高中數(shù)學 立體幾何專題復習學案 新人教B版必修

1、立體幾何專題復習-空間角的求法一、 知識梳理（一）異面直線所成的角：定義：已知兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點作直線，所成的角的大小與點的選擇無關，把所成的銳角（或直角）叫異面直線所成的角（或夾角）為了簡便，點通常取在異面直線的一條上理解說明：（1）平移法：即根據(jù)定義，以“運動”的觀點，用“平移轉化”的方法，使之成為相交直線所成的角。（2）異面直線所成的角的范圍：（3）異面直線垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，則叫兩條異面直線垂直兩條異面直線 垂直，記作（4）求異面直線所成的角的方法：（1）通過平移，在一條直線上找一點，過該點做另一直線的平行線；（2）找出與一條直線平行且與另一條相交的直線，那

2、么這兩條相交直線所成的角即為所求5.向量法： （二）直線和平面所成的角1線面角的定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線和這個平面所成的角2、記作：； 3、范圍：0，；當一條直線垂直于平面時，所成的角，即直線與平面垂直；當一條直線平行于平面或在平面內，所成角為0。3.求線面角的一般步驟： （1）經(jīng)過斜線上一點作面的垂線；（2）找出斜線在平面內的射影，從而找出線面角；（3）解直角三角形。，4.設是平面的法向量，AB是平面的一條斜線，則AB與平面所成的角：所以（三）二面角1.二面角的平面角：（1）過二面角的棱上的一點分別在兩個半平面內作棱的兩條垂線，則叫做二面角的平面角（2）一

3、個平面垂直于二面角的棱，且與兩半平面交線分別為為垂足，則也是的平面角說明：（1）二面角的平面角范圍是；（2）二面角的平面角為直角時，則稱為直二面角，組成直二面角的兩個平面互相垂直 （3）二面角的平面角的特點：1）角的頂點在棱上 ；2）角的兩邊分別在兩個面內 ；3）角的邊都要垂直于二面角的棱。2、作二面角的平面角的常用方法：、點P在棱上作垂直于棱的直線（如圖1） ；、點P在一個半平面三垂線定理法；（如圖2）、點P在二面角內垂面法。（如圖3）（圖1） （圖2） （圖3）3.二面角的計算：1、找到或作出二面角的平面角；2、證明 這個角就是所求的角；3、計算出此角的大小 。一“作”二“證”三“計算”（

4、幾何法作二面角的平面角）（1）觀察在兩個半平面內是否有與棱垂直的直線；（2）觀察兩個半平面的幾何特征（如：等腰三角形、正三角形等）POQ（3）若兩個半平面內除棱以外的點P所在的第三個平面與其中一半平面垂直，則可用三垂線定理作二面角的平面角，如圖所示； （4）若能在其中一半平面內找到另一半平面的射影圖形，也可用射影面積法求二面角的平面角； 4.利用法向量求解：設是平面的法向量，是平面的法向量兩個平面的二面角如圖1所示的示意圖，則與之間的夾角就是欲求的二面角；若兩個平面的二面角如圖2所示的示意圖，設與之間的夾角為則兩個平面的二面角為 （圖1） （圖2）【應用注意】（1）用法向量求二面角時，首先必須

5、判斷二面角是銳角還是鈍角。（2）由余弦定理求出：。【題型分析】題型一 求異面直線所成的角例1：正方體ABCDA1B1C1D1中，（1） 求AC與A1D所成角的大?。?（2）若E、F分別為AB、AD的中點，求A1C1與EF所成角的大小.練習1.如圖, 正方體ABCDA1B1C1D1中, 異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為 ；異面直線A1B與DC1所成角為 ；異面直線A1B與CC1所成角為 。2在長方體ABCDA1B1C1D1中，已知DA=DC=4，DD1=3求異面直線A1B與B1C所成角的余弦值。 3如圖，在四棱錐PABCD中，PO底面ABCD， O為AD中點,側棱PAPD=,底面ABCD為

6、直角梯形，其中BCAD,ABAD, AD=2AB=2BC=2，.(1)求異面直線PB與CD所成角的余弦值；題型二 求線面角例2：如圖,正方體ABCDA1B1C1D1中，求直線BC1與平面ABCD所成角的大小。練習1：在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，E是BC1的中點求直線DE與平面ABCD所成角的大?。ㄓ萌呛瘮?shù)值表示） 題型三 二面角例1 在空間四邊形PABC中，PB=BC=AB=4,PC=3,求二面角P-AB-C的大小。ADBCP練習1：已知ABCD是正方形，PA平面ABCD,且PA=AD=1,求面PAB與面PCD所成的二面角的大小。練習2：如圖正方體ABCDA1B1C1D1中

7、，棱長為1，（1） 求二面角的大?。唬?）求二面角的大小。CDABA1B1C1D1練習3.如圖，三棱錐P-ABC的頂點P在底面ABC上的射影是底面RtABC斜邊AC的中點O，若PB=AB=1，BC=，求二面角P-AB-C的正切值。OABPC練習4.在直三棱柱中，BB1=BC=AB=4,且，E為CC1的中點，F(xiàn)在BB1上，且，求平面AEF與平面ABC所成的角。ACBA1B1C1FE鞏固練習：1正六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1底面邊長是1，側棱長是，則這個棱柱的側面對角線E1D與BC1所成的角是（ ）A90 B60 C45 D302如圖S為正三角形所在平面ABC外一點，且SASBSCA

8、B，E、F分別為SC、AB中點，則異面直線EF與SA所成角為（ ）A90 B60 C45 D303把正方形ABCD沿對角線AC折起，當點D到平面ABC的距離最大時，直線BD和平面ABC所成角的大小為 （ ）A90 B60 C45 D304PA、PB、PC是從點P引出的三條射線，每兩條射線的夾角均為60，則直線PC與平面APB所成角的余弦值是（ ）A B C D5已知ABC中，AB2，BC1，ABC120，平面ABC外一點P滿足PAPBPC2，則三棱錐PABC的體積是（ ）A B C D6PA、PB、PC是從點P引出的三條射線，每兩條射線的夾角均為60，則二面角APB-C所成角的余弦值是（ ）A B C D7.設是直二面角，則 。8.已知正四棱錐的體積為12，底面對角線的長為，則側面與底面所成的二面角等于_9在直三棱柱中，AC=3，BC=4，AB=5，AA=4，D是AB的中點。（1）求證：ACBC （2）求證：平面CDB . (3) 求異面直線與BC所成角的余弦值。10.在四棱錐P-ABCD中，PD平面ABCD，ADCD,且DB平分ADC,E為PC的中點，AD=CD=1，DB=2. (1)證明：PA平面BDE . (2)證明：AC平面PBD （3）求直線BC與平面PBD