高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機(jī)變量及其分布 2.4 正態(tài)分布課堂導(dǎo)學(xué)案 新人教A版選修

1、2.4 正態(tài)分布課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析一、正態(tài)分布的性質(zhì)【例1】 正態(tài)總體N（0，1）的概率密度函數(shù)是f(x)=.xR.(1)求證：f(x)是偶函數(shù)；（2）求f(x)的最大值；(3)利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)說明f(x)的增減性.解：（1）對(duì)于任意的xR，f(-x)=f(x)f(x)是偶函數(shù).(2)令z=,當(dāng)x=0時(shí)，z=0，e z=1,e z是關(guān)于z的增函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，z0,e z1,當(dāng)x=0,即z=0時(shí)，取得最小值.當(dāng)x=0時(shí)，f(x)=取得最大值.(3)任取x10,x20,且x1x2,有x12x22,-,即f(x1)f(x2)它表明當(dāng)x0時(shí)，f(x)是遞增的.同理可得，對(duì)于任取的x10,x20,且x1

2、x2，有f(x1)f(x2),即當(dāng)x0時(shí)，f(x)是遞減的.二、利用正態(tài)分布的密度函數(shù)求概率【例2】 設(shè)服從N（0，1），求下列各式的值：（1）P（2.35);(2)P(-1.24);(3)P(|1.54).分析：因?yàn)榉臉?biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，所以可借助于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，查出其值，由于表中只列出x00,P(x0)=（x0)的情形，其他情形需用公式：（-x)=1-(x);P(ab)=（b)-(a);和P（x0)=1-P(x0)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.解析：（1）P(2.35)=1-P(2.35)=1-(2.35)=1-0.990 6=0.009 4;(2)P(-1.24)=(-1.24)=1-(1.24)=1-0.8

3、92 5=0.107 5;(3)P(|1.54)=P(-1.541.54)=(1.54)-(-1.54)=2(1.54)-1=0.876 4.溫馨提示 對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1）來說，總體在區(qū)間（x1,x2)內(nèi)取值的概率P（x1x2)=(x2)-(x1)的幾何意義是：介于直線x=x1和x=x2間，x軸上方，總體密度曲線下方的陰影部分面積.三、正態(tài)分布的應(yīng)用【例3】 從南部某地乘車前往北區(qū)火車站搭汽車有兩條線路可走，第一條線路穿過市區(qū)，路線較短，但交通擁擠，所需時(shí)間（單位為分）服從正態(tài)分布N(50,100)，第二條線路沿環(huán)城路走，線路較長，但意外阻塞較少，所需時(shí)間服從正態(tài)分布N（60，16），

4、試計(jì)算(1)若有70分鐘時(shí)間可用，應(yīng)走哪條線路？（2）若有65分鐘時(shí)間可用，又應(yīng)走哪條線路？解析：（1）有70分鐘時(shí)走第一條線路及時(shí)趕到的概率為：P（70)=()=(2)=0.977 2.走第二條線路及時(shí)趕到的概率為P（70）=()=(2.5)=0.993 8.所以，應(yīng)走第二條線路.（2）只有65分鐘可用時(shí)，走第一條線路及時(shí)趕到的概率為：P(65)=()=(1.5)=0.933 2.走第二條線路及時(shí)趕到的概率為P（65）=()=(1.25)=0.894 4.所以，應(yīng)走第一條線路.溫馨提示 正態(tài)分布是自然界中最常見的一種分布，例如測(cè)量的誤差，人的生理特征的某些數(shù)據(jù)，學(xué)生的考試成績等，它廣泛存在于

5、自然現(xiàn)象及科學(xué)技術(shù)的許多領(lǐng)域中，在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)給定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布N（0，1）以后，設(shè)P（x）=P,結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布表可求兩個(gè)方面的問題：一是已知x的值求概率P；二是已知概率P的值求x的值.若N(,2)，則N(0,1),從而把一般的正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布.各個(gè)擊破【類題演練1】下列函數(shù)是正態(tài)密度函數(shù)的是( )A.f(x)= B.f(x)=C.f(x)= D.f(x)=思路分析：對(duì)照正態(tài)密度函數(shù)f(x)=易知B選項(xiàng)正確.此時(shí)=1，=0.答案：B【變式提升1】把一正態(tài)曲線C1沿著橫軸方向向右移動(dòng)2個(gè)單位，得到一條新的曲線C2，下列說法不正確的是 ( )A.曲線C2仍是正態(tài)曲線B.曲線C

6、1，C2的最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等C.以曲線C2為概率密度曲線的總體的方差比的曲線C2為概率密度曲線的總體的方差大2D.以曲線C2為概率密度設(shè)曲線的總體的均值比以曲線C1為概率密度曲線的總體的均值大2思路分析：正態(tài)密度函數(shù)為f(x)= ,正態(tài)曲線對(duì)稱軸為x=,曲線最高點(diǎn)縱坐標(biāo)為f()=,所以曲線C1向右平移2個(gè)單位后，曲線形狀沒變，仍為正態(tài)曲線，且最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)f()沒變，從而沒變，所以方差沒變，而平移前后對(duì)稱軸變了，即變了，因?yàn)榍€向右平移2個(gè)單位，所以均值增大2個(gè)單位.答案：C【類題演練2】若公共汽車門的高度是按照保證成年男子與車門頂部碰頭的概率在1%以下設(shè)計(jì)的，如果某地成年男子的身高N(175

7、,62)(單位：cm），則該地公共汽車門的高度應(yīng)設(shè)計(jì)為多高？解析：設(shè)該地公共汽車門的高度應(yīng)設(shè)計(jì)為x cm,則根據(jù)題意可知：P（x)1%,由于N(175,62)，所以P(x)=1-P(x)=1-()0.01;也就是：()0.99,查表可知：2.33;解得x188.98，即該地公共汽車門至少應(yīng)設(shè)計(jì)為189 cm高.【變式提升2】某鎮(zhèn)農(nóng)民年平均收入服從=500元，=20元的正態(tài)分布，（1）求此鎮(zhèn)農(nóng)民年平均收入在500元520元間人數(shù)的百分比；（2）如果要使農(nóng)民的年收入在(-a,+a)內(nèi)的概率不小于0.95，則a至少為多大？解析：設(shè)表示此鎮(zhèn)農(nóng)民的年收入，由已知N（500，202）.（1）P（50052

8、0)=()-()=（1）-（0）=0.341 3.這說明此鎮(zhèn)農(nóng)民平均收入在500元520元間的人數(shù)約為34%.（2）令P(-a+a)=()-(-)0.95,則有()-1-()0.95,有2()-10.95，所以()0.975，由于(x)是增函數(shù)，故查表得()1.96,所以a39.2，因此要使農(nóng)民的平均收入在（500-a,500+a）內(nèi)的概率不小于0.95，a不能小于39.2.【類題演練3】某班有48位同學(xué)，一次考試后數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，平均分為80分，標(biāo)準(zhǔn)差為10，問從理論上講在80分至90分之間有多少人？解析：設(shè)x表示這個(gè)班的數(shù)學(xué)成績，則x服從N（80，102），P（80x90）=()-()=(1)-(0),查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得(1)=0.841 3,(0)=0.500 0,故P(80x90)=0.841 3-0.500 0=0.341 3.所以從理論上講在80分至90分之間有480.341 3=16.382 416(人).【變式提升3】已知測(cè)量誤差N(7.5,100),(單位cm),則必須進(jìn)行多少次測(cè)量才能使至少一次測(cè)量的絕對(duì)誤差不超過10 cm的概率大于0.9?解析：設(shè)測(cè)量的絕對(duì)誤差不超過10 cm的概率為p，則p=P(|10)=()-()=(0.25)-(-1.75)=(0.25)-1-(1.75)=(0.25)+(1.75)-1=