(好資料)第三章——電路定理

1、第三章 電路定理,疊加定理 替代定理 戴維南定理（諾頓定理) 最大功率傳輸定理 特勒根定理 互易定理 對偶原理。,從電阻電路的分析中，我們可以循到線性電阻電路分析的一些規(guī)律，可以將其當(dāng)做一般性定理來使用。它們分別是：,第一節(jié) 疊加定理,一定理陳述及其解釋性證明,1定理陳述：在線性電路中，任一支路的電流或電壓是電路中各個(gè)獨(dú)立源(激勵(lì))分別作用時(shí)在該支路中產(chǎn)生的電流或電壓的代數(shù)和。,分析圖中Ua 、I1 與各個(gè)激勵(lì)的關(guān)系,US1 單獨(dú)作用時(shí)(IS 不作用時(shí)開路，US 不作用時(shí)短路)：,IS2 單獨(dú)作用時(shí),US3 單獨(dú)作用時(shí)：,顯然有,(注意到I1與I1的參考方向相反),疊加原理證明,解釋性證明：,

2、線性電路獨(dú)立變量方程是線性代數(shù)方程，其方程右端項(xiàng)與各電源成正比，由克萊姆法則知獨(dú)立變量與各電源成正比，再由支路VCR可知各支路u、i亦與各電源成正比。,二使用疊加定理的注意點(diǎn),1、疊加定理是線性電路疊加特性的概括表征，其重要性不僅僅在于可用疊加法分析電路本身（分解為簡單電路），更重要的是在于它為線性電路的定性分析和一些具體的計(jì)算方法提供了理論依據(jù)。,3、只適用于線性電路中求解電壓與電流響應(yīng)，而不能用來計(jì)算功率。這是由于只有線性電路中的電壓或電流才是激勵(lì)的一次函數(shù)，而功率與激勵(lì)不再是一次函數(shù)關(guān)系。求“代數(shù)和”時(shí)要注意各電壓或電流的參考方向。,2、若uS不作用，則短接之，若iS不作用，則開路之；而

3、受控源不是激勵(lì)，即作圖分解時(shí)受控源始終保留在電路中，此外，定理中“各個(gè)獨(dú)立源”可換為“各組獨(dú)立源”(分組疊加)。 Ua =K1US1 + K2IS2 + K3US3,4、當(dāng)線性電路只有一個(gè)激勵(lì)時(shí)，則激勵(lì)擴(kuò)大K倍，任意支路的響應(yīng)也擴(kuò)大K倍。這稱為線性電路的齊次性。實(shí)際上：線性性質(zhì)包括 疊加性(可加性)和 齊次性(比例性，均勻性).,例1： 求圖(a)中的uab 、i1 ,解：本電路用疊加法，可以化為簡單電路的計(jì)算。又電路中的激勵(lì)獨(dú)立源數(shù)目較多，一個(gè)個(gè)地疊加較繁，為此，我們采用“分組疊加”的方法：,3A電流源單獨(dú)作用時(shí)（圖(b)）：,其它獨(dú)立源共同作用時(shí)（圖(c)）：,例2圖示電路中NS為有源線性

4、三端口網(wǎng)絡(luò)，,已知：IS1 =8A、US2 =10V時(shí)，UX =10V；IS1 = 8A、US2 = 6V時(shí)，UX = 22V；IS1 =US2 =0時(shí)，UX = 2V；試求：IS1 =2A、US2 =4V時(shí)，UX =？,解：可根據(jù)疊加性用“待定系數(shù)法”求解：即可設(shè)： UX =K1IS1 +K2US2 +K3 其中K3為NS內(nèi)部所有獨(dú)立源對UX 所產(chǎn)生的貢獻(xiàn)。于是有,若為無源線性網(wǎng)絡(luò)，則不考慮內(nèi)部電源的作用,第二節(jié) 替代定理(置換定理),一定理陳述：在給定的線性或非線性電路中，若已知第k條支路的電壓uK和電流iK ，則該支路可以用下列任何一種元件來替代： uS = uK的電壓源； iS = i

5、K的電流源； 若pK吸 0，則可替代為RK=|uKiK |的電阻。若替代前后電路均具有唯一解，則替代后電路中各支路的電壓與電流均保持為原值。,2）替代前后電路均具有唯一解，因此替代后uK 不變；其它各支路的電壓、電流不變,1）設(shè)第K條支路用iS = iK 來替代，則替代前后iK 不變；其它支路VCR未變；KCL、KVL未變；,二定理的證明：,這相當(dāng)于數(shù)學(xué)上將具有唯一解的一組方程中的某一未知量用其解答代替，不會(huì)引起方程中其它任何未知量的解答在量值上有所改變。,三 定理的應(yīng)用：, 大網(wǎng)絡(luò)的“撕裂”：,替代定理推廣用于二端網(wǎng)絡(luò)時(shí)，要求該二端網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部某部分電壓或電流不能是外部受控源的控制量。, 某些線

6、性電路問題的解決(如定理的證明), 具有唯一解非線性電路問題的簡化分析, 是測試或試驗(yàn)中采用假負(fù)載的理論依據(jù)。,第三節(jié) 戴維南定理與諾頓定理,一戴維南定理,1定理陳述：任何一個(gè)含獨(dú)立源、線性電阻、線性受控源的一端口網(wǎng)絡(luò)NS ，對于外電路來說都可以等效成為有伴電壓源(uOC 與Ri 的串聯(lián)組合)，其中：,uOC NS 端口的開路電壓，,Ri NS 的“除源電阻”；是指將NS內(nèi)所有的獨(dú)立源令為零(將uS短路，將iS開路)時(shí)的入端電阻(除源后的一端口用N0表示)。,2定理證明：,因此 u= u+u“= uOC -Ri i 如圖（b），定理證畢。,例1試分別求當(dāng)負(fù)載電阻RL為7和11時(shí)電流I之值,解：

7、此題特點(diǎn)：求解量均在RL 支路(a圖)。最好選用戴維南定理（或諾頓定理）求解,可用方法一求解：,求UOC: 其最簡單的解法是用回路法(b圖) ：,對除源后的簡單電阻電路用串并聯(lián)的方法求Ri ：,由戴維南等效電路求I ：,此題若用獨(dú)立變量法，則對RL的兩個(gè)值將求解兩次方程，可見上述解法簡化了計(jì)算。,32I1-201=16， 得 I1= 98A, UOC =8I1+1631=4V,二諾頓定理,1定理陳述：任何一個(gè)含獨(dú)立源、線性電阻、線性受控源的一端口網(wǎng)絡(luò)NS ，對于外電路來說都可以等效成為有伴電流源(iSC 與Gi 的并聯(lián)組合)，其中：,iSC NS 端口的短路電流； iSC 方向由u的“+極”沿

8、外電路至“-極”！,Gi =1Ri NS 的“除源電導(dǎo)”；,2定理證明：先將NS 等效為戴維南等效電路，再用有伴電源等效變換即證。由等效關(guān)系可知： iSC = i|u=0 = uOCRi .,三戴維南等效電路或諾頓等效電路的求法,方法一(若除源后N0 為簡單純電阻電路)：,求uOC 、iSC 二者之一，其中：,uOC 令端口i=0(開路)，對電路用已知方法計(jì)算之； iSC 令端口u=0(短路)，對電路用已知方法計(jì)算之；,對除源網(wǎng)絡(luò)N0 (簡單純電阻電路)用串、并聯(lián)的方法求出Ri ,方法二：同時(shí)求出uOC 、i SC ， 則： Ri =uOC iSC,但當(dāng)uOC =0時(shí)，iSC 也為零，此時(shí)就不

9、能用上式求Ri,方法三：若除源后N0 為含受控源電阻電路, 求出uOC 、iSC 二者之一；, 對除源網(wǎng)絡(luò)N0 用外加電源法或控制量為“1”法求Ri,方法四(一步法或激勵(lì)響應(yīng)法 )：直接對NS 求解端口的VCR，若求得為 u =A+B i 則由戴維南等效電路知：uOC =A，Ri=B （當(dāng)求uOC 或iSC 的電路仍然較復(fù)雜時(shí)用此法的計(jì)算量最少）,方法五：等效變換一步步化簡。若NS 中含受控源，則化簡后還得用上述方法二、三與四才能得到最終結(jié)果。,方法六：實(shí)驗(yàn)測量法（限于直流電路）：,測開路電壓UOC ；,允許短路時(shí)測ISC ，則Ri =UOCISC ; 否則用一R作為外電路并測其U、I， 此時(shí)

10、，,例2求下邊電路的最簡等效電路。,解法一：求UOC 、Ri,除源（受控源不得除去）求Ri （圖b）,消去非端口變量I1 得：Ri =15；, I =0求UOC.（圖a）,解法二：同時(shí)求UOC 與ISC,UOC 的求法同解法一,求ISC 對應(yīng)的電路如圖c：,由KVL：5ISC -10I1 = 0得：I1 =0.5I SC從而I3 =I1 +I SC =1.5I SC ，I2 =2I1 I3 = 0.5I SC,注意控制量I1在不同狀態(tài)時(shí)的變化：短路時(shí)I1 =23A，開路時(shí)I1 =2A .,解法三：一步法（直接求端口VCR）,由另一回路的KVL：1I3 5I2+5I SC =12即：(1.5+2

11、.5+5)I SC =12 得：I SC =43A；從而 Ri =U OCI SC =20(4/3)=15,得：U=20+15I,I1 =(-5I+U)10=0.1U-0.5I （KVL）,I2 =I1+I =0.1U + 0.5I （KCL）,I3 =2I1 I2 =0.1U-1.5I （KCL）,U=5I5I2 I3 +12 （KVL）,U=5I+0.5U+2.5I-0.1U+1.5I+12,解法四：先等效變換化簡再求解（略）.,注意點(diǎn)： 1、對端鈕處等效，即對外電路等效。,2、含源一端口網(wǎng)絡(luò)一定是線性網(wǎng)絡(luò)。,3、開路電壓uoc與端電壓u不同，要注意等效電壓源uoc的參考極性。,4、外電路

12、為任意（線性、非線性、有源、無源、支路或部分網(wǎng)絡(luò)均可）。,5、若含源一端口網(wǎng)絡(luò)Ns內(nèi)具有受控源時(shí)，這些受控源只能受Ns內(nèi)部（包括端口）有關(guān)電壓或電流控制，而Ns內(nèi)部的電壓或電流也不能作為外電路中受控源的控制量。即Ns與外電路之間一般應(yīng)沒有耦合關(guān)系。,第四節(jié) 最大功率傳輸定理,一最大功率傳輸定理的結(jié)論與證明,問題：如圖RL =?時(shí)，NS 傳給RL的PR L =Pmax =?,求解：戴維南等效電路如圖則有：,（最大功率傳輸定理）,通常UOC 發(fā)出的功率并不等于NS 中原來電源所發(fā)出的功率，匹配時(shí)的效率并不高，對UOC來講，只有50(對NS ，50)。因此，對于強(qiáng)電而言，不能工作在匹配狀態(tài)；但對弱信

13、號(hào)的傳輸，往往就需要實(shí)現(xiàn)最大功率傳輸。,若用諾頓等效電路,例：求RL =?時(shí)PRL吸 =Pmax=?,解：先進(jìn)行戴維南等效：,第五節(jié) 特勒根定理,一、特勒根定理對于一個(gè)具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)和b條支路的電路，若其第k條支路的電壓uk 、電流ik取為關(guān)聯(lián)方向（k=1,2,，b），則恒有：,證明：為了簡化證明，考慮n=4、b=6的電路如圖，各支路只用線段表示，線段的方向表示電壓（或電流）的參考方向，并令0為參考節(jié)點(diǎn)，則：,原式= un1 i1 +(un1-un2) i2 +(un2-un3) i3 +(un1-un3) i4 + un2 i5 + un3 i6 = un1(i1 +i2 +i4)+un2 (

14、-i2 +i3 +i5)+un3 (-i3 i4 +i6 ) = un1 0+un2 0+un3 0=0,用上述類似的過程，對任何具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)和b條支路的集總電路，均可證明上式成立 。,物理意義：功率守恒,二特勒根定理,二特勒根定理：對于兩個(gè)具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)和b條支路的電路N和 N ，若它們的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)（圖）相同，設(shè)N與N 的對應(yīng)支路編號(hào)一致，所取關(guān)聯(lián)方向相同，如支路電流與電壓分別記為(i1，i2，ib)、(u1，u2，ub)和( i1，i2，ib )、( u1，u2，ub )，則恒有：,特勒根定理同樣適用于任何集總參數(shù)電路，物理意義為似功率守恒 。,例N、N 的各支路電流均已標(biāo)出，試驗(yàn)證特勒根定理

15、1和特勒根定理2,定理證明在書上P67頁，請自學(xué)！,可列表（u的單位為V，i的單位為A，p的單位為W）來驗(yàn)證：,有時(shí)兩個(gè)電路結(jié)構(gòu)并不完全相同，可用開路或短路來替代或填補(bǔ)某些支路。,第六節(jié) 互易定理,“互易”若線性電路只有一個(gè)激勵(lì)，則該激勵(lì)與電路中某個(gè)響應(yīng)的位置互換后，其激勵(lì)與響應(yīng)的關(guān)系保持不變（共有三種形式）：,一、互易定理的第一種形式：設(shè)下列兩圖中NR為同一僅含線性電阻的網(wǎng)絡(luò)：則 = i2 ,即恒壓源與短路電流響應(yīng)可互易.,證明：設(shè)總共有b條支路，則由特勒根定理2：,又因,二互易定理的第二種形式,證明：此時(shí)將 ， 代入式（*）,證明：此時(shí)將 ； 代入式（*） ：,三互易定理的第三種形式：設(shè)下

16、列兩圖中NR為同一僅含線性電阻的網(wǎng)絡(luò)，若 uS =iS(量值上)，則 (量值上),二互易定理的第二種形式：設(shè)下列兩圖中NR為同一僅含線性電阻的網(wǎng)絡(luò)，則 (恒流源與開路電壓響應(yīng)可互易).,四、互易定理應(yīng)用時(shí)的幾點(diǎn)說明,式（*）是互易定理三種形式的統(tǒng)一表達(dá)式，用各種互易定理解題時(shí)，可統(tǒng)一使用它，但根據(jù)其證明中使用了特勒根定理，就要求這些端口變量取關(guān)聯(lián)參考方向（對NR以外的端口支路而言）。此外，若NR的激勵(lì)端口與響應(yīng)端口的總和超過，則該式可作相應(yīng)的推廣。,網(wǎng)絡(luò)互易條件是兩網(wǎng)絡(luò)為同一純電阻網(wǎng)絡(luò)NR ，這只是網(wǎng)絡(luò)互易的充分條件。若網(wǎng)絡(luò)中還含有受控源，則有時(shí)互易！,響應(yīng)與激勵(lì)位置互換后，NR 內(nèi)部支路的電壓、電流一般會(huì)改變。,例如圖，求,解法二：,解法一：直接用(*)式來解,第七節(jié) 對偶原理,即系統(tǒng)中某些元素之間的關(guān)系（或方程）用對應(yīng)的另一些元素置換后，所得的新關(guān)系（或新方程）也一定對應(yīng)地成立。 電路中互為對偶的元素、變量有： u、R、L、開路、有伴電壓源、磁鏈、uOC 、節(jié)點(diǎn)、節(jié)點(diǎn)自電導(dǎo)、iS i、G、C、短路、有伴電流源、電荷、i SC 、網(wǎng)孔、網(wǎng)孔自電阻、uS ,在電路分析中，發(fā)現(xiàn)有些關(guān)系式、物理量及電路是成對出現(xiàn)的，它們之間存在著一種明顯的類比關(guān)系。例如：歐姆定律的兩種形式： 在關(guān)聯(lián)參考方向下：u=Ri ， i=Gu 在這兩個(gè)