高二數(shù)學上 第七章 直線和圓的方程： 7.5曲線的方程(二)教案

1、7.5曲線和方程（二）教學目的：1了解什么叫軌跡，并能根據(jù)所給的條件，選擇恰當?shù)闹苯亲鴺讼登笄€的軌跡方程，畫出方程所表示的曲線 2在形成概念的過程中，培養(yǎng)分析、抽象和概括等思維能力，掌握形數(shù)結合、函數(shù)與方程、化歸與轉化等數(shù)學思想，以及坐標法、待定系數(shù)法等常用的數(shù)學方法3培養(yǎng)學生實事求是、合情推理、合作交流及獨立思考等良好的個性品質，以及主動參與、勇于探索、敢于創(chuàng)新的精神教學重點：求曲線方程的方法、步驟教學難點：定義中規(guī)定兩個關系（純粹性和完備性）授課類型：新授課課時安排：1課時教 具：多媒體、實物投影儀教法分析：第一課時概念強、思維量大、例題習題不多使用啟發(fā)方法符合學生的認知規(guī)律第二、第三課

2、時規(guī)律性強，題目多，可結合實際靈活采用教學方法在探索一般性解題方法時，可采用發(fā)現(xiàn)法教學，在方法的應用及拓廣時，可采用歸納法；在訓練與反饋部分，則主要采用講練結合法進行教學過程：一、復習引入：1“曲線的方程”、“方程的曲線”的定義：在直角坐標系中，如果某曲線C上的點與一個二元方程的實數(shù)解建立了如下關系：(1)曲線上的點的坐標都是這個方程的解；（純粹性）(2)以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點（完備性）那么，這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線 2定義的理解：在領會定義時，要牢記關系(1)、(2)兩者缺一不可，它們都是“曲線的方程”和“方程的曲線”的必要條件兩者滿足了，“曲線的方程”

3、和“方程的曲線”才具備充分性只有符合關系(1)、(2)，才能將曲線的研究轉化為方程來研究，即幾何問題的研究轉化為代數(shù)問題這種“以數(shù)論形”的思想是解析幾何的基本思想和基本方法 二、講解新課：1. 坐標法在笛卡爾以前，人們對代數(shù)方程已經有了一定的研究，但是對于二元方程的研究較少，因為大家認識到二元方程的解都是不確定的 對于這種“不定方程”，除了有少數(shù)人研究它的整數(shù)解以外，大多數(shù)人都認為研究它是沒有意義的，是不必要的。笛卡爾卻對對這個“沒有意義的課題”賦予了新的生命，他沒有把看成是未知數(shù)，而是創(chuàng)造性地把看成是變量(從此，變量引入了數(shù)學)，讓連續(xù)地變，則對每一個確定的的值，一般來說都可以從方程算出相應

4、的值(這就是函數(shù)思想的萌芽) 然后，他把這些點的集合便構成了一條曲線C 由這樣得出的曲線C和方程有非常密切的關系：曲線上每一個點的一對坐標都是方程的一個實數(shù)解；反之，方程的每一個實數(shù)解對應的點都在曲線上 這就是說，曲線上的點集和方程的實數(shù)解集具有一一對應的關系 這個“一一對應”的關系導致了曲線的研究也可以轉化成對曲線的研究 這種通過研究方程的性質，間接地來研究曲線性質的方法叫做坐標法（就是借助于坐標系研究幾何圖形的方法）根據(jù)幾何圖形的特點，可以建立不同的坐標系 最常用的坐標系是直角坐標系和極坐標。在目前的中學階段只采用了直角坐標系 2解析幾何的創(chuàng)立意義及其基本問題在數(shù)學中，用坐標法研究幾何圖形

5、的知識形成的一門學科，叫解析幾何 它是一門用代數(shù)方法研究幾何問題的數(shù)學學科，產生于十七世紀初期，法國數(shù)學家笛卡爾是解析幾何的奠基人 另一位法國數(shù)學家費馬也是解析幾何學的創(chuàng)立者 他們創(chuàng)立解析幾何，在數(shù)學史上具有劃時代的意義：一是在數(shù)學中首次引入了變量的概念，二是把數(shù)與形緊密地聯(lián)系起來了 解析幾何的創(chuàng)立是近代數(shù)學開端的標志，為數(shù)學的應用開辟了廣闊的領域 3平面解析幾何研究的主要問題根據(jù)已知條件求出表示平面曲線的方程；通過方程，研究平面曲線的性質 本節(jié)主要通過例題的形式學習第一個問題，即如何求曲線的方程 小結時總結出求簡單的曲線方程的一般步驟4求簡單的曲線方程的一般步驟：（1）建立適當?shù)淖鴺讼担糜?/p>

6、序實數(shù)對表示曲線上任意一點M的坐標；（2）寫出適合條件P的點M的集合；（3）用坐標表示條件P（M），列出方程;（4）化方程為最簡形式；（5）證明以化簡后的方程的解為坐標的點都是曲線上的點三、講解范例：選題意圖：考查求軌跡方程的基本方法例、設、兩點的坐標是 (-1, -1)、(3,7),求線 段的垂直平分線方程 .MAB解：設M（x,y）是 線段AB的垂直平分線上任意一點，也就是點M屬于集合P=M|MA|=|MB|由兩點間距離公式，點M所適合的條件可表示為：將上式兩邊平方，整理得 x+2y-7=0 （1）證明：方程（1）是線段AB的垂直平分線的方程1、由求解過程知，垂直平分線上點的坐標都是方程的

7、解.2、設(x1,y1)是方程（1）的解， x1+2y1-7=0 ，x1=7-2y1點M到A、B的距離分別是|MA|= ，|MB|=|MA|=|MB|，即M在線段AB的垂直平分線上由(1)(2)知方程（1）是線段AB的垂直平分線的方程例2 點M到兩條互相垂直的直線的距離相等，求點M的軌跡方程.解：取已知兩條互相垂直的直線為坐標軸，建立直角坐標系，如圖所示，設點M的坐標為，點M的軌跡就是到坐標軸的距離相等的點的集合P=，其中Q、R分別是點M到x軸、y軸的垂線的垂足因為點M到x軸、y軸的距離分別是它的縱坐標和橫坐標的絕對值，所以條件可寫成即=0 下面證明是所求軌跡的方程(1)由求方程的過程可知，曲

8、線上的點的坐標都是方程的解；(2) 設點的坐標是方程的解，那么，即，而、正是點到縱軸、橫軸的距離，因此點到這兩條直線的距離相等，點是曲線上的點由(1)(2)可知，方程是所求軌跡的方程，圖形如圖所示.點評：建立適當?shù)淖鴺讼的苁骨筌壽E方程的過程較簡單.所求方程的形式較“整齊”例3 設A、B兩點的坐標是(1，0)、(-1,0),若，求動點M的軌跡方程解：設M的坐標為，M屬于集合P=.由斜率公式，點M所適合的條件可表示為 ，整理后得 (1) 下面證明 (x1)是點M的軌跡方程(1)由求方程的過程可知，M的坐標都是方程 (x1)的解；(2)設點的坐標是方程 (x1)的解，即， 由上述證明可知，方程 (x

9、1)是點M的軌跡方程說明：所求的方程后面應加上條件 例4 已知一條曲線在軸的上方，它上面的每一個點到A（0，2）的距離減去它到軸的距離的差都是2，求這條曲線的方程分析：這條曲線是到A點的距離與其到軸的距離的差是2的點的集合或軌跡的一部分解：設點是曲線上任意一點，MB軸，垂足是B，那么點M屬于集合P=MMA-MB=2即 =2整理得 , 因為曲線在軸的上方，所以y0，雖然原點O的坐標（0，0）是這個方程的解，但不屬于已知曲線，所以曲線的方程應是： (0) 它的圖形是關于軸對稱的拋物線，但不包括拋物線的頂點例5 在ABC中，已知頂點A(1，1)，B(3，6)且ABC的面積等于3，求頂點的軌跡方程 解

10、：設頂點的坐標為,作HAB于H，則動點C屬于集合P=，直線AB的方程是,即.化簡，得-3=6,即-9=0或+3=0,這就是所求頂點的軌跡方程.點評：頂點的軌跡方程，就是定直線AB的距離等于的動點的軌跡方程 例6 已知ABC，第三個頂點在曲線上移動，求ABC的重心的軌跡方程解：設ABC的重心為，頂點的坐標為，由重心坐標公式得代入得3，即為所求軌跡方程說明：在這個問題中，動點與點之間有關系，寫出與之間的坐標關系，并用的坐標表示的坐標，而后代入的坐標所滿足的關系式化簡整理即得所求,這種方法叫相關點法四、課堂練習：1求點P到點F（4，0）的距離比它到直線+5=0的距離小1的點的軌跡方程解：設P為所求軌跡上任意一點，點P到F的距離比它到直線+5=0的距離小1.故點P到F（4，0）的距離與點P到直線+4=0的距離PD相等PF=PD=-(-4)2.過點P(2,4)作互相垂直的直線,，若交軸于A，交軸于B，求線段AB中點M的軌跡方程解法一：設M為所求軌跡上任一點，M為AB中點，A（2,0),B(0,2),且,過點P（2，4），PAPB =(x1),= =-1 即 +2-5=0(1) 當=1時，A（