高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.2向量的分解與向量的坐標(biāo)2.2.3用平面向量坐標(biāo)表示向量共線條件課堂導(dǎo)學(xué)案新人教B版必修

1、2.2.3 用平面向量坐標(biāo)表示向量共線條件課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析 一、兩向量共線的判斷 利用a=b和坐標(biāo)表示x1y2-x2y1=0來判斷.設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b0,則a與b共線的條件是a=b;用坐標(biāo)表示可寫為(x1,y1)=(x2,y2),即消去后得x1y2-x2y1=0,也就是說,當(dāng)且僅當(dāng)x1y2-x2y1=0時,向量a、b(b0)共線.【例1】 判斷下列向量a與b是否平行:(1)a=(,),b=(-2,-3);(2)a=(0.5,4),b=(-8,64);(3)a=(2,3),b=(3,4);(4)a=(2,3),b=(,2).思路分析：設(shè)a=(a1,a2),b=(b1

2、,b2),則aba1b2-a2b1=0.解：(1)(-3)-(-2)=+=0,ab. (2)0.564-4(-8)=32+32=640,ab.(3)24-33=8-9=-10,ab.(4)22-3()=4+4=80,ab.溫馨提示由于a20,b20,因此也可以這樣判定:(1),ab.(2),.ab.(3),ab.(4),ab.各個擊破類題演練 1已知A(-2,-3),B(2,1),C(1,4),D(-7,-4),判斷與是否共線?思路分析:判斷兩個向量是否共線,可直接利用坐標(biāo)形式的條件x1y2-x2y1=0來判斷.解:=(2,1)-(-2,-3)=(4,4),=(-7,-4)-(1,4)=(-8

3、,-8),4(-8)-4(-8)=0,即和共線.變式提升 1a=(1,2),b=(-3,2),當(dāng)k為何值時,ka+b與a-3b平行?平行時它們是同向還是反向?解法一:ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4), 當(dāng)ka+b與a-3b平行時,存在唯一實(shí)數(shù)使ka+b=(a-3b),由(k-3,2k+2)=(10,-4),得解得k=-.當(dāng)k=-時,ka+b與a-3b平行,這時ka+b=-a+b=-(a-3b).=-0,ka+b與a-3b反向.解法二:由解法一知ka+b=(k-3,2k+2),a-3b=(10,-4),ka+b與a-

4、3b平行,(k-3)(-4)-10(2k+2)=0,解得k=-,此時ka+b=(-3,+2)=-(a-3b).當(dāng)k=-時,ka+b與a-3b平行,并且反向. 二、坐標(biāo)法證三點(diǎn)共線問題證明三點(diǎn)共線(或兩直線平行、重合)(1)證明兩直線平行,可通過證這兩直線上的兩向量共線,且無公共點(diǎn).(2)證明三點(diǎn)共線,可通過證由這三點(diǎn)構(gòu)成的兩個向量共線,且有公共點(diǎn).(3)證三點(diǎn)共線常見的方法還有:證得兩條較短的線段之和等于第三條線段的長度,以及利用斜率或直線方程,證明三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積為零等.【例2】 如果向量=i-2j，=i+mj，其中i、j分別是x軸、y軸正方向上的單位向量，試確定實(shí)數(shù)m的值，使A、B、

5、C三點(diǎn)共線.思路分析：只需根據(jù)向量共線的條件，解關(guān)于m的方程即可.解法一:A、B、C三點(diǎn)共線即、共線，存在實(shí)數(shù)使=,即i-2j=(i+mj).m=-2.m=-2時，A、B、C三點(diǎn)共線.解法二：依題意知：i=（1，0），j=（0，1），=（1，0）-2（0，1）=（1，-2），=（1，0）+m(0,1)=(1,m).而，共線，1m+2=0.m=-2.故當(dāng)m=-2時，A、B、C三點(diǎn)共線.溫馨提示 向量共線的幾何表示與代數(shù)表示形式不同，但實(shí)質(zhì)一樣，在解決具體問題時要注意選擇使用.類題演練 2向量=(k,12),=(4,5),=(10,k),當(dāng)k為何值時,A、B、C三點(diǎn)共線?解:=-=(k,12)-(

6、4,5)=(k-4,7),=-=(k,12)-(10,k)=(k-10,12-k),A、B、C三點(diǎn)共線,即(k-4)(12-k)-(k-10)7=0,整理,得k2-9k-22=0,解得k1=-2或k2=11,當(dāng)k=-2或11時,A、B、C三點(diǎn)共線.變式提升 2證明下列各組點(diǎn)共線:(1)A(1,2),B(-3,-4),C(2,3.5);(2)P(-1,2),Q(0.5,0),R(5,-6).證明:(1)=(-3,-4)-(1,2)=(-3-1,-4-2)=(-4,-6),=(2,3.5)-(-3,-4)=(2+3,3.5+4)=(5,7.5).-47.5-(-6)5=0(或),.又、有公共點(diǎn)B,

7、A、B、C三點(diǎn)共線.(2)=(0.5,0)-(-1,2)=(0.5+1,0-2)=(1.5,-2),=(5,-6)-(0.5,0)=(5-0.5,-6-0)=(4.5,-6),1.5(-6)-(-2)4.5=-9+9=0(或).又、有公共點(diǎn)Q,P、Q、R三點(diǎn)共線. 三、向量共線的坐標(biāo)應(yīng)用 平面向量共線的坐標(biāo)表示常應(yīng)用于:(1)求點(diǎn)的坐標(biāo);(2)確定參數(shù)的值(比值);(3)平面幾何中的證明問題.向量共線的坐標(biāo)表示與幾何表示形式不同但實(shí)質(zhì)一樣,在解決問題時要不拘泥于形式,靈活運(yùn)用.【例3】 平面內(nèi)給定三個向量a=（3，2），b=（-1，2），c=(4,1).(1)求3a+b-2c；（2）求滿足a=

8、mb+nc的實(shí)數(shù)m,n;(3)若a+kc（2b-a），求實(shí)數(shù)k；（4）設(shè)d=（x,y）滿足（d-c）（a+b）且|d-c|=1,求d.思路分析：對于（1），可直接用坐標(biāo)運(yùn)算得出結(jié)果.對于（2），可將向量相等轉(zhuǎn)化為關(guān)于坐標(biāo)的方程組.對于（3）（4）,都可運(yùn)用向量平行的條件，將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于坐標(biāo)的等式求解.解:（1）3a+b-2c=3（3，2）+（-1，2）-2（4，1）=（0，6）.（2）a=mb+nc，（3，2）=m（-1，2）+n（4，1）=（-m+4n,2m+n).(3)(a+kc）（2b-a），又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),2(3+4k)-(-5)(2+k)=0.k=.(4)d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),又(d-c)(a+b)且|d-c|=1,解之，得d=()或d=().類題演練 3已知a0,b0,且ab,求證:a+ba-b.證明:令a=(x1,y1),b=(x2,y2),a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),假設(shè)a+ba-b,則(x1+x2)(y1-y2)-(y1+y2)(x1-x2)=0,即x1y1+x2y1-x1y2-x2y2-x1y1-x