于某一常數(shù) ,則 ,,求導(dǎo)得 ,根據(jù)平面運(yùn)動(dòng)剛體的兩點(diǎn)加速度關(guān)系:,(20.56),(20.55),(20.53),對(duì)固定點(diǎn)O,對(duì)速度瞬心P,一般地說, , , 也不與 平行, 所以 故一般,將上式沿圖示 軸(其正向與 相同)投影得到,(20.57),因PC與 軸垂直,說明 ,于是,當(dāng)平面運(yùn)動(dòng)剛體的速度瞬心P與剛體質(zhì)心C的距離恒保持不變時(shí),平面運(yùn)動(dòng)剛體對(duì)速度瞬心的動(dòng)量矩定理才具有定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩定理或?qū)|(zhì)心的動(dòng)量矩定理同樣簡單的形式。,(20.56),例如:均質(zhì)圓盤沿水平地面或固定不動(dòng)曲面作平面純滾動(dòng);均質(zhì)直桿的兩端分別沿在同一平面內(nèi)相互垂直的兩條固定直線運(yùn)動(dòng),剛體的速度瞬心與其質(zhì)心的距離恒保持不變。,在動(dòng)力學(xué)中,將一般平面運(yùn)動(dòng)剛體的基點(diǎn)選在

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