((Simon整理)第10講)函數(shù)圖象及圖象性質(zhì)的應用

1、題目 高中數(shù)學復習專題講座函數(shù)圖像及圖像性質(zhì)的應用高考要求 函數(shù)的圖像與性質(zhì)是高考考查的重點內(nèi)容之一，它是研究和記憶函數(shù)性質(zhì)的直觀工具,利用它的直觀性解題,可以起到化繁為簡、化難為易的作用 因此，考生要掌握繪制函數(shù)圖像的一般方法，掌握函數(shù)圖像變化的一般規(guī)律，能利用函數(shù)的圖像研究函數(shù)的性質(zhì) 重難點歸納 1 熟記基本函數(shù)的大致圖像，掌握函數(shù)作圖的基本方法 (1)描點法 列表、描點、連線；(2)圖像變換法 平移變換、對稱變換、伸縮變換等 2 高考中總是以幾類基本初等函數(shù)的圖像為基礎來考查函數(shù)圖像的 題型多以選擇與填空為主，屬于必考內(nèi)容之一，但近年來，在大題中也有出現(xiàn)，須引起重視 典型題例示范講解 例

2、1對函數(shù)y=f(x)定義域中任一個x的值均有f(x+a)=f(ax),(1)求證y=f(x)的圖像關于直線x=a對稱；(2)若函數(shù)f(x)對一切實數(shù)x都有f(x+2)=f(2x),且方程f(x)=0恰好有四個不同實根，求這些實根之和 命題意圖 本題考查函數(shù)概念、圖像對稱問題以及求根問題 知識依托 把證明圖像對稱問題轉(zhuǎn)化到點的對稱問題 錯解分析 找不到問題的突破口，對條件不能進行等價轉(zhuǎn)化 技巧與方法 數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化 (1)證明 設(x0,y0)是函數(shù)y=f(x)圖像上任一點，則y0=f(x0),=a,點(x0,y0)與(2ax0,y0)關于直線x=a對稱，又f(a+x)=f(ax),f(2a

3、x0)=fa+(ax0)=fa(ax0)=f(x0)=y0,(2ax0,y0)也在函數(shù)的圖像上，故y=f(x)的圖像關于直線x=a對稱 (2)解 由f(2+x)=f(2x)得y=f(x)的圖像關于直線x=2對稱，若x0是f(x)=0的根，則4x0也是f(x)=0的根，若x1是f(x)=0的根，則4x1也是f(x)=0的根，x0+(4x0)+ x1+(4x1)=8即f(x)=0的四根之和為8 例2如圖，點A、B、C都在函數(shù)y=的圖像上，它們的橫坐標分別是a、a+1、a+2 又A、B、C在x軸上的射影分別是A、B、C,記ABC的面積為f(a),ABC的面積為g(a) (1)求函數(shù)f(a)和g(a)

4、的表達式；(2)比較f(a)與g(a)的大小，并證明你的結(jié)論 命題意圖 本題考查函數(shù)的解析式、函數(shù)圖像、識圖能力、圖形的組合等 知識依托 充分借助圖像信息，利用面積問題的拆拼以及等價變形找到問題的突破口 錯解分析 圖形面積不會拆拼 技巧與方法 數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化 解 (1)連結(jié)AA、BB、CC,則f(a)=SABC=S梯形AACCSAABSCCB=(AA+CC)=(),g(a)=SABC=ACBB=BB= f(a)2時，f(x)0，從而有a0,b0 學生鞏固練習 1 當a0時，y=ax+b和y=bax的圖像只可能是( )2 某學生離家去學校，由于怕遲到，所以一開始就跑步，等跑累了，再走余下的路

5、，下圖中y軸表示離學校的距離，x軸表示出發(fā)后的時間，則適合題意的圖形是( ) 3 已知函數(shù)f(x)=log2(x+1)，將y=f(x)的圖像向左平移1個單位，再將圖像上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍(橫坐標不變)，得到函數(shù)y=g(x)的圖像，則函數(shù)F(x)=f(x)g(x)的最大值為_ 三、解答題4 如圖，在函數(shù)y=lgx的圖像上有A、B、C三點，它們的橫坐標分別為m,m+2,m+4(m1) (1)若ABC面積為S，求S=f(m);(2)判斷S=f(m)的增減性 5 如圖，函數(shù)y=|x|在x1,1的圖像上有兩點A、B，ABOx軸，點M(1，m)(mR且m)是ABC的BC邊的中點 (1)寫出用B

6、點橫坐標t表示ABC面積S的函數(shù)解析式S=f(t);(2)求函數(shù)S=f(t)的最大值，并求出相應的C點坐標 6 已知函數(shù)f(x)是y=1(xR)的反函數(shù)，函數(shù)g(x)的圖像與函數(shù)y=的圖像關于y軸對稱，設F(x)=f(x)+g(x) (1)求函數(shù)F(x)的解析式及定義域；(2)試問在函數(shù)F(x)的圖像上是否存在兩個不同的點A、B，使直線AB恰好與y軸垂直？若存在，求出A、B的坐標；若不存在，說明理由 7 已知函數(shù)f1(x)=,f2(x)=x+2,(1)設y=f(x)=，試畫出y=f(x)的圖像并求y=f(x)的曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的表面積；(2)若方程f1(x+a)=f2(x)有兩個不

7、等的實根，求實數(shù)a的范圍 (3)若f1(x)f2(xb)的解集為1，求b的值 8 設函數(shù)f(x)=x+的圖像為C1，C1關于點A(2，1)對稱的圖像為C2，C2對應的函數(shù)為g(x) (1)求g(x)的解析表達式；(2)若直線y=b與C2只有一個交點，求b的值，并求出交點坐標；(3)解不等式logag(x)loga (0a0,b1,ba1,C中a0,b1,0ba1,D中a0,0b1,ba1 故選擇支B、C、D均與指數(shù)函數(shù)y=(ba)x的圖像不符合 答案 A2 解析 由題意可知，當x=0時，y最大，所以排除A、C 又一開始跑步，所以直線隨著x的增大而急劇下降 答案 D3 解析 g(x)=2log2

8、(x+2)(x2)F(x)=f(x)g(x)=log2(x+1)2log2(x+2)=log2x+10,F(x)=2當且僅當x+1= ,即x=0時取等號 F(x)max=F(0)=2 答案 24 解 (1)SABC=S梯形AABB+S梯形BBCCS梯形AACC (2)S=f(m)為減函數(shù) 5 解 (1)依題意，設B(t, t),A(t, t)(t0),C(x0,y0) M是BC的中點 =1, =m x0=2t,y0=2mt 在ABC中，|AB|=2t,AB邊上的高hAB=y0t=2m3t S=|AB|hAB= 2t(2m3t),即f(t)=3t2+2mt,t(0,1) (2)S=3t2+2mt=3(t)2+,t(0,1,若，即m3,當t=時，Smax=,相應的C點坐標是(2, m),若1,即m3 S=f(t)在區(qū)間(0，1上是增函數(shù)，Smax=f(1)=2m3,相應的C點坐標是(1，2m3) 6 解 (1)y=1的反函數(shù)為f(x)=lg(1x1 由已知得g(x)=,F(x)=lg+,定義域為(1，1) (2)用定義可證明函數(shù)u=1+是(1，1）上的減函數(shù)，且y=lgu是增函數(shù) f(x)是(1，1）上的減函數(shù)，故不存在符合條件的點A、B 7 解 (1）y=f(x)=的圖像如圖所示 y=f(x)的曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體是由一個半徑為1的半球及底面半徑和高均為1的圓錐體組成，其表